第１問
関数f(x)＝x-sinx （0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ）を考える。曲線y＝f(x)の接線で
傾きが$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となるものをLとする。
(１) Lの方程式と接点の座標(a，b)を求めよ。
(２) aは(１)で求めたものとする。曲線y＝f(x)、直線x＝a、および
x軸で囲まれた領域を、x軸のまわりに1回転してできる回転体の
体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
x＝aにおけるf(x)の微分係数が $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(a)=1-\cos a=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos a=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a=\frac{\pi}{3}\ \ \ \ \left(\because 0\leqq a\leqq \frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
よって、接点の座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a\ ,\ b \right)=\left(\frac{\pi}{3}\ ,\ f\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=\underline{\ \left( \frac{\pi}{3}\ ,\ \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)}\end{align*}}$
であり、接線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L:\ y-\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\frac{1}{2}\ x+\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{2}}\end{align*}}$
(２)
曲線y＝f(x)とx軸との位置関係は、
右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_0^a\left(x-\sin x \right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_0^a\left(x^2-2x\sin x+\sin^2 x \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^a+2\bigg[x\cos x\bigg]_0^a-2\int_0^a\cos xdx+\int_0^a\frac{1-\cos 2x}{2}\ dx \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left\{\frac{a^3}{3}+2a\cos a-2\bigg[\sin x\bigg]_0^a+\frac{1}{2}\bigg[x-\frac{1}{2}\sin 2x\bigg]_0^a\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \pi\left(\frac{\pi^3}{81}+\frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{8} \right)}\ \ \ \ \left(\because a=\frac{\pi}{3}\right)\end{align*}}$
これは標準的な問題ですね。
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文系との共通問題です。
第２問
以下の問いに答えよ。
(１) 任意の自然数aに対し、a2を3で割った余りは0か1であることを
証明せよ。
(２) 自然数a、b、cがa2＋b2＝3c2を満たすと仮定すると、a、b、cは
すべて3で割り切れなければならないことを証明せよ。
(３) a2＋b2＝3c2を満たす自然数a、b、cは存在しないことを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下の合同式は、すべてmod3で考える。
(１)
a≡0のとき、a2≡0
a≡1のとき、a2≡1
a≡2のとき、a2≡4≡1
よって、a2≡0 または a2≡1 となり、題意は示された。
(２)
a2＋b2＝3c2 ……(ⅰ)
が成り立つとき、3c2≡0なので、
a2＋b2≡3c2≡0 ……(ⅱ)
である。
(１)より、a2≡0 または a2≡1であり、
同様に、b2≡0 または b2≡1である。
1＋1≡2 1＋0≡1
0＋1≡1 0＋0≡0
なので、(ⅱ)を満たすのは、
a2≡0 かつ b2≡0
のときのみである。(１)より、a2≡0は、
a≡0のときのみ成り立ち、同様に、b≡0も成り立つので、
a、bはともに3で割り切れる数である。
よって、a、bは自然数a1、b2を用いて
a＝3a1、 b＝3b1
と表すことができる。
これを(ⅰ)に代入すると、
(3a1)2＋(3b1)2＝3c2
⇔ c2＝3(a12＋b12)
となるので、cも3の倍数となる。
(３)
(ⅰ)を満たすような自然数a、b、cが存在すると仮定すると、
(２)より、a、b、cは3で割り切れるので、
自然数a1、b1、c1を用いて、
a＝3a1、 b＝3b1、 c＝3c1
と表すことができる。これを(ⅰ)に代入すると、
(3a1)2＋(3b1)2＝3(3c1)2
⇔ a12＋b12＝3c12
この式は、(ⅰ)式と同じ形になるので、(２)より、a1、b1、c1は
3の倍数となる。よって、自然数a2、b2、c2を用いて、
a＝3a1＝32a2、 b＝3b1＝32b2、 c＝3c1＝32c2
と表すことができるので、a、b、cはすべて32で割り切れる。
これを(ⅰ)に代入すると、
(32a2)2＋(32b2)2＝3(32c2)2
⇔ a22＋b22＝3c22
同様に、a2、b2、c2は3の倍数となるので、
自然数a3、b3、c3を用いて、
a＝33a3、 b＝33b3、 c＝33c3
と表すことができるので、a、b、cはすべて33で割り切れる。
これを繰り返していくと、
a＝34a4、 b＝3b4b4、 c＝34c4
a＝35a5、 b＝3b5b5、 c＝35c5
a＝36a6、 b＝3b6b6、 c＝36c6
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
となり、a、b、cは何回も3で割り切れることになるが、
そのような自然数a、b、cは存在しない。
よって、a2＋b2＝3c2を満たす自然数a、b、cは存在しない。
現高3生からは合同式を習っているはずですので、遠慮せずに使います(笑)！
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第３問
座標平面上の楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(x+2 \right)^2}{16}+\frac{\left(y-1 \right)^2}{4}=1\end{align*}}$ ……①
