青木ゼミ青木大学入試(数学)　.全国の大学　.旭川医科大　　2014

2014旭川医科大学　数学１

第１問

　　関数f(x)=log(1＋x²)について、次の問いに答えよ。

　(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\log\left(1+x^2\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。

　(２) 導関数f’(x)の増減を調べ、y＝f’(x)のグラフの概形をかけ。

　(３) 曲線C：y＝f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで
　　　囲まれる図形の面積Sを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　求める定積分をIとおくと、　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I=\int_0^1\log\left(1+x^2\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[x\log\left(1+x^2\right)\bigg]_0^1-\int_0^1x\cdot\frac{2x}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 2-2\bigg[x\bigg]_0^1+2\int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx\end{align*}}$
　　　ここで、x＝tan$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{d\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta\end{align*}}$
　　　であり、x：0→1に対応する$\scriptsize\sf{\theta}$ は、$\scriptsize\sf{\theta}$ ：0→$\scriptsize\sf{\pi}$ /4 なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\frac{1}{1+x^2}\ dx=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{1+\tan^2\theta}\cdot\left(1+\tan^2\theta\right)d\theta\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\theta\bigg]_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ I=\log 2-2+\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$
　　　となる。

　(２)
　　　f(x)の第1次および第2次導関数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{2x}{1+x^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=\frac{2\left(1+x^2 \right)-2x\cdot 2x}{\left(1+x^2 \right)^2}=\frac{2\left(1-x \right)\left(1+x \right)}{\left(1+x^2 \right)^2}\end{align*}}$
　　　となるので、f’(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow\pm\infty}\ f\ '(x)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{2}{\frac{1}{x}+x}=0\end{align*}}$
　　　なので、y＝f’(x)のグラフは右図のようになる。

　(３)
　　　接点の座標をP(p，f(p))、Q(q，f(q)) （p＜q）とし、
　　　それぞれにおける接線をL₁、L₂とおく。
　　　L₁⊥L₂より
　　　　　　　　f’(p)・f’(q)＝－1
　　　であり、(２)より
　　　　　　　　－1≦f’(p)≦1、　－1≦f’(q)≦1
　　　なので、これらを満たすのは
　　　　　　　　f’(p)＝－1 かつ　f’(q)＝1
　　　すなわち、
　　　　　　　　p＝－1 かつ　q＝1
　　　のときのみである。
　　　このとき、L₁、L₂の方程式は　　　　　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_1:y-f\ (-1)=-\left(x+1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-x+\log 2+1\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_2:y-f\ (1)=\left(x-1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x+\log 2-1\end{align*}}$

　　　一方、(２)で求めたf’(x)の増減より、
　　　f(x)の増減・凹凸は次のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、C、L₁、L₂の位置関係は、
　　　右図のようになり、この図は
　　　y軸について対称なので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^1\left\{\log\left(1+x^2 \right)-\left(x+\log x-1\right)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\log 2-2+\frac{\pi}{2}\right)-2\left[\frac{1}{2}x^2+\left(\log 2-1\right)x \right]_0^1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi-3}\end{align*}}$

　　(３)は、(１)、(２)の結論を上手く使いましょう。　　

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2018/10/10(水) 01:14:00|

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2014旭川医科大学　数学２

第２問

　　0＜a≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とし、曲線y＝1－cosx （0≦x≦a）をCとする。
　　0＜t＜aとし、原点とC上の点(t，1－cost)を通る直線をLと
　　おくとき、次の問いに答えよ。

　(１) 曲線Cと直線Lとで囲まれた部分の面積をS₁(t)、t≦x≦a
　　　の範囲でCとLと直線x＝aとで囲まれた部分の面積をS₂(t)
　　　とおくとき、S₁(t)＋S₂(t)を求めよ。

　(２) S₁(t)＋S₂(t)を最小とするtの値をt₀とする。t₀をaを用いて
　　　表せ。

　(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}\end{align*}}$ を求めよ。
　　　ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{a^3}{3!}\lt\sin a\lt a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}\end{align*}}$ は用いてよい。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　Lの方程式は　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y=\frac{1-\cos t}{t}\ x\end{align*}}$
　　　であり、CとLの位置関係は右図のようになるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(t)=\int_0^t\left\{\frac{1-\cos t}{t}\ x^2-\left(1-\cos x\right)\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1-\cos t}{2t}\ x^2-x+\sin x \right]_0^t\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{t-t\cos t}{2}-t+\sin t\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2(t)=\int_t^a\left\{\left(1-\cos x\right)-\frac{1-\cos t}{t}\ x^2\right\}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[x+\sin x -\frac{1-\cos t}{2t}\ x^2\right]_t^a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a-\sin a-\frac{a^2\left(1-\cos t\right)}{2t}-t+\sin t+\frac{t-t\cos t}{2}\end{align*}}$
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(t)+S_2(t)=\underline{\ -t-t\cos t+2\sin t-\frac{a^2\left(1-\cos t\right)}{2t}+a-\sin a}\end{align*}}$

