第１問
pを正の実数として、放物線C：y2＝4pxを定める。Cの頂点をO、
焦点をF、準線をL：x＝－pとする。C上の2点A(a，$\small\sf{\begin{align*}\sf 2\sqrt{pa}\end{align*}}$ )（a＞0）
とB(b，$\small\sf{\begin{align*}\sf -2\sqrt{pb}\end{align*}}$ )（b＞0)を考えるとき、以下の問いに答えよ。
(１) AにおけるCの接線をL(A)とし、L(A)と準線Lとの交点をPとする。
L(A)の方程式をかいて、Pの座標を求めよ。また、線分APの長さ
は線分AFの長さより大きいことを示せ。
(２) 接線L(A)が直線ABとAにおいて直交するとき、bをa、pを用いて
表せ。またaが0＜a＜∞の範囲内を動くとき、bの最小値を求めよ。
以下(２)の最小値を実現するC上の2点をA0、B0とし、接線L(A0)
と準線Lとの交点をP0とする。
(３) 直線OA0と直線P0B0はOにおいて直交することを示せ。
(４) △A0OB0の面積をS、線分A0B0とCで囲まれた図形の面積をTと
するとき、比S：Tを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
Cの方程式をyで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{dx}{dy}=\frac{y}{2p}\end{align*}}$
となるので、接線L(A)の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x-a=\frac{2\sqrt{pa}}{2p}\left(y-2\sqrt{pa}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{\sqrt{pa}}{a}x+\sqrt{pa}}\end{align*}}$
である。
よって、L(A)とLの交点のy座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y=\frac{\sqrt{pa}}{a}\cdot\left(-p\right)+\sqrt{pa}=\sqrt{pa}\left(1-\frac{p}{q}\right)\end{align*}}$
なので、Pの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ P\left(-p\ ,\ \sqrt{pa}\left(1-\frac{p}{q}\right)\right)\ }\end{align*}}$
となる。
また、AからLに下ろした垂線の足をHとおくと、
L(A)とLは垂直ではなく、Cは放物線なので
AP≧AH＝AF
が成り立つ。よって、線分APの長さはAFより大きい。
(２)
Aを通りL(A)と垂直な直線m(A)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-2\sqrt{pa}=-\frac{a}{\sqrt{pa}}\left(x-a\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{a}{\sqrt{pa}}x+\frac{a^2}{\sqrt{pa}}+2\sqrt{pa}\end{align*}}$
であり、これとCの式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(-\frac{a}{\sqrt{pa}}x+\frac{a^2}{\sqrt{pa}}+2\sqrt{pa}\right)^2=4px\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ ax^2-\left(2a^2+4pa+4p^2\right)x+a^3+4p^2a+4pa^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-a\right)\left\{ax-\left(a^2+4p^2+4pa\right)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ ,\ \frac{\left(a+2p\right)^2}{a}\end{align*}}$
となる。m(A)とCの交点のうちで、Aと異なる方がBなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ b=\frac{\left(a+2p\right)^2}{a}\ }\end{align*}}$
である。
さらに、a＞0なので、相加・相乗平均の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b=a+\frac{4p^2}{a}+4p\geqq 2\sqrt{a\cdot \frac{4p^2}{a}}+4p=8p\end{align*}}$
となるので、bの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ b_{min}=8p\ }\end{align*}}$
である。このときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a=\frac{4p^2}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=2p\ \left(>0\right)\end{align*}}$
である。
(３)
(２)よりA0、B0の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_0\left(2p\ ,\ 2\sqrt2p\right)\ \ ,\ \ B_0\left(8p\ ,\ -4\sqrt2p\right)\end{align*}}$
となり、これと(１)よりP0の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_0\left(-p\ ,\ \frac{\sqrt2}{2}p\right)\end{align*}}$ ．
これらより、2直線OA0、P0B0の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf OA_0:\ y=\sqrt2\ x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_0B_0:\ y+\frac{\sqrt2}{2}p=\frac{-4\sqrt p-\frac{\sqrt2}{2}p}{8p-(-p)}\left(x+p\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\sqrt2}{2}x-\sqrt2\ p\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt2 \times\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-1\end{align*}}$
が成り立つので、OA0⊥P0B0である。
(４)
3点(0，0)、(x1，y1)、(x2，y2)を頂点とする三角形の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\left|x_1y_2-x_2y_1\right|\end{align*}}$
で求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S=\frac{1}{2}\bigg|2p\cdot\left(-4\sqrt2p\right)-2\sqrt2p\cdot 8p\bigg|=12\sqrt2\ p^2\end{align*}}$
