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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014福島県立医科大 数学1(1)~(3)



第1問

  以下の各問いに答えよ。

 (1) aは実数とする。極限 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\int_x^2 t^adt\end{align*}}$ を調べよ。

 (2) $\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ (0<$\small\sf{\alpha}$ ≦$\small\sf{\beta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )が tan$\small\sf{\alpha}$ tan$\small\sf{\beta}$ =1を満たすとき、
    $\small\sf{\alpha}$ +$\small\sf{\beta}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ であることを示せ。

 (3) 点P(x,y)が楕円 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{align*}}$ の上を動くとき、
    3x2-16xy-12y2の値が最大になる点Pの座標を求めよ。

 


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  1. 2018/10/09(火) 01:05:00|
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2014福島県立医科大 数学1(4)



第1問

  
 (4) 公正なサイコロを2回振り、1回目に出た目をa、2回目に出た
    目をbとする。また、公正なコインを1回投げ、表が出たらc=1、
    裏が出たらc=-1とする。Oを原点とする座標平面上に2点A、
    BをA(a,b)、B(b,ca)と定める。次の問いに答えよ。

   (ⅰ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が垂直になる確率を求めよ。

   (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が平行になる確率を求めよ。

   (ⅲ) 内積 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ の期待値を求めよ。

   (ⅳ) △OABの面積の期待値を求めよ。
      ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が平行になるときは面積を0とする。


   

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2014福島県立医科大 数学2



第2問

  OA=OB=1、∠AOB<$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の△OABを含む平面をHとする。
  平面H上に無い点Cから平面H、直線OA、直線OBに降ろした
  垂線の足をそれぞれD、E、Fとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf p=\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\ ,\ q=\overrightarrow{\sf b}\cdot\overrightarrow{\sf c}\ ,\ r=\overrightarrow{\sf c}\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
  として、以下の問いに答えよ。ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ は $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ の内積
  である。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf DE}\end{align*}}$ =0であることを示せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OF}\end{align*}}$ をそれぞれ$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ およびp、q、rで表せ。

 (3) EFの長さをp、q、rで表せ。

 (4) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{5}\end{align*}}$ 、q=1、r=2であるとき、ODの長さを求めよ。




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2014福島県立医科大 数学3



第3問

  aは定数とする。関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1-a\cos x}{1+\sin x}\ \ \ \left(0\leqq x\leqq \pi\right)\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{-\cos x}{1+\sin x}\end{align*}}$ (0<x<$\small\sf{\pi}$ )とおくとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}\end{align*}}$ をtで表せ。

 (2) f(x)が0<x<$\small\sf{\pi}$ の範囲で極値をもつようにaの値の範囲を定めよ。
    また、その極値をaで表せ。

 (3) aが(2)で定めた範囲にあるとき、2点(0,f(0))、($\small\sf{\pi}$ ,f($\small\sf{\pi}$ ))を通る
    直線とy=f(x)のグラフで囲まれる図形をx軸の周りに回転してできる
    回転体の体積を求めよ。



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