第１問
原点を中心とする半径1の円をCとし、x軸上に点P(a，0)をとる。
ただしa＞1とする。PからCへ引いた2本の接線の接点を結ぶ直線
がx軸と交わる点をQとする。
(１) Qのx座標を求めよ。
(２) 点RがC上にあるとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{PR}{QR}\end{align*}}$ がRによらず一定であることを示し、
その値をaを用いて表せ。
(３) C上の点Rが∠PRQ＝90°をみたすとする。このようなRの座標
と線分PRの長さを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
PからCへ引いた接線の接点をA、Bとする。
Aの座標を(x1，y1) とおくと、AにおけるCの接線は
x1x＋y1y＝1
と表せる。これが点Pを通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1a=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1=\frac{1}{a}\end{align*}}$ ．
同様に、Bの座標を(x2，y2) とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_2=\frac{1}{a}\end{align*}}$
となるので、直線ABとx軸との交点Qは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ Q\left(\frac{1}{a}\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$
である。
(２)
C上の点Rの座標をR(s，t)とおくと、
s2＋t2＝1 ……(#)
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR=\sqrt{\left(s-a\right)^2+t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{a^2-2as+1}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\sqrt{\left(s-\frac{1}{a}\right)^2+t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{1}{a^2}-\frac{2s}{a}+1}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\sqrt{a^2-2as+1}\end{align*}}$ ←a＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{a}\ PR\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{PR}{QR}=a\ }\end{align*}}$ （一定）
(３)
QR＝bとおくと、(２)より、PR＝ab と表せ、
∠PRQ＝90より、△PQRに三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(a-\frac{1}{a}\right)^2=b^2+a^2b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b^2=\frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^2\left(a^2+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{a^2-1}{a\sqrt{a^2+1}}\ \ \ \ \left(\because a>1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ PR=ab=\underline{\frac{a^2-1}{\sqrt{a^2+1}}\ }\end{align*}}$
R(s，t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR^2=\left(s-a\right)^2+t^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(a^2-1\right)^2}{a^2+1}=-2as+a^2+1\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ s=\frac{\left(a^2-1\right)^2-\left(a^2+1\right)^2}{-2a\left(a^2+1\right)}=\frac{2a}{a^2+1}\end{align*}}$
(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=1-\left(\frac{2a}{a^2+1}\right)^2=\frac{a^4-2a^2+1}{\left(a^2+1\right)^2}=\left(\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=\pm\frac{a^2-1}{a^2+1}\ \ \ \left(\because a>1\right)\end{align*}}$
となるので、題意を満たすようなRの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(\frac{2a}{a^2+1}\ ,\ \frac{a^2-1}{a^2+1}\right)\ }\end{align*}}$
である。
(１)は、△OAP∽△OQAに気づくと一発です！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/23(火) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第２問
大小合わせて2個のサイコロがある。サイコロを投げると、1から6
までの整数の目が等しい確率で出るとする。
(１) 2個のサイコロを同時に投げる。出た目の差の絶対値について、
その期待値を求めよ。
(２) 2個のサイコロを同時に投げ、出た目が異なるときはそこで終了
する。出た目が同じときには小さいサイコロをもう一度だけ投げて
終了する。終了時に出ている目の差の絶対値について、その期待
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2つのサイコロの目の差の絶対値は 、次のようになる。
よって、期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1\cdot 10+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 4+5\cdot 2}{36}=\underline{\ \frac{35}{18}}\end{align*}}$
(２)
サイコロの目の差の絶対値が1になるのは
(ア)1回目の目の差の絶対値が1
(イ)1回目の目の差が0で、2回目の目の差の絶対値が1
の2つの場合があるので、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{10}{36}+\frac{6}{36}\cdot\frac{10}{36}=\frac{7}{6}\cdot\frac{10}{36}\end{align*}}$
同様に、サイコロの目の差の絶対値が2、3、4、5になるのは
それぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\cdot\frac{8}{36}\ \ ,\ \ \frac{7}{6}\cdot\frac{6}{36}\ \ ,\ \ \frac{7}{6}\cdot\frac{4}{36}\ \ ,\ \ \frac{7}{6}\cdot\frac{2}{36}\end{align*}}$
なので、求める期待値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\cdot\left(\frac{10}{36}+\frac{8}{36}+\frac{6}{36}+\frac{4}{36}+\frac{2}{36}\right)=\underline{\ \frac{245}{108}}\end{align*}}$
である。
これを間違えたらダメです。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/23(火) 01:05:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
第３問
実数tに対して2点P(t，t2)、Q(t＋1，(t＋1)2)を考える。
(１) 2点P、Qを通る直線Lの方程式を求めよ。
(２) aは定数とし、直線x＝aとLの交点のy座標をtの関数と考えて
f(t)とおく。tが－1≦t≦0の範囲を動くときのf(t)の最大値を
aを用いて表せ。
(３) tが－1≦t≦0の範囲を動くとき、線分PQが通過してできる図形
を図示し、その面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
直線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t^2=\frac{(t+1)^2-t^2}{(t+1)-t}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\left(2t+1\right)x-t^2-t\ }\end{align*}}$
(２)
直線x＝aとLの交点のy座標がf(t)なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(2t+1\right)a-t^2-t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-t^2+\left(2a-1\right)t+a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(t-\frac{2a-1}{2}\right)^2+\frac{4a^2+1}{4}\end{align*}}$
よって、f(t)の最大値をM(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \frac{2a-1}{2}<-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (-1)=\underline{\ -a\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ -1\leqq \frac{2a-1}{2}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ \left(\frac{2a-1}{2}\right)=\underline{\ \frac{4a^2+1}{4}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ 0\lt \frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt a\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (1)=\underline{\ a\ }\end{align*}}$
(３)
f(t)の最小値をm(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (I)\ \ \frac{2a-1}{2}<-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (1)=a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (II)\ \ -\frac{1}{2}\leqq \frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (-1)=-a\end{align*}}$
であり、
m(a)≦f(t)≦M(a)
なので、aをxで置き換えた式
m(x)≦y≦M(x)
で表される領域が、－1≦t≦0に対応する
直線PQが通過する領域である。(右上図)
また、点P、Qは放物線y＝x2上の点であり、
この放物線は下に凸なので、線分PQは常に
領域y≧x2内に含まれる。
よって、－1≦t≦0に対応する線分PQが
通過する領域は右下図のようになる。
（境界線上の点を含む）
また、この図形の面積をSとすると、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\frac{1}{2}}\left\{\left(x^2+\frac{1}{4}\right)-x^2\right\}dx+2\int_{\frac{1}{2}}^1\left(x-x^2 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{1}{4}\ x \right]_0^{\frac{1}{2}}+2\left[\frac{1}{2}\ x^2-\frac{1}{3}\ x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{12}}\end{align*}}$
(３)の議論は、この手の問題を解いたことのない受験生には
すこし難しいでしょうね。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/23(火) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .全国の大学 .名古屋大 文系 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