また、(３)より線分A0B0の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf y-2\sqrt2p=\frac{-4\sqrt2p-2\sqrt2p}{8p-2p}\left(x-2p\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=-\frac{1}{\sqrt2}y+4p\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf T=\int_{-4\sqrt2p}^{2\sqrt2p}\left\{\left(-\frac{1}{\sqrt2}y+4p\right)-\frac{1}{4p}y^2\right\}dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{1}{4p}\int_{-4\sqrt2p}^{2\sqrt2p}\left(y^2+2\sqrt2py-16p^2\right)dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{1}{4p}\int_{-4\sqrt2p}^{2\sqrt2p}\left(y+4\sqrt2p\right)\left(y-2\sqrt2p\right)dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{4p}\cdot\frac{1}{6}\left(2\sqrt2p+4\sqrt2p\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =18\sqrt2p^2\end{align*}}$
となる。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S:T=12\sqrt2p^2:18\sqrt2p^2=\underline{\ 2:3\ }\end{align*}}$
上から順に丁寧に計算していけば、最後までたどり着くはずです。
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第２問
関数
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\frac{3\sqrt3}{\sin x}-\frac{1}{\cos x}\ \ \ \left(0<|x|<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) y＝f(x)の増減表を作成し、極値を求めよ。
(２) f(x)の第2次導関数f”(x)は、3次式P(t)＝t(2t2－1)を
用いて
$\small\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=3\sqrt3\ P\left(\frac{1}{\sin x}\right)-P\left(\frac{1}{\cos x}\right)\end{align*}}$
と表されることを示せ。また、0＜x1＜x2＜$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、
f”(x1)＞f”(x2)となることを示せ。
(３) kを定数とするとき、方程式f(x)＝kの異なる実数解は何個
あるか。kの値によって分類せよ。
(４) y＝f(x)の変曲点はただ1つ存在することを示せ。また、この
変曲点が第何象限にあるか、調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(x)=-\frac{3\sqrt3\ \cos x}{\sin^2x}-\frac{\sin x}{\cos^2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{3\sqrt3\cos^3x+\sin^3x}{\sin^2x\ \cos^2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{\cos x\left(\tan^3x+3\sqrt3\right)}{\sin^2x}\end{align*}}$ ←分子・分母÷cos2x
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{\cos x\left(\tan x+\sqrt3\right)\left(\tan^2x-\sqrt3\ \tan x+3\right)}{\sin^2x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{\cos x\left(\tan x+\sqrt3\right)\left\{\left(\tan x-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\frac{9}{4}\right\}}{\sin^2x}\end{align*}}$
となるので、増減表は次のようになる。
(２)
f(x)の第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=-3\sqrt3\cdot\frac{-\sin^3x-2\sin x\cos^2x}{\sin^4x}-\frac{\cos^3x+2\sin^2x\cos x}{\cos^4x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =3\sqrt3\cdot\frac{\sin^2x+2\left(1-\sin^2x \right)}{\sin^3x}-\frac{\cos^2x+2\left( 1-\cos^2x\right)}{\cos^3x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{3\sqrt3}{\sin x}\left(\frac{2}{\sin^2x}-1\right)-\frac{1}{\cos x}\left(\frac{2}{\cos^2x}-1\right)\end{align*}}$ ……(i)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =3\sqrt3\ P\left(\frac{1}{\sin x}\right)-P\left(\frac{1}{\cos x}\right)\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
また、f(x)の第3次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '''(x)=3\sqrt3\ P\ '\left(\frac{1}{\sin x}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sin x}\right)'-P\ '\left(\frac{1}{\cos x}\right)\cdot\left(\frac{1}{\cos x}\right)'\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\left\{3\sqrt3\ P\ '\left(\frac{1}{\sin x}\right)\cdot\frac{\cos x}{\sin^2x}+P\ '\left(\frac{1}{\cos x}\right)\cdot\frac{\sin x}{\cos^2x}\right\}\end{align*}}$ ……(ii)
