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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014九州大 理系数学1



第1問

  関数f(x)=x-sinx (0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ )を考える。曲線y=f(x)の接線で
  傾きが$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となるものをLとする。

 (1) Lの方程式と接点の座標(a,b)を求めよ。

 (2) aは(1)で求めたものとする。曲線y=f(x)、直線x=a、および
    x軸で囲まれた領域を、x軸のまわりに1回転してできる回転体の
    体積Vを求めよ。



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  1. 2018/10/17(水) 01:09:00|
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2014九州大 理系数学2


   文系との共通問題です。

第2問

  以下の問いに答えよ。

 (1) 任意の自然数aに対し、a2を3で割った余りは0か1であることを
    証明せよ。

 (2) 自然数a、b、cがa2+b2=3c2を満たすと仮定すると、a、b、cは
    すべて3で割り切れなければならないことを証明せよ。

 (3) a2+b2=3c2を満たす自然数a、b、cは存在しないことを証明せよ。




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2014九州大 理系数学3



第3問

  座標平面上の楕円
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(x+2 \right)^2}{16}+\frac{\left(y-1 \right)^2}{4}=1\end{align*}}$   ……①
  を考える。以下の問いに答えよ。

 (1) 楕円①と直線y=x+aが交点をもつときのaの値の範囲を求めよ。

 (2) |x|+|y|=1を満たす点(x,y)全体がなす図形の概形をかけ。

 (3) 点(x,y)が楕円①上を動くとき、|x|+|y|の最大値、最小値と
    それを与える(x,y)をそれぞれ求めよ。



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2014九州大 理系数学4


   文系との共通問題です。

第4問

  Aさんは5円硬貨を3枚、Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚
  持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。
  それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を
  勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。
  なお、表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし、硬貨の
  やりとりは行わない。このゲームについて,以下の問いに答えよ.

 (1) AさんがBさんに勝つ確率p、および引き分けとなる確率qをそれ
    ぞれ求めよ。

 (2) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値Eを
    求めよ。



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2014九州大 理系数学5



第5問

  2以上の自然数nに対して、関数fn(x)を
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f_n\ (x)=\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right)\ldots\left(nx-1 \right)\end{align*}}$
  と定義する。k=1,2,…,n-1に対して、fn(x)が区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k+1}\lt x\lt\frac{1}{k}\end{align*}}$ で
  ただ1つの極値をとることを証明せよ。




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