青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

2010京都大　文系数学１

昼過ぎの新幹線に乗って帰ってきました。
着くやいなや面談、授業とあって疲れましたね＾＾；；

第１問

　　次の各問に答えよ。

　(１) 座標平面上で、点(１，２)を通り傾きａの直線と放物線ｙ＝ｘ²によって
　　　囲まれる部分の面積をＳ(ａ)とする。ａが０≦ａ≦６の範囲を変化するとき、
　　　Ｓ(ａ)を最小にするようなａの値を求めよ。

　(２) △ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝２、ＡＣ＝１とする。∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣ
　　　の交点をＤとする。ＡＤ＝ＢＤとなるとき、△ＡＢＣの面積を求めよ。

解答はこちら↓

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/10/31(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　文系数学２

あれよと言う間に11月ですね。霜月ですよ。

第２問

　　座標平面上の点Ｐ(ｘ，ｙ)が４ｘ＋ｙ≦９、ｘ＋２ｙ≧４、２ｘ－３ｙ≧－６の
　　範囲を動くとき、２ｘ＋ｙ、ｘ²＋ｙ²のそれぞれの最大値と最小値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　与えられた領域をＤとする。
　　　　　　 $\rm 4x+y\leq9\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leq-4x+9$
　　　　　　 $\rm x+2y\geq4\ \ \Leftrightarrow\ \ y\geq-\frac{1}{2}x+2$
　　　　　　 $\rm 2x-3y\geq-6\ \ \Leftrightarrow\ \ y\leq \frac{2}{3}x+2$
　　　　領域Ｄを図示したものが、右図の三角形で、
　　　　３頂点をＡ、Ｂ、Ｃとすると、
　　　　　　　 $\rm A(0,2)\ \ ,\ \ B(2,1)\ \ ,\ \ C\left(\frac{3}{2}\ ,3\right)$

　　(１) ２ｘ＋ｙについて
　　　　　　２ｘ＋ｙ＝ｋ　⇔　ｙ＝－２ｘ＋ｋ　（ｋ：実数）
　　　　とおくと、この式は傾き－２、切片ｋの直線を表す。
　　　　この直線をＬとすると、領域Ｄと直線Ｌが共有点を
　　　　もてばよい。
　　　　　　Ｌが点Ｃを通るとき、切片ｋは最大となり、
　　　　　　Ｌが点Ａを通るとき、ｋは最小となる。
　　　　よって、２ｘ＋ｙの値は、
　　　　　　 $\rm x=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ y=2$ のとき、最大６
　　　　　　ｘ＝０、ｙ＝２のとき、最小２

　　(２) ｘ²＋ｙ²について
　　　　　ｒを正の定数として、ｘ²＋ｙ²＝ｒ²
　　　　　とおくと、
　　　　　この式は原点中心、半径ｒの円を表す。
　　　　　この円をＥとおくと、領域Ｄと円Ｅが共有点
　　　　　をもてばよいので、円Ｅが点Ｃを通るとき、
　　　　　半径ｒは最大となる。
　　　　　また、円Ｅが線分ＡＢと接するならば、
　　　　　そのとき半径ｒは最小となる。

　　　　　原点Ｏから、直線ＡＣ：ｘ＋２ｙ－４＝０までの距離をｄとすると、
　　　　　　　　 $\rm d=\frac{|0+0-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{4\sqrt5}{5}$
　　　　　ｒ＝ｄのとき、円Ｅと直線ＡＣは接するので、
　　　　　　　　 $\rm \left\{ \begin{array}{ll}\rm E:\ x^2+y^2=\frac{16}{5} \\ \rm AB:\ x+2y=4 \\\end{array} \right.$
　　　　　これらを連立させて解くと、
　　　　　　　　 $\rm (x,y)=\left(\frac{4}{5}\ ,\ \frac{8}{5}\right)$
　　　　　となり、この点は領域Ｄに含まれる。
　　　　　よって、このときｒは最小となる。

　　　　　以上より、ｘ²＋ｙ²の値は、
　　　　　　　 $\rm x=\frac{3}{2}\ \ ,\ \ y=2$ のとき、最大 $\rm \frac{45}{4}$
　　　　　　　 $\rm x-\frac{4}{5}\ \ ,\ \ y=\frac{8}{5}$ のとき、最小 $\rm \frac{16}{5}$

　　教科書レベルですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/11/01(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　文系数学３

本日は体調不良です。
しかも昨日書いたブログ記事が全部消えていて茫然自失････

第３問

　　１から５までの自然数を１列に並べる。どの並べ方も同様の確からしさ
　　で起こるものとする。このとき１番目と２番目と３番目の数の和と、
　　３番目と４番目と５番目の数の和が等しくなる確率を求めよ。ただし、
　　各並べ方において、それぞれの数字は重複なく１度ずつ用いるものとする。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　並べ方の総数は、５！＝120通り。

