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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014札幌医科大 数学1



第1問

  三角形ABCに内接する半径Rの円がある。内接円と辺BC、CA、ABとの
  接点をそれぞれD、E、Fとする。また、$\small\sf{\alpha}$ =∠A、$\small\sf{\beta}$ =∠B、$\small\sf{\gamma}$ =∠Cとする。
  三角形ABCの面積をS1、三角形DEFの面積をS2とする。

 (1) S1をR、tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{2}\end{align*}}$ 、tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\beta}{2}\end{align*}}$ 、tan$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\gamma}{2}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) S2をR、cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\alpha}{2}\end{align*}}$ 、cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\beta}{2}\end{align*}}$ 、cos$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\gamma}{2}\end{align*}}$ を用いて表せ。

  以後$\small\sf{\gamma}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とする。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ をsin$\small\sf{\alpha}$ とcos$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_1}{S_2}\end{align*}}$ の最大値を求めよ。




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2014札幌医科大 数学2



第2問

  表と裏の出る確率が等しい硬貨をn回投げる。このとき、表が出る
  回数がnの半分以上である確率をanとし、表が出る確率がnの半分
  より大きい確率をbnとする。

 (1) a1、a2、a3およびb1、b2、b3をそれぞれ求めよ。

 (2) an-bnをnを用いて表せ。

 (3) anをnを用いて表せ。



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2014札幌医科大 数学3



第3問

  aを0<a<1とする。座標空間の4点を
      $\small\sf{\begin{align*} \sf O\left(0,0,0 \right)\ \ ,\ \ A\left(1,0,0 \right)\ \ ,\ \ B\left(0,\frac{1}{a},0 \right)\ \ ,\ \ C\left(0,0,\frac{1}{1-a} \right)\end{align*}}$
  とする。また、4点O、A、B、Cを頂点とする四面体に内接する
  球をSとする。

 (1) 3点A、B、Cを通る平面に直交し長さが1のベクトルをaを
    用いて表せ。

 (2) 3点A、B、Cを通る平面と球Sの接点の座標をaを用いて表せ。

 (3) 球Sの半径をaを用いて表せ。

 (4) 球Sの体積の最大値を求めよ。



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2014札幌医科大 数学4



第4問

  関数f(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\end{align*}}$
  とする。

 (1) 関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\log\left(x+\sqrt{x^2+1} \right)\end{align*}}$
    の導関数を求めよ。

 (2) 二つの曲線y=f(x)とy=1-f(x)で囲まれる図形の面積を求めよ。



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