第１問
以下の各問いに答えよ。
(１) aは実数とする。極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\int_x^2 t^adt\end{align*}}$ を調べよ。
(２) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ （0＜$\small\sf{\alpha}$ ≦$\small\sf{\beta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）が tan$\small\sf{\alpha}$ tan$\small\sf{\beta}$ ＝1を満たすとき、
$\small\sf{\alpha}$ ＋$\small\sf{\beta}$ ＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。
(３) 点P(x，y)が楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$ の上を動くとき、
3x2－16xy－12y2の値が最大になる点Pの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
求める極限をLとする。
(ⅰ) a＝－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{x\rightarrow +0}\bigg[\log |t|\bigg]_x^2=\lim_{x\rightarrow +0}\left(\log 2-\log x\right)=\underline{\ +\infty}\end{align*}}$
(ⅱ) a＞－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{x\rightarrow +0}\bigg[\frac{1}{a+1}\ t^{a+1}\bigg]_x^2=\frac{1}{a+1}\lim_{x\rightarrow +0}\left(2^{a+1}-x^{a+1}\right)=\underline{\ \frac{2^{a+1}}{a+1}}\end{align*}}$
(ⅲ) a＜－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{1}{a+1}\lim_{x\rightarrow +0}\left(2^{a+1}-x^{a+1}\right)=\underline{\ +\infty}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \tan \alpha\tan\beta=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\left(\alpha+\beta\right)=0\end{align*}}$ ←加法定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}\ \ \ \ \ \left(\because 0<\alpha+\beta<\pi\right)\end{align*}}$
(３)
楕円上の点Pは$\scriptsize\sf{\theta}$ （－$\scriptsize\sf{\pi}$ ＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ ）を用いて
P(2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ，sin$\scriptsize\sf{\theta}$ )
と表せるので、
A＝3x2－16xy－12y2
とおくと、
A＝12cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －32sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －12sin2$\scriptsize\sf{\theta}$
＝12cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ －16sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ ←倍角公式
＝20cos(2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋$\scriptsize\sf{\alpha}$ ) ←合成
と変形できる。ただし、$\scriptsize\sf{\alpha}$ は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\alpha=\frac{3}{5}\ \ ,\ \ \sin\alpha=\frac{4}{5}\ \ ,\ \ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
を満たす。
－2$\scriptsize\sf{\pi}$ ＋$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＋$\scriptsize\sf{\alpha}$ ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ ＋$\scriptsize\sf{\alpha}$
なので、この範囲でAが最大になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\left(2\theta+\alpha\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\theta+\alpha=0\ ,\ 2\pi\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \theta=-\frac{\alpha}{2}\ ,\ -\frac{\alpha}{2}+\pi\end{align*}}$
のときである。よって、このときのPの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\cos\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\ ,\ \sin\left(-\frac{\alpha}{2}\right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2\cos\frac{\alpha}{2}\ ,\ -\sin\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\ ,\ -\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\right)\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2\sqrt{\frac{1+\frac{3}{5}}{2}}\ ,\ -\sqrt{\frac{1-\frac{3}{5}}{2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\frac{4}{\sqrt5}\ ,\ -\frac{1}{\sqrt5}\right)}\end{align*}}$
および
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\cos\left(-\frac{\alpha}{2}+\pi\right)\ ,\ \sin\left(-\frac{\alpha}{2}+\pi\right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2\cos\frac{\alpha}{2}\ ,\ \sin\frac{\alpha}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(-\frac{4}{\sqrt5}\ ,\ \frac{1}{\sqrt5}\right)}\end{align*}}$
細かい計算がヤヤコシイので慎重に。
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第１問
(４) 公正なサイコロを2回振り、1回目に出た目をa、2回目に出た
目をbとする。また、公正なコインを1回投げ、表が出たらc＝1、
裏が出たらc＝－1とする。Oを原点とする座標平面上に2点A、
BをA(a，b)、B(b，ca)と定める。次の問いに答えよ。
(ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が垂直になる確率を求めよ。
(ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が平行になる確率を求めよ。
(ⅲ) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の期待値を求めよ。
(ⅳ) △OABの面積の期待値を求めよ。
ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が平行になるときは面積を0とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(ⅰ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が垂直になるとき、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=ab+abc=ab\left(c+1\right)=0\end{align*}}$
であり、1≦a≦6、1≦b≦6なので、c＝－1であればよい。
よって、垂直になる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}\ }\end{align*}}$ である。
(ⅱ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が平行になるとき、実数kを用いて
k(a，b)＝(b，ca)
と表せる。成分を比較すると、
ka＝b かつ kb＝ca
となり、a、b＞0、c＝±１なので、これを満たすためには、
a＝b かつ c＝k＝1
であればよい。よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{36}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{1}{12}\ }\end{align*}}$