　　　　５つの数を順にＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅとすると、
　　　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝Ｃ＋Ｄ＋Ｅ　⇔　Ａ＋Ｂ＝Ｄ＋Ｅ････①
　　　　また、
　　　　　　Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＝1＋２＋３＋４＋５＝15 ････②
　　　　①、②より、
　　　　　　２(Ａ＋Ｂ)＋Ｃ＝15となり、Ｃは奇数とならなければならない。

　　　　(ⅰ) Ｃ＝１のとき
　　　　　　　２＋５＝３＋４より、①を満たすＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄの組は
　　　　　　(Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ)
　　　　　　　　　＝(２，５，３，４)、(２，５，４，３)、(５，２，３，４)、
　　　　　　　　　　(５，２，４，３)、(３，４，２，５)、(３，４，５，２)、
　　　　　　　　　　(４，３，２，５)、(４，３，５，２)
　　　　　　の８通りある。　　　　　　　　　　　　

　　　　(ⅱ) Ｃ＝３のときも同様に８通り
　　　　(ⅲ) Ｃ＝５のときも同様に８通り

　　　　以上より、求める確率は、
　　　　　　　 $\rm \frac{8\times3}{120}=\underline{\ \frac{1}{5}\ \ }$

　　これぐらいの数だったら、あれやこれや下手な日本語の説明を書くよりも
　　具体的に書き出した方が楽だと思います。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/11/02(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　文系数学４

文化の日です。
いつもどおりの生活なのですが。

第４問

　　点Ｏを中心とする正十角形において、Ａ、Ｂを隣接する２つの頂点とする。線分ＯＢ
　　上にＯＰ²＝ＯＢ・ＰＢを満たす点Ｐをとるとき、ＯＰ＝ＡＢが成立することを示せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　以下、ＯＡ＝ＯＢ＝ａとする。　

　　　　ＯＰ²＝ＯＢ・ＰＢ　⇔　ＯＰ²＝ａ・(ａ－ＯＰ)
　　　　　　　　　　　　　　 ⇔　ＯＰ²＋ａＯＰ－ａ²＝０
　　　　よって、
　　　　　　　 $\rm OP=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ a\ \ (>0)$ 　････①

　　　　一方、二等辺三角形ＯＡＢの頂角を求めると、
　　　　360÷10＝36°であり、
　　　　　　∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝(180－36)÷２＝72°
　　　　ここで、ＡＱが∠ＯＡＢの二等分線になるように、
　　　　辺ＯＢ上に点Ｑをとると、
　　　　　　　∠ＯＡＱ＝∠ＡＯＱ＝36°
　　　　　　　∠ＡＢＱ＝∠ＡＱＢ＝72°
　　　　になるので、△ＱＯＡ、△ＡＢＱはともに二等辺三角形となる。
　　　　　　　よって、ＯＱ＝ＡＱ＝ＡＢ　･･･②

　　　　また、△ＯＡＢ∽△ＡＢＱとなるので、
　　　　　　　　ＯＡ：ＡＢ＝ＡＢ：ＢＱ
　　　　　　⇔　ＡＢ²＝ａ・(ａ－ＡＢ)　　←②より
　　　　　　⇔　ＡＢ²＋ａＡＢ－ａ²＝０
　　　　これを解くと、
　　　　　　　 $\rm AB=\frac{-1+\sqrt5}{2}\ a\ \ (>0)$
　　　　これと①より、ＯＰ＝ＡＢが示された。

　　この図は有名ですよね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/11/03(木) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

| トラックバック:0

| コメント:0

2010京都大　文系数学５

今日は暑かったですね。
半袖のシャツを着ています。

第５問

　　座標空間内で、Ｏ(０，０，０)、Ａ(１，０，０)、Ｂ(１，１，０)、
　　Ｃ(０，１，０)、Ｄ(０，０，１)、Ｅ(１，０，１)、Ｆ(１，１，１)、
　　Ｇ(０，１，１)を頂点にもつ立方体を考える。

　(１) 頂点Ａから対角線ＯＦに下ろした垂線の長さを求めよ。

　(２) この立方体を対角線ＯＦを軸にして回転させて得られる
　　　回転体の体積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　(１)
　　　　平面ＯＡＦＧで考えると、
　　　　　　　 $\rm AF=\sqrt2\ \ ,\ \ OF=\sqrt3$
　　　　ＡからＯＦに下ろした垂線の足をＡ’とすると、
　　　　△ＯＡＦ∽△ＯＡ’Ａなので、
　　　　　　　 $\rm AA'=OA\times \frac{AF}{OF}=\underline{\ \frac{\sqrt6}{3}\ \ }$

