第１問
空間内にある半径1の球（内部を含む）をBとする。直線LとBが
交わっており、その交わりは長さ$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ の線分である。
(１) Bの中心とLとの距離を求めよ。
(２) LのまわりにBを1回転してできる立体の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
球Bの中心をOB、LとBの交わりをA1、A2とする。
A1A2の中点をOとすると、OOB⊥A1A2なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OO_B=\sqrt{O_BA_1^{\ 2}-OA_1^{\ 2}}=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2}=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
(２)
求める回転体をDとする。
Oを原点とする座標空間を考え、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf O_B\left(0,0,\frac{1}{2} \right)\ \ ,\ \ A_1\left(\frac{\sqrt3}{2},0,0 \right)\ \ ,\ \ A_2\left(-\frac{\sqrt3}{2},0,0 \right)\end{align*}}$
とおく。
このとき、球Bをxz平面で切断したときの断面は
右図のようになり（この円をCとする）、
Dは、Cの内部および周上の点でz≧0を満たす
部分（水色部分）をx軸の周りに回転してできる
立体と一致する。
円Cの方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(z-\frac{1}{2}\right)^2=1\end{align*}}$
であり、x＝t （－1≦t≦1）に対応するzの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z=\frac{1}{2}\pm\sqrt{1-t^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ 0\leqq t\leqq \frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ のとき、xz平面において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(t\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q\left(t\ ,\ \frac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)\end{align*}}$
とおくと、Dを平面x＝tで切断したときの断面は、
中心がPで半径PQの円となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ \frac{\sqrt3}{2}\leqq t\leqq 1\end{align*}}$ のとき、xz平面において
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(t\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ Q\left(t\ ,\ \frac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)\ \ ,\ \ R\left(t\ ,\ \frac{1}{2}-\sqrt{1-t^2}\right)\end{align*}}$
とおくと、Dを平面x＝tで切断したときの断面は、
中心がPで半径PQの円から中心がPで半径PRの
円を除いた部分となる。
よって、Dの体積をVとすると、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\frac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)^2dt+2\pi\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^1\left\{\left(\frac{1}{2}+\sqrt{1-t^2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}-\sqrt{1-t^2}\right)^2\right\}dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}\left(\frac{5}{4}-t^2\right)dt+2\pi\int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}\sqrt{1-t^2}\ dt+4\pi\int_{\frac{\sqrt3}{2}}^1\sqrt{1-t^2}\ dt\end{align*}}$
ここで、定積分 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}\sqrt{1-t^2}\ dt\end{align*}}$ および $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{\sqrt3}{2}}^1\sqrt{1-t^2}\ dt\end{align*}}$ の値は、
右図の緑色部分および赤色部分の面積に等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\sqrt3}{2}}\sqrt{1-t^2}\ dt=\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\frac{\sqrt3}{2}}^1\sqrt{1-t^2}\ dt=\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=2\pi\bigg[\frac{5}{4}t-\frac{t^3}{3}\bigg]_0^{\frac{\sqrt3}{2}}+2\pi\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right)+4\pi\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt3}{8}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}\pi^2+\frac{3\sqrt3}{4}\pi}\end{align*}}$
となる。
この回転体は形もイメージしやすいので、場合分けにさえ気づけば、
それほど難しくないですね。
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第２問
実数tに対して2点P(t，t2)、Q(t＋1，(t＋1)2)を考える。
tが－1≦t≦0の範囲を動くとき、線分PQが通過してできる
図形を図示し、その面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
まず、直線Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-t^2=\frac{(t+1)^2-t^2}{(t+1)-t}\left(x-t\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=\left(2t+1\right)x-t^2-t\ }\end{align*}}$
であり、直線x＝aとLの交点のy座標をf(t)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=\left(2t+1\right)a-t^2-t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-t^2+\left(2a-1\right)t+a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\left(t-\frac{2a-1}{2}\right)^2+\frac{4a^2+1}{4}\end{align*}}$
ここで、f(t)の最大値をM(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (i)\ \ \frac{2a-1}{2}<-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a<-\frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (-1)=-a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (ii)\ \ -1\leqq \frac{2a-1}{2}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{1}{2}\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ \left(\frac{2a-1}{2}\right)=\frac{4a^2+1}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (iii)\ \ 0<\frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2}\lt a\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M(a)=f\ (1)=a\end{align*}}$
一方、f(t)の最小値をm(a)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (I)\ \ \frac{2a-1}{2}<-\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ a<0\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (1)=a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (II)\ \ -\frac{1}{2}\leqq \frac{2a-1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq a\end{align*}}$ のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m(a)=f\ (-1)=-a\end{align*}}$
f(t)は、
m(a)≦f(t)≦M(a)
を満たすので、aをxで置き換えた式
m(x)≦y≦M(x)
で表される領域が、－1≦t≦0に対応する
直線PQが通過する領域である。(右上図)
また、点P、Qは放物線y＝x2上の点であり、
この放物線は下に凸なので、線分PQは常に
領域y≧x2内に含まれる。