(ⅲ)
(ⅰ)より
c＝－1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
c＝1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=2ab\end{align*}}$
ここで、abの値は表1のようになるので、これらの総和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(1+2+3+4+5+6\right)^2=\left(\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 7\right)^2=441\end{align*}}$
と求めることができる。
よって、内積 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 0+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}\cdot 2\cdot 441=\underline{\ \frac{49}{4}\ }\end{align*}}$
(ⅳ)
△OABの面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|ca^2-b^2\right|\end{align*}}$
と表せるので、
c＝－1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)\end{align*}}$
c＝1のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|a^2-b^2\right|\end{align*}}$
となる。
ここで、a2＋b2の値は表2のようになるので、これらの総和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 12\times\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2\right)=12\cdot\frac{1}{6}\cdot 6\cdot 7\cdot 13=1092\end{align*}}$
と求めることができる。
また、|a2－b2|の値は表3のようになるので、これらの総和は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -10\cdot 1^2-6\cdot 2^2-2\cdot 3^2+2\cdot 4^2+6\cdot 5^2+10\cdot 6^2=490\end{align*}}$
と求めることができる。
よって、Sの期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{1092}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{490}{2}=\underline{\ \frac{791}{72}\ }\end{align*}}$
(ⅲ) 表１の和の求め方
１行目の和＝1・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
２行目の和＝２・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
３行目の和＝３・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
４行目の和＝４・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
５行目の和＝５・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
６行目の和＝６・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
これら全てを縦に加えると、
(１＋２＋３＋４＋５＋６)・(１＋２＋３＋４＋５＋６)
となる。
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第２問
OA＝OB＝1、∠AOB＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の△OABを含む平面をHとする。
平面H上に無い点Cから平面H、直線OA、直線OBに降ろした
垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ q=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ r=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
として、以下の問いに答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の内積
である。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ ＝0であることを示せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ およびp、q、rで表せ。
(３) EFの長さをp、q、rで表せ。
(４) p＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ 、q＝1、r＝2であるとき、ODの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf a}|=|\overrightarrow{\sf b}|=1\ ,\ p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ q=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ r=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ ……(#)
(１)
CD⊥H よりCD⊥OA．
これとCE⊥OAより、平面CDE⊥OA
となるので、DE⊥OA．
よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf DE}=0\end{align*}}$ となる。
(２)
EはOA上にあるので、実数eを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=e\ \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
と表すことができ、CE⊥OAより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CE}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(e\ \overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf c}\right)\cdot \overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e|\overrightarrow{\sf a}|^2-\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e=r\end{align*}}$ ←(#)より
よって、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OE}=r\ \overrightarrow{\sf a}\ }\end{align*}}$ であり、
同様に考えると、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \overrightarrow{\sf OF}=q\ \overrightarrow{\sf b}\ }\end{align*}}$ となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf EF}|^2=|q\ \overrightarrow{\sf b}-r\ \overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =q|\overrightarrow{\sf b}|^2-2qr\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}+r^2|\overrightarrow{\sf a}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =q^2-2pqr+r^2\end{align*}}$ ←(#)より
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ |\overrightarrow{\sf EF}|=\sqrt{q^2+r^2-2pqr}\ }\end{align*}}$
(４)
p＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ 、q＝1、r＝2のとき、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf EF}\right|=\sqrt{1^2+2^2-2\cdot \frac{1}{5}\cdot 1\cdot 2}=\sqrt{\frac{21}{5}}\end{align*}}$ ．
また、∠AOB＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=|\overrightarrow{\sf a}||\overrightarrow{\sf b}|\cos\theta=\frac{1}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta=\frac{1}{5}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2}=\frac{2\sqrt6}{5}\ (>0)\ \ \ \left(\because 0<\theta<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
(１)と同様に、DF⊥OBなので、四角形OEDFは円に内接し、
ODがその直径となる。