　(２)
　　　(１)で求めたS₁(t)＋S₂(t)をf(t)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=-1+\cos t+t\sin t-\frac{a^2}{2}\cdot\frac{-1+\cos t+t\sin t}{t^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ -1+\cos t+t\sin t}{t^2}\cdot \left(2t^2-a^2\right)\end{align*}}$
　　　となる。ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)= -1+\cos t+t\sin t\ \ \ \left(0\lt t\lt a\right)\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=-\sin t+\sin t+t\cos t=t\cos t>0\end{align*}}$
　　　となるので、g(t)は単調に増加し、g(0)＝0なので、
　　　つねにg(t)＞0となる。
　　　よって、f(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　これより、f(t)が最小になるときのtの値t₀は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t_0=\frac{a}{\sqrt2}}\end{align*}}$
　　　である。

　(３)
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(t_0)=\frac{t_0-t_0\cos t_0}{2}-t_0+\sin t_0\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2(t_0)=\frac{t_0-t_0\cos t_0}{2}-t_0+\sin t_0-\frac{a^2\left(1-\cos t_0\right)}{2t_0}+a-\sin a\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1(t_0)-S_2(t_0)=\frac{a^2\left(1-\cos t_0\right)}{2t_0}-a+\sin a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a^2\left(1-\cos \frac{a}{\sqrt2}\right)}{2\cdot \frac{a}{\sqrt2}}-a+\sin a\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{a\left(1-\cos \frac{a}{\sqrt2}\right)}{\sqrt2}-a+\sin a\end{align*}}$
　　　となるので、求める極限値をPとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\frac{1-\cos \frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt2\ a^2}-\lim_{a\rightarrow +0}\frac{\sin a-a}{a^3}\end{align*}}$
　　　と表すことができる。
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{1-\cos \frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt2\ a^2}=\lim_{a\rightarrow +0}\frac{\left(1-\cos \frac{a}{\sqrt2} \right)\left(1+\cos \frac{a}{\sqrt2} \right)}{\sqrt2\ a^2\left(1+\cos \frac{a}{\sqrt2} \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\frac{1-\cos^2\frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt2\ a^2\cdot \left(1+1 \right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\frac{\sin^2\frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt4\ a^2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\left(\frac{\sin\frac{a}{\sqrt2}}{\frac{a}{\sqrt2}}\right)^2\cdot \frac{1}{4\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4\sqrt2}\end{align*}}$
　　　また、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{a^3}{3!}<\sin a\lt a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{a^3}{3!}<\sin a-a<-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{3!}<\frac{\sin a-a}{a^3}<-\frac{1}{3!}+\frac{a^2}{5!}\end{align*}}$　
　　　であり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{3!}+\frac{a^2}{5!} \right)=-\frac{1}{3!}\end{align*}}$
　　　なので、はさみうちの原理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow\infty}\frac{\sin a-a}{a^3}=-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{6}\end{align*}}$
　　　となる。
　
　　　以上より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P=\frac{1}{4\sqrt2}-\frac{1}{6}}\end{align*}}$

　　(３)で、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\lim_{a\rightarrow +0}\frac{1-\cos \frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt2\ a^2}}\end{align*}}$
　　の極限の方が少し難しいかもしれません。
　　sinを作るために、分子・分母に1＋cosをかけるんですが、気づきますか？

、　　

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2018/10/10(水) 01:15:00|

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2014旭川医科大学　数学３

第３問

　　aを正の定数とする。AB＝a、AC＝2a、∠BAC＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ である△ABCと、
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf AP}-2\overrightarrow{\sf BP}-\overrightarrow{\sf CP}\right|=a\end{align*}}$
　　を満たす動点Pがある。このとき、次の問いに答えよ。

　(１) 辺BCを1：2に内分する点をDとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ を求めよ。

　(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|\end{align*}}$ の最大値を求めよ。

　(３) 線分APが通過してできる図形の面積を求めよ。

解答はこちら↓

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【解答】

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|=a\ \ ,\ \ |\overrightarrow{\sf AC}|=2a\ \ , \ \ \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=a\cdot 2a\cdot\cos\frac{2}{3}\pi=-a^2\end{align*}}$　　……(#)

　(１)
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AD}\right|^2=\left|\frac{2\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AC}}{3}\right|^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{9}\left(4|\overrightarrow{\sf AB}|^2+4\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}+|\overrightarrow{\sf AC}|^2 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{4}{9}\ a\end{align*}}$　　←(#)より
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AD}\right|=\underline{\ \frac{2a}{3}\ \ \ (>0)}\end{align*}}$

