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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014名古屋大 理系数学1



第1問

  空間内にある半径1の球(内部を含む)をBとする。直線LとBが
  交わっており、その交わりは長さ$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ の線分である。

 (1) Bの中心とLとの距離を求めよ。

 (2) LのまわりにBを1回転してできる立体の体積を求めよ。




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2014名古屋大 理系数学2



第2問

  実数tに対して2点P(t,t2)、Q(t+1,(t+1)2)を考える。
  tが-1≦t≦0の範囲を動くとき、線分PQが通過してできる
  図形を図示し、その面積を求めよ。




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2014名古屋大 理系数学3



第3問

  xy平面のy≧0の部分にあり、x軸に接する円の列C1、C2、C3、…
  を次のように定める。
    ・C1とC2は半径1の円で互いに外接する。
    ・正の整数nに対し、Cn+2はCnとCn+1に外接し、CnとCn+1
     弧およびx軸で囲まれる部分にある。
  円Cnの半径をrnとする。

 (1) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$ を示せ。

 (2) すべての正の整数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$ =s$\small\sf{\alpha}$ n+t$\small\sf{\beta}$ nが成り立つように、
    nによらない定数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、s、tの値を一組与えよ。

 (3) n→∞のとき数列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{r_n}{k^n}\right\}\end{align*}}$ が正の値に収束するように実数kの値を定め、
    そのときの極限値を求めよ。



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2014名古屋大 理系数学4



第4問

  負でない整数Nが与えられたとき、a1=N、an+1=$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{a_n}{2}\right]\end{align*}}$ (n=1,2,3,…)
  として数列{an}を定める。ただし、[a]は実数aの整数部分(k≦a<k+1と
  なる整数k)を表す。

 (1) a3=1となるようなNをすべて求めよ。

 (2) 0≦N<210をみたす整数Nのうちで、Nから定まる数列{an}のある項が
    2となるようなものはいくつあるか。

 (2) 0から2100-1までの2100個の整数から等しい確率でNを選び、数列
    {an}を定める。次の条件(*)をみたす最小の正の数mを求めよ。
      (*)数列{an}のある項がmとなる確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{100}\end{align*}}$ 以下となる。



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