を考える。以下の問いに答えよ。
(１) 楕円①と直線y＝x＋aが交点をもつときのaの値の範囲を求めよ。
(２) |x|＋|y|＝1を満たす点(x，y)全体がなす図形の概形をかけ。
(３) 点(x，y)が楕円①上を動くとき、|x|＋|y|の最大値、最小値と
それを与える(x，y)をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
①にy＝x＋aを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(x+2 \right)^2}{16}+\frac{\left(x+a-1 \right)^2}{4}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2+4\left(2a-1 \right)x+4a^2-8a-8=0\end{align*}}$ ……(#)
となり、楕円①と直線y＝x＋aが交点を持つためには、
(#)が実数解を持てばよいので、判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=4\left(2a-1 \right)^2-5\left(4a^2-8a-8 \right)\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^2-6a-11\leqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 3-2\sqrt5\leqq a\leqq 3+2\sqrt5}\end{align*}}$
(２)
x≧0、y≧0のとき、|x|＋|y|＝x＋y＝1
x≧0、y≦0のとき、|x|＋|y|＝x－y＝1
x≦0、y≧0のとき、|x|＋|y|＝－x＋y＝1
x≦0、y≦0のとき、|x|＋|y|＝－x－y＝1
なので、これを図示すると右図のようになる。
(３)
楕円①上の点(x，y)がx＝y＝0となることはないので、
|x|＋|y|＝kとおくと、k＞0となる。
(２)と同様、この式は原点を中心とする正方形を表し、
その4頂点を
A(k，0)、B(0，k)、C(－k，0)、D(0，－k)
とおく。
【kの最小値】
|x|＋|y|＝kと①が共有点を持つようなkの最小値は、
点Dが①上にあるとき（右図）なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(0+2 \right)^2}{16}+\frac{\left(-k-1 \right)^2}{4}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=-1+\sqrt3\ \ (>0)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x\ ,\ y\right)=\underline{\ \left(0\ ,\ 1-\sqrt3\right)}\end{align*}}$
のとき、kは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{min}=\underline{\ -1+\sqrt3\ }\end{align*}}$
である。
【kの最大値】
|x|＋|y|＝kと①が共有点を持つような
kの最大値は、辺BCが①と接するとき（下図）
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\left(x+2 \right)^2}{16}+\frac{\left(y+k-1 \right)^2}{4}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 5x^2+4\left(2k-1 \right)x+4k^2-8k-8=0\end{align*}}$ …(*)
この式の判別式を考えると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=4\left(2k-1 \right)^2-5\left(4k^2-8k-8 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=3+2\sqrt5\ \ (>0)\end{align*}}$
このとき(*)は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\left\{x+\frac{2}{5}\left(2k-1 \right)\right\}^2=0\end{align*}}$
と因数分解できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{2}{5}\left(2k-1 \right)=-\frac{2}{5}\left\{2\left(3+2\sqrt5\right)-1 \right\}=-\frac{2}{5}\left(4+4\sqrt5 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=x+k=-\frac{2}{5}\left(4+4\sqrt5 \right)+\left(3+2\sqrt5\right)=\frac{1}{5}\left(5+2\sqrt5 \right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x\ ,\ y\right)=\underline{\ \left(-\frac{2}{5}\left(4+4\sqrt5 \right)\ ,\ \frac{1}{5}\left(5+2\sqrt5 \right)\right)}\end{align*}}$
のとき、kは最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k_{max}=\underline{\ 3+2\sqrt5\ }\end{align*}}$
である。
(３)は、ある程度正確な図を描く必要があります。
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文系との共通問題です。
第４問
Aさんは5円硬貨を3枚、Bさんは5円硬貨を1枚と10円硬貨を1枚
持っている。2人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。
それぞれが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を
勝ちとする。勝者は相手の裏が出た硬貨をすべてもらう。
なお、表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分けとし、硬貨の
やりとりは行わない。このゲームについて，以下の問いに答えよ．
(１) AさんがBさんに勝つ確率p、および引き分けとなる確率qをそれ
ぞれ求めよ。
(２) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値Eを
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A、Bが投げた表の硬貨の合計金額をそれぞれa、bとおく。