よって、△OEFにおいて正弦定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OD=\frac{EF}{\sin\theta}=\frac{\sqrt{\frac{21}{5}}}{\frac{2\sqrt6}{5}}=\underline{\ \frac{\sqrt{70}}{4}\ }\end{align*}}$
最後は、内接四角形に気づかないとムリです。
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第３問
aは定数とする。関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1-a\cos x}{1+\sin x}\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \pi\right)\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$ （0＜x＜$\small\sf{\pi}$ ）とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ をtで表せ。
(２) f(x)が0＜x＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。
また、その極値をaで表せ。
(３) aが(２)で定めた範囲にあるとき、2点(0，f(0))、($\small\sf{\pi}$ ，f($\small\sf{\pi}$ ))を通る
直線とy＝f(x)のグラフで囲まれる図形をx軸の周りに回転してできる
回転体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
まず、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2+1=\frac{\cos^2x+\left(1+2\sin x+\sin^2x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(1+\sin x\right)}{\left(1+\sin x\right)^2} \ \ \ \ \left(\because \sin^2x+\cos^2x=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{1+\sin x}\end{align*}}$ ……(ⅰ)
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$ ……(ⅱ)
に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{\sin x\left(1+\sin x\right)-\left(-\cos x\right)\cdot\cos x}{\left(1+\sin x\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\sin x}{\left(1+\sin x\right)^2} \ \ \ \ \left(\because \sin^2x+\cos^2x=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2+1}{2}\end{align*}}$ ←(ⅰ)より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=\frac{1}{\frac{dt}{dt}}=\underline{\ \frac{2}{t^2+1}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{dx}=\frac{t^2+1}{2}>0\end{align*}}$ であり、
x＝0のとき、t＝－1
x＝$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき、t＝1
なので、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でtは単調に増加し、
－1＜t＜1の範囲の値をとる。 ……(ⅲ)
y＝f(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{1}{1+\sin x}+a\cdot\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t^2+1}{2}+at\end{align*}}$ ←(ⅰ)、(ⅱ)より
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}=\left(t+a\right)\cdot\frac{t^1+1}{2}\end{align*}}$ ←(１)より
となり、t＝－aのときに $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ となる。
よって、－1＜a＜1であれば、(ⅲ)より、 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=0\end{align*}}$ となる
xが0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲にただ1つ存在し、
その前後で $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ の符号が変化する。すなわち、
f(x)が極値を持つので、求めるaの値の範囲は
－1＜a＜1
である。
このとき、極値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{(-a)^2+1}{2}+a\cdot (-a)=\underline{\ \frac{1-a^2}{2}\ }\end{align*}}$
となる。
(３)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\frac{1-a\cos 0}{1+\sin 0}=1-a\ \ ,\ \ f\ (\pi)=\frac{1-a\cos\pi}{1+\sin\pi}=1+a\end{align*}}$
より、2点(0，f(0))、($\scriptsize\sf{\pi}$ ，f($\scriptsize\sf{\pi}$ ))を通る直線をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=\frac{2a}{\pi}\ x+1-a\end{align*}}$
であり、右図の赤色部分をx軸の周りに回転して
できる回転体の体積をV1とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1=\pi\int_0^{\pi}\left(\frac{2a}{\pi}x+1-a\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{\pi}{3\cdot 2a}\left(\frac{2a}{\pi}x+1-a\right)^3\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{6a}\bigg\{\left(1+a\right)^3-\left(1-a\right)^3\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{3}\left(a^2+3\right)\end{align*}}$
また、右図の青色部分をx軸の周りに回転して
できる回転体の体積をV2とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_0^{\pi}\bigg\{ f\ (x)\bigg\}^2dx\end{align*}}$
であり、(ⅱ)のように置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\int_{-1}^{1}\left(\frac{t^2+1}{2}+at\right)^2\cdot\frac{2}{t^2+1}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{2}\int_{-1}^{1}\left\{\left(t^2+1\right)-4at+\frac{4a^2t^2}{t^2+1}\right\}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{0}^{1}\left\{\left(t^2+1\right)+4a^2\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)\right\}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[\frac{t^3}{3}+\left(1+4a^2\right)t\right]_0^1-4\pi a^2\int_0^1\frac{1}{t^2+1}dt\end{align*}}$ ．
ここで、tan$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝tと置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{1}{t^2+1}dt=\int_0^{\pi /4}\frac{1}{\tan^2\theta+1}\cdot\left(1+\tan^2\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi /4}d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_2=\pi\left\{\frac{1}{3}+\left(1+4a^2\right)\right\}-4\pi a^2\cdot\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(\frac{4}{3}+4a^2\right)-\pi^2 a^2\end{align*}}$
なので、y＝f(x)とLで囲まれた図形の回転体の体積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_1-V_2=\underline{\ \frac{\pi^2}{3}\left(4a^2+3\right)-\frac{4\pi}{3}\left(3a^2+1\right)\ }\end{align*}}$
これもボリュームたっぷりの問題ですね。
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