0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であるxに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\cos x<1\ ,\ 0<\sin x<1\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1<\frac{1}{\cos x}\ \ ,\ \ 1<\frac{1}{\sin x}\end{align*}}$ ……(*)
また、P(t)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\ '(t)=6t^2-1\end{align*}}$
なので、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\ '\left(\frac{1}{\sin x}\right)=\frac{6}{\sin^2x}-1>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\ '\left(\frac{1}{\cos x}\right)=\frac{6}{\cos^2x}-1>0\end{align*}}$ ．
(ii)より、0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲でf(x)の第3次導関数は常に負なので、
f"(x)は単調に減少する。
よって、0＜x1＜x2＜$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、f”(x1)＞f”(x2)となる。
(３)
(１)の増減表より、y＝f(x)のグラフは
右図のようになるので、
方程式f(x)＝kの異なる実数解は
k＜－8のとき 3個
k＝－8のとき 2個
－8＜kのとき 1個
(４)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ＜x＜0であるxに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0<\cos x<1\ ,\ -1<\sin x<0\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1<\frac{1}{\cos x}\ \ ,\ \ \frac{1}{\sin x}<-1\end{align*}}$
なので、(i)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''(x)=\frac{3\sqrt3}{\sin x}\left(\frac{2}{\sin^2x}-1\right)-\frac{1}{\cos x}\left(\frac{2}{\cos^2x}-1\right)<0\end{align*}}$
となるので、この範囲に変曲点は存在しない。
一方、(２)よりf”(x)は、0＜x＜$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲で単調に減少し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt3}{\sin \frac{\pi}{4}}\left(\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{4}}-1\right)-\frac{1}{\cos \frac{\pi}{4}}\left(\frac{2}{\cos^2\frac{\pi}{4}}-1\right)=9\sqrt6-3\sqrt2>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ ''\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt3}{\sin \frac{\pi}{3}}\left(\frac{2}{\sin^2\frac{\pi}{3}}-1\right)-\frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}}\left(\frac{2}{\cos^2\frac{\pi}{3}}-1\right)=-4<0\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、f”(x)＝0となるxが $\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{\pi}{4}lt x\lt \frac{\pi}{3}\end{align*}}$
の範囲にただ1つ存在する。
以上より、 y＝f(x)の変曲点はただ1つ存在することになるので、
題意は示された。
また、f’(x)＝0となるxの値を$\scriptsize\sf{\alpha}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3\sqrt3}{\sin\frac{\pi}{4}}-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{4}}=4>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{3\sqrt3}{\sin\frac{\pi}{3}}-\frac{1}{\cos\frac{\pi}{3}}=3\sqrt6-\sqrt2>0\end{align*}}$
より、f($\scriptsize\sf{\alpha}$ )＞0となるので、変曲点は第1象限内にある。
分かりやすい誘導がついてますね。
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第３問
(１) rは自然数、nはrより大きい整数とする。
2項係数k+rCr （k＝0，1，…，n－r）の次の等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=0}^{n-r}\ _{k+r}C_r=_{n+1}C_{r+1}\end{align*}}$
以下整数n（n≧2）に対し、次の確率分布に従う確率変数Xを考える。
$\small\sf{\begin{align*}\sf P(X=k)=\frac{_{k+1}C_1}{_{n+1}C_2}\ \ \ (k=0,1,\ldots ,n-1)\end{align*}}$
(２) Xの期待値μn＝E(X)を求めよ。また、P(X≧m)≧$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ を満たす最大の
整数mをMnとするとき、極限値 $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{M_n}{\mu_n}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
k＝0，1，…，n－rに対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf _{r+k}C_{r+1}+_{r+k}C_r=\frac{(r+k)!}{(r+1)!\ (k-1)!}+\frac{(r+k)!}{r!\ k!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(r+k)!\ k}{(r+1)!\ k!}+\frac{(r+k)!\ (r+1)}{(r+1)!\ k!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{(r+k+1)!}{(r+1)!\ k!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_{r+k+1}C_{r+1}\end{align*}}$ ……(#)
