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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014九州大 文系数学1



第1問

  座標平面上の直線y=-1をL1、直線y=1をL2とし、x軸上の2点
  O(0,0)、A(a,0)を考える。点P(x,y)について、次の条件を考える。
       d(P,L1)≧PO かつ d(P,L2)≧PA  ……①
  ただし、d(P,L)は点Pと直線Lの距離である。

 (1) 条件①を満たす点Pが存在するようなaの値の範囲を求めよ。

 (2) 条件①を満たす点P全体がなす図形の面積Sをaを用いて表せ。
    ただし、aの値は(1)で求めた範囲にあるとする。





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  1. 2018/10/17(水) 01:05:00|
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2014九州大 文系数学2


   理系との共通問題です。

第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 任意の自然数aに対し、a2を3で割った余りは0か1であることを
    証明せよ。

 (2) 自然数a、b、cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると、a、b、cは
    すべて3で割り切れなければならないことを証明せよ。

 (3) a2+b2=3c2を満たす自然数a、b、cは存在しないことを証明せよ。




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  1. 2018/10/17(水) 01:06:00|
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2014九州大 文系数学3



第3問

  鋭角三角形△ABCについて、∠A、∠B、∠Cの大きさを、それぞれ
  A、B、Cとする。△ABCの重心をG、外心をOとし、外接円の半径を
  Rとする。

 (1) AとOから辺BCに下ろした垂線を、それぞれAD、OEとする。
    このとき、
        AD=2RsinBsinC、 OE=RcosA
    を証明せよ。

 (2) GとOが一致するならば△ABCは正三角形であることを証明せよ。

 (3) △ABCが正三角形でないとし、さらにOGがBCと平行であるとする。
    このとき、
        AD=3OE、 tanBtanC=3
    を証明せよ。




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  1. 2018/10/17(水) 01:07:00|
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2014九州大 文系数学4


   理系との共通問題です。

第4問

  Aさんは5円硬貨を3枚、Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚
  持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。
  それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を
  勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。
  なお、表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし、硬貨の
  やりとりは行わない。このゲームについて,以下の問いに答えよ.

 (1) AさんがBさんに勝つ確率p、および引き分けとなる確率qをそれ
    ぞれ求めよ。

 (2) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値Eを
    求めよ。



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