a＝0，5，10，15となる確率はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\ \ ,\ \ \frac{3}{8}\ \ ,\ \ \frac{3}{8}\ \ ,\ \ \frac{1}{8}\end{align*}}$
であり、b＝0，5，10，15となる確率はすべて $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ である。
(１)
Aが勝つのは
(a，b)＝(15，0)、(15，5)、(15，10)、
(10，0)、(10，5)、(5，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p=\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{3}{8}}\end{align*}}$
引き分けになるのは
(a，b)＝(15，15)、(10，10)、(5，5)、(0，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\underline{\ \frac{1}{4}}\end{align*}}$
(２)
ゲーム終了後のAの硬貨の合計金額をXとする。
X＝5となるのは
(a，b)＝(5，10)、(5，15)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}\end{align*}}$
X＝10となるのは
(a，b)＝(10，15)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{32}\end{align*}}$
X＝15となるのは
(a，b)＝(15，15)、(10，10)、(5，5)、(0，0)
の場合なので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q=\frac{1}{4}\end{align*}}$
X＝20となるのは
(a，b)＝(15，10)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{32}\end{align*}}$
X＝25となるのは
(a，b)＝(15，5)、(10，5)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}\end{align*}}$
X＝30となるのは
(a，b)＝(15，0)、(10，0)、(5，0)
の場合のなので、その確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\right)\times\frac{1}{4}=\frac{7}{32}\end{align*}}$
以上より、Xの期待値Eは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 5\cdot\frac{3}{16}+10\cdot\frac{3}{32}+15\cdot\frac{1}{4}+20\cdot\frac{1}{32}+25\cdot\frac{1}{16}+30\cdot\frac{7}{32}=\underline{\ \frac{255}{16}}\end{align*}}$
である。
もれなく書きあげましょう。
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第５問
2以上の自然数nに対して、関数fn(x)を
$\small\sf{\begin{align*} \sf f_n\ (x)=\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right)\ldots\left(nx-1 \right)\end{align*}}$
と定義する。k＝1，2，…，n－1に対して、fn(x)が区間 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k+1}\lt x\lt\frac{1}{k}\end{align*}}$ で
ただ1つの極値をとることを証明せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
開区間Ikを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_k:\ \frac{1}{k+1}\lt x<\frac{1}{k}\ \ \ \ \left(k=1,2,\ldots ,n-1\right)\end{align*}}$
とおく。
fn(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(x)=n!\left(x-1\right)\left(x- \frac{1}{2}\right)\ldots\left(x- \frac{1}{k}\right)\ldots\left(x-\frac{1}{n}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n(1)=f_n\left(\frac{1}{2}\right)=\ldots =f_n\left( \frac{1}{k}\right)=\ldots =f\left(\frac{1}{n}\right)=0\end{align*}}$ ……(*)
また、fn(x)はn次式であり、その導関数fn’(x)はn－1次式なので、
方程式fn’(x)＝0は高々n－1個の実数解を持つ。……(#)
一方、fn(x)はすべての実数に対して連続かつ微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(c_k)=\frac{f\left(\frac{1}{k}\right)-f\left(\frac{1}{k+1}\right)}{\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}=0\end{align*}}$ ←(*)より
となるckが区間Ik内に少なくとも1つ存在し、このことはn－1個の
開区間I1，I2，…，In-1のすべてに対して成り立つ。
このことと(#)より、fn’(x)＝0 の実数解は、各開区間Ik
（k＝1，2，…，n－1）内にただ1つずつ存在することになる。
それらをck（k＝1，2，…，n－1）とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1>c_1>\frac{1}{2}>c_2>\frac{1}{3}>\ldots >\frac{1}{k}>c_k>\frac{1}{k+1}>\ldots >\frac{1}{n-1}>c_{n-1}>\frac{1}{n}\end{align*}}$
であり、fn’(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f_n\ '(x)=n!\left(x-c_1 \right)\left(x-c_2 \right)\ldots\left(x-c_k \right)\ldots\left(x-c_{n-1} \right)\end{align*}}$
と表すことができるので、fn(x)の増減は次のようになる。
よって、fn(x)はx＝c1，c2，…，cn-1で極値をとることになるので、
題意は示された。
これは難しいでしょうねぇ。とにかく答案が書きにくい。
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