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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014浜松医科大 数学1



第1問

  pを正の実数として、放物線C:y2=4pxを定める。Cの頂点をO、
  焦点をF、準線をL:x=-pとする。C上の2点A(a,$\small\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt{pa}\end{align*}}$ )(a>0)
  とB(b,$\small\sf{\begin{align*}\sf -2\sqrt{pb}\end{align*}}$ )(b>0)を考えるとき、以下の問いに答えよ。

 (1) AにおけるCの接線をL(A)とし、L(A)と準線Lとの交点をPとする。
    L(A)の方程式をかいて、Pの座標を求めよ。また、線分APの長さ
    は線分AFの長さより大きいことを示せ。

 (2) 接線L(A)が直線ABとAにおいて直交するとき、bをa、pを用いて
    表せ。またaが0<a<∞の範囲内を動くとき、bの最小値を求めよ。

   以下(2)の最小値を実現するC上の2点をA0、B0とし、接線L(A0)
   と準線Lとの交点をP0とする。

 (3) 直線OA0と直線P0B0はOにおいて直交することを示せ。

 (4) △A0OB0の面積をS、線分A0B0とCで囲まれた図形の面積をTと
    するとき、比S:Tを求めよ。




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2014浜松医科大 数学2



第2問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{3\sqrt3}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}\ \ \ \left(0<|x|<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
  を考える。以下の問いに答えよ。

 (1) y=f(x)の増減表を作成し、極値を求めよ。

 (2) f(x)の第2次導関数f”(x)は、3次式P(t)=t(2t2-1)を
    用いて
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=3\sqrt3\ P\left(\frac{1}{\sin x}\right)-P\left(\frac{1}{\cos x}\right)\end{align*}}$
    と表されることを示せ。また、0<x1<x2<$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、
    f”(x1)>f”(x2)となることを示せ。

 (3) kを定数とするとき、方程式f(x)=kの異なる実数解は何個
    あるか。kの値によって分類せよ。

 (4) y=f(x)の変曲点はただ1つ存在することを示せ。また、この
    変曲点が第何象限にあるか、調べよ。



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2014浜松医科大 数学3



第3問

 (1) rは自然数、nはrより大きい整数とする。
    2項係数k+rCr (k=0,1,…,n-r)の次の等式を示せ。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=0}^{n-r}\ _{k+r}C_r=_{n+1}C_{r+1}\end{align*}}$

    以下整数n(n≧2)に対し、次の確率分布に従う確率変数Xを考える。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf P(X=k)=\frac{_{k+1}C_1}{_{n+1}C_2}\ \ \ (k=0,1,\ldots ,n-1)\end{align*}}$

 (2) Xの期待値μn=E(X)を求めよ。また、P(X≧m)≧$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ を満たす最大の
    整数mをMnとするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{M_n}{\mu_n}\end{align*}}$ を求めよ。



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