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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014旭川医科大学 数学1



第1問

  関数f(x)=log(1+x2)について、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\log\left(1+x^2\right)dx\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) 導関数f’(x)の増減を調べ、y=f’(x)のグラフの概形をかけ。

 (3) 曲線C:y=f(x)と曲線Cの互いに直交している2本の接線とで
    囲まれる図形の面積Sを求めよ。



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  1. 2018/10/10(水) 01:14:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .旭川医科大  2014
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2014旭川医科大学 数学2



第2問

  0<a≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ とし、曲線y=1-cosx (0≦x≦a)をCとする。
  0<t<aとし、原点とC上の点(t,1-cost)を通る直線をLと
  おくとき、次の問いに答えよ。

 (1) 曲線Cと直線Lとで囲まれた部分の面積をS1(t)、t≦x≦a
    の範囲でCとLと直線x=aとで囲まれた部分の面積をS2(t)
    とおくとき、S1(t)+S2(t)を求めよ。

 (2) S1(t)+S2(t)を最小とするtの値をt0とする。t0をaを用いて
    表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{S_1(t_0)-S_2(t_0)}{a^3}\end{align*}}$ を求めよ。
    ただし、$\small\sf{\begin{align*} \sf a-\frac{a^3}{3!}\lt\sin a\lt a-\frac{a^3}{3!}+\frac{a^5}{5!}\end{align*}}$ は用いてよい。



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2014旭川医科大学 数学3



第3問

  aを正の定数とする。AB=a、AC=2a、∠BAC=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ である△ABCと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left|2\overrightarrow{\sf AP}-2\overrightarrow{\sf BP}-\overrightarrow{\sf CP}\right|=a\end{align*}}$
  を満たす動点Pがある。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) 辺BCを1:2に内分する点をDとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AD}|\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|\end{align*}}$ の最大値を求めよ。

 (3) 線分APが通過してできる図形の面積を求めよ。




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2014旭川医科大学 数学4



第4問

  一列の並んだ3つの部屋A、B、Cがあり、2頭の象がいる。2頭の象は
  毎日1つの部屋から隣の部屋に、次のルールに従って移動する。
  0<p<1とし、象が部屋Aと部屋Bにいるとき、部屋Aにいる象は部屋A
  に留まり、部屋Bにいる象が確率pで部屋Cに移る。象が部屋Bと部屋C
  にいるとき、部屋Cにいる象は部屋Cに留まり、部屋Bにいる象が確率
  1-pで部屋Aに移る。象が部屋Aと部屋Cにいるとき、部屋Aにいる象
  が確率pで部屋Bに移り、移らない場合は部屋Cにいる象が部屋Bに移る。
  2頭の象が同時に同じ部屋にはいることはできない。
  はじめに2頭の象はそれぞれ部屋Aと部屋Bにいるものとし、2n日後に
  象が部屋Aにいる確率をan(n=1,2,…)とおく。このとき、次の問い
  に答えよ。

 (1) a1を求めよ。

 (2) an+1をanを用いて表せ。

 (3) p=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき、anを求めよ。



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