　(２)
　　　与式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf AP}-2\overrightarrow{\sf BP}-\overrightarrow{\sf CP}\right|=a\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|2\overrightarrow{\sf AP}-2\left(\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AB}\right)-\left(\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AC}\right)\right|=a\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left|\overrightarrow{\sf AP}-\left(2\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AC}\right)\right|=a\end{align*}}$
　　　と変形することができる。
　　　ここで、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AE}=2\overrightarrow{\sf AB}+\overrightarrow{\sf AC}=3\overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$
　　　とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AE}\right|=a\end{align*}}$
　　　となるので、点PはEを中心とする半径aの円（円Eとする）
　　　の周上を動くことになる。
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|\end{align*}}$ の最大値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP} |_{max}=|\overrightarrow{\sf AE} |+|\overrightarrow{\sf EP} |=3|\overrightarrow{\sf AD} |+|\overrightarrow{\sf EP} |=\underline{\ 3a}\end{align*}}$

　(３)
　　　点Pが円Eの周上を1周する間に、線分APが
　　　通過する図形は右図のようになる。
　　　円E上の点でEP⊥PAとなる点をP₁、P₂と
　　　すると、
　　　　　　　　AE＝2a、 EP₁＝EP₂＝a
　　　より、
　　　　　　　　∠AEP₁＝∠AEP₂＝60°
　　　　　　　　AP₁＝AP₂＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ a
　　　となり、この面積Sは
　　　　　△AEP₁＋△AEP₂＋ピンク色の扇形
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt3\ a\right)+\pi\ a^2\cdot\frac{2}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(\sqrt3+ \frac{2\pi}{3}\right)a^2}\end{align*}}$

　　(２)、(３)は、図を描いて考えましょう。　　

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2018/10/10(水) 01:16:00|

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2014旭川医科大学　数学４

第４問

　　一列の並んだ3つの部屋A、B、Cがあり、2頭の象がいる。2頭の象は
　　毎日1つの部屋から隣の部屋に、次のルールに従って移動する。
　　0＜p＜1とし、象が部屋Aと部屋Bにいるとき、部屋Aにいる象は部屋A
　　に留まり、部屋Bにいる象が確率pで部屋Cに移る。象が部屋Bと部屋C
　　にいるとき、部屋Cにいる象は部屋Cに留まり、部屋Bにいる象が確率
　　1－pで部屋Aに移る。象が部屋Aと部屋Cにいるとき、部屋Aにいる象
　　が確率pで部屋Bに移り、移らない場合は部屋Cにいる象が部屋Bに移る。
　　2頭の象が同時に同じ部屋にはいることはできない。
　　はじめに2頭の象はそれぞれ部屋Aと部屋Bにいるものとし、2n日後に
　　象が部屋Aにいる確率をa_n（n＝1，2，…）とおく。このとき、次の問い
　　に答えよ。

　(１) a₁を求めよ。

　(２) a_n+1をa_nを用いて表せ。

　(３) p＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき、a_nを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　2頭の象が、
　　　　　　　部屋AとBにいる状態を状態X
　　　　　　　部屋AとCにいる状態を状態Y
　　　　　　　部屋BとCにいる状態を状態Z
　　　とし、2n日後に状態X、Y、Zにある確率をそれぞれ
　　　x_n、y_n、z_nとすると、
　　　　　　　x_n＋y_n＋z_n＝1　　　　　……(ⅰ)
　　　　　　　x₀＝1、 y₀＝z₀＝0　　……(ⅱ)
　　　また、2n日後に象が部屋Aにいる確率がa_nなので、
　　　　　　　a_n＝x_n＋y_n＝1－z_n　　……(ⅲ)
　　　である。

　(１)
　　　2日間で象は下図のように移動するので、

　　　　　　　　　

　　　　　　z_n+1＝p²x_n＋p²y_n＋{p²＋(1-p)p}z_n
　　　　　　　　　＝p²(x_n＋y_n)＋pz_n
　　　　　　　　　＝p²(1－z_n)＋pz_n　　←(ⅰ)より
　　　　　　　　　＝(p－p²)z_n＋p²　　……(#)
　　　となる。
　　　よって、(ⅱ)より
　　　　　　　　 Z₁＝(p－p²)z₀＋p²＝p²
　　　となるので、(ⅲ)より
　　　　　　　　a₁＝1－z₁＝1－p²

　(２)
　　　(#)および(ⅲ)より
　　　　　　1－a_n+1＝(p－p²)(1－a_n)＋p²
　　　　　⇔　a_n+1＝(p－p²)a_n＋1－p
　　　となる。

　(３)
　　　p＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき、(２)の漸化式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\frac{2}{9}\ a_n+\frac{1}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}-\frac{3}{7}=\frac{2}{9}\left(a_n-\frac{3}{7}\right)\end{align*}}$
　　　と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{a_n -\frac{3}{7}\right\}\end{align*}}$ は等比数列となる。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-\frac{3}{7}=\left(\frac{2}{9} \right)^n\left(a_0- \frac{3}{7}\right)=\frac{4}{7}\left(\frac{2}{9} \right)^n\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{1}{7}\left\{ 4\left( \frac{2}{9}\right)^n+3\right\}}\end{align*}}$

　　z_nを考えると楽です。　　

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2018/10/10(水) 01:17:00|

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