　　(１)は問題ないんですよ。困ったのが(２)
　　これって文系の問題ですよね？？？
　　数Ⅲの知識なしではムリっぽいんですが････　　

　　(２)
　　　　求める回転体を３つの部分に分けて考える。
　　　　　(ア) 辺ＯＡを回転させてできる円錐Ｓ
　　　　　　　　(辺ＯＣ、ＯＤを回転させても同じ円錐ができる)
　　　　　(イ) 辺ＦＢを回転させてできる円錐Ｔ
　　　　　　　　(辺ＦＥ、ＦＧを回転させても同じ円錐ができる)
　　　　　(ウ) 辺ＡＥを回転させてできる立体Ｕ
　　　　　　　　(辺ＡＢ、ＣＢ、ＣＧ、ＤＥ、ＤＧを回転させても同じ立体ができる)

　　　　(ア)について
　　　　　　△ＯＡ’Ａで三平方の定理を用いると、
　　　　　　　 $\rm OA'=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt3}{3}$
　　　　　　この円錐は、底面の半径はＡＡ’と一致し、
　　　　　　高さがＯＡ’となるので、その体積Ｖ_Sは、
　　　　　　　 $\rm V_S=\pi\times\left(\frac{\sqrt6}{3}\right)^2\times \frac{\sqrt3}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt3}{27}\ \pi$

　　　　(イ)について
　　　　　　ＢからＯＦに下ろした垂線の足をＢ’とすると、
　　　　　　(ア)と同様に、
　　　　　　　　 $\rm BB'=\frac{\sqrt6}{3}\ \ ,\ \ FB'\ =\frac{\sqrt3}{3}$
　　　　　　となるので、その体積Ｖ_Tは、
　　　　　　　　 $\rm V_T=\frac{2\sqrt3}{27}\ \pi$

　　　　(ウ)について
　　　　　　辺ＡＢ上にＡＰ＝ｘ（０≦ｘ≦１）となる点Ｐをとり、
　　　　　　△ＯＡＰ、ＦＢＰでそれぞれ三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　ＯＰ²＝１＋ｘ²
　　　　　　　　ＰＦ²＝１＋(１－ｘ)²＝ｘ²－２ｘ＋２．
　　　　　　次に、ＰからＯＦに垂線ＰＰ’を下ろし、ＯＰ’＝ｔとおくと、
　　　　　　Pが点ＡからＢまで動くとき、Ｐ’はＡ’からＢ’まで動くので、
　　　　　　　　　　　 $\rm \frac{\sqrt3}{3}\leq t \leq \frac{2\sqrt3}{3}$ ････①
　　　　　　一方、△ＯＰＰ’と△ＦＰＰ’でそれぞれ三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　　　Ｐ’Ｐ²＝ＯＰ²－Ｐ’Ｏ²＝ＰＦ²－Ｐ’Ｆ²
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ P\ 'P^2=(x^2+1)-t^2=(x^2-2x+2)-(\sqrt3 -t)^2$
　　　　　　　　 $\rm \Leftrightarrow\ \ x=\sqrt3\ t-1$
　　　　　　このとき、
　　　　　　　　 $\rm P\ 'P^2=\left(\sqrt3\ t-1 \right)^2+1-t^2=2t^2-2\sqrt3\ t+2$
　　　　　　立体Ｕを回転軸ＯＦに垂直な平面で切ったときの断面は、
　　　　　　半径がＰ’Ｐの円になるので、Ｕの体積Ｖ_Uは、
　　　　　　①の範囲で断面積を積分することによって求められる。
　　　　　　　　 $\rm V_U=\pi\ \int_{\frac{\sqrt3}{3}}^{\frac{2\sqrt3}{3}} \ \left( 2t^2-2\sqrt3\ t+2 \right)\ dt$
　　　　　　これを計算すると、
　　　　　　　　 $\rm V_U=\frac{5\sqrt3}{27} \ \pi$

　　　　以上より、求める体積は、
　　　　　　　　 $\rm V_S+V_T+V_U=\frac{2\sqrt3}{27} \ \pi+\frac{2\sqrt3}{27} \ \pi+\frac{5\sqrt3}{27} \ \pi=\underline{\ \frac{\sqrt3}{3} \ \pi\ \ }$

　　なるべく数Ⅲ内容を用いないで解いてみました。
　　体積を断面積を積分して求めるという方法は、
　　一部の数Ⅱの参考書には載っているみたいですが･･･・
　　　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2011/11/04(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　文系　2010

| トラックバック:0

| コメント:0