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sum_{k=0}^{n-r}\ _{k+r}C_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_rC_r+_{r+1}C_r+_{r+2}C_r+_{r+3}C_r+\ldots +_{n-1}C_r+_{n}C_r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{ _{r+1}C_{r+1}+_{r+1}C_r｝}+_{r+2}C_r+_{r+3}C_r+\ldots +_{n-1}C_r+_{n}C_r\end{align*}}$ ←rCr＝r+1Cr+1
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{ _{r+2}C_{r+1}+_{r+2}C_r\ }+_{r+3}C_r+\ldots +_{n-1}C_r+_{n}C_r\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{ _{r+3}C_{r+1}+_{r+3}C_r\ }+\ldots +_{n-1}C_r+_{n}C_r\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{ _{n-1}C_{r+1}+_{n-1}C_r\ }+_{n}C_r\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_{n}C_{r+1}+_{n}C_r\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =_{n+1}C_{r+1}\end{align*}}$ ←(#)より
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \mu_n=\sum_{k=0}^{n-1}k\cdot P(X=k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{k\cdot _{k+1}C_1}{_{n+1}C_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{2k\left(k+1\right)}{\left(n+1\right)n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n\left(n+1\right)}\sum_{k=0}^{n-1}\left(k^2+k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n\left(n+1\right)}\left\{0+\frac{1}{6}n(n-1)(2n-1)+\frac{1}{2}n(n-1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{2(n-1)}{3}}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(X\geqq m)=P(X=m)+P(X=m+1)+\ldots +P(X=n-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\sum_{k=m}^{n-1}\frac{_{k+1}C_1}{_{n+1}C_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n(n+1)}\sum_{k=m}^{n-1}\ _{k+1}C_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n(n+1)}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\ _{k+1}C_1-\sum_{k=0}^{m-1}\ _{k+1}C_1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n(n+1)}\left(_{n+1}C_2-_{m+1}C_2\right)\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{2}{n(n+1)}\left\{\frac{n(n-1)}{2}-\frac{m(m-1)}{2}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =1-\frac{m(m-1)}{n(n-1)}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(X\geqq m)\geqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-\frac{m(m-1)}{n(n-1)}\geqq \frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2m^2+2m-(n^2+n)\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{-1-\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2}\leqq m\leqq \frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2}\end{align*}}$ ……(*)
ここで、Mnは(*)を満たす最大の整数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2}-1\lt M_n\leqq\frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2}\end{align*}}$
であり、先ほど求めたμn （＞0）で各辺を割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{3}{2}\cdot\frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2(n-1)}-\frac{3}{2(n-1)}<\frac{M_n}{\mu_n}\leqq\frac{3}{2}\cdot\frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2(n-1)}\end{align*}}$
となる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-1+\sqrt{1+2(n^2+n)}}{2(n-1)}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{-\frac{1}{n}+\sqrt{\frac{1}{n^2}+2(1+\frac{1}{n})}}{2\left(1-\frac{1}{n}\right)}=\frac{\sqrt2}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{3}{2(n-1)}=0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{M_n}{\mu_n}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\underline{\ \frac{3\sqrt2}{4}\ }\end{align*}}$
(１)は、パスカルの三角形を書くと分かりやすいと思います。
(２)は、ひたすら計算です。
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