よって、－1≦t≦0に対応する線分PQが
通過する領域は右下図のようになる。
（境界線上の点を含む）
また、この図形の面積をSとすると、図の対称性より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\frac{1}{2}}\left\{\left(x^2+\frac{1}{4}\right)-x^2\right\}dx+2\int_{\frac{1}{2}}^1\left(x-x^2 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{1}{4}\ x \right]_0^{\frac{1}{2}}+2\left[\frac{1}{2}\ x^2-\frac{1}{3}\ x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{12}}\end{align*}}$
この手の問題を解いたことのない受験生には少し難しいでしょうね。
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第３問
xy平面のy≧0の部分にあり、x軸に接する円の列C1、C2、C3、…
を次のように定める。
・C1とC2は半径1の円で互いに外接する。
・正の整数nに対し、Cn+2はCnとCn+1に外接し、CnとCn+1の
弧およびx軸で囲まれる部分にある。
円Cnの半径をrnとする。
(１) 等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$ を示せ。
(２) すべての正の整数nに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$ ＝s$\small\sf{\alpha}$ n＋t$\small\sf{\beta}$ nが成り立つように、
nによらない定数$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ 、s、tの値を一組与えよ。
(３) n→∞のとき数列 $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{r_n}{k^n}\right\}\end{align*}}$ が正の値に収束するように実数kの値を定め、
そのときの極限値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
円Cn（n＝1，2，3，…）の中心をOnとし、
x軸との接点をAnとする。
また、On+1からOnに下ろした垂線の足をHとすると、
OnOn+1＝rn＋rn+1
OnH＝rn－rn+1
なので、△OnOn+1Hに三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n}A_{n+1}=O_{n+1}H=\sqrt{(r_n+r_{n+1})^2-(r_n-r_{n+1})^2}=2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}\end{align*}}$
任意のnに対して
AnAn+1＝AnAn+1＋An+1An+2
が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}}=2\sqrt{r_n\ r_{n+2}}+2\sqrt{r_{n+1}\ r_{n+2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{r_{n+2}}}=\frac{1}{\sqrt{r_{n+1}}}+\frac{1}{\sqrt{r_{n}}}\end{align*}}$ ←両辺÷ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{r_n\ r_{n+1}\ r_{n+2}}\ (\ne 0)\end{align*}}$
となり、題意は示された。
(２)
n＝1，2，3，…… に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$
とおくと、(１)より
R1＝R2＝1、 Rn+2＝Rn+1＋Rn ……(#)
となる。
ここで、xについての方程式 x2＝x＋1の2解を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＋$\scriptsize\sf{\beta}$ ＝1、 $\scriptsize\sf{\alpha}$ $\scriptsize\sf{\beta}$ ＝－1 ……(*)
(#)の漸化式は、この$\scriptsize\sf{\alpha}$ 、$\scriptsize\sf{\beta}$ を用いて
、
Rn+2－$\scriptsize\sf{\alpha}$ Rn+1＝$\scriptsize\sf{\beta}$ (Rn+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ Rn)
と変形できるので、数列{Rn+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ Rn}は等比数列をなす。
Rn+1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ Rn＝(R2－$\scriptsize\sf{\alpha}$ R1)$\scriptsize\sf{\beta}$ n-1
＝(1－$\scriptsize\sf{\alpha}$ )$\scriptsize\sf{\beta}$ n-1 ←(#)より
＝$\scriptsize\sf{\beta}$ n ←(*)より
同様に、
Rn+1－$\scriptsize\sf{\beta}$ Rn＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ n
なので、これら2式の差をとると、
($\scriptsize\sf{\alpha}$ －$\scriptsize\sf{\beta}$ )Rn＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ n－$\scriptsize\sf{\beta}$ n
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf R_n=\frac{1}{\alpha -\beta}\ \alpha^n-\frac{1}{\alpha -\beta}\ \beta^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt{r_n}}=\frac{1}{\sqrt5}\ \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n-\frac{1}{\sqrt5}\ \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^n\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \alpha=\frac{1+\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}\ \ ,\ \ s=\frac{1}{\sqrt5}\ \ ,\ \ t=-\frac{1}{\sqrt5}}\end{align*}}$
とすると、題意の等式は成り立つ。
(３)
求める極限をLとすると、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{k^n\ \left(R_n\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{k^n\left(\alpha^n-\beta^n\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\left(k\ \alpha^2\right)^n\left\{1-\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)^n\right\}^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{5}{\left(k\ \alpha^2\right)^n\left(1-0\right)^2}\ \ \ \ \left(\because 0<\frac{\beta}{\alpha}<1 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{5}{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(k\ \alpha^2\right)^n}\end{align*}}$
これが正の数に収束するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\ \alpha^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k=\frac{1}{\alpha^2}=\left(\frac{2}{1+\sqrt5}\right)^2=\underline{\ \frac{3-\sqrt5}{2}}\end{align*}}$
のときであり、その極限値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\frac{5}{1}=\underline{\ 5}\end{align*}}$
である。
(１)、(２)は、今年の筑波大学に同じような問題が出題されています。
http://aozemi.blog.fc2.com/page-21.html
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第４問
負でない整数Nが与えられたとき、a1＝N、an+1＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[\frac{a_n}{2}\right]\end{align*}}$ （n＝1，2，3，…）
として数列{an}を定める。ただし、[a]は実数aの整数部分（k≦a＜k＋1と
なる整数k）を表す。
(１) a3＝1となるようなNをすべて求めよ。
(２) 0≦N＜210をみたす整数Nのうちで、Nから定まる数列{an}のある項が
2となるようなものはいくつあるか。
(２) 0から2100－1までの2100個の整数から等しい確率でNを選び、数列
{an}を定める。次の条件(*)をみたす最小の正の数mを求めよ。
(*)数列{an}のある項がmとなる確率が $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{100}\end{align*}}$ 以下となる。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+1}=\left[\frac{a_n}{2}\right]\ \ \Leftrightarrow\ \ a_{n+1}\leqq \frac{a_n}{2}\lt a_{n+1}+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2a_{n+1}\leqq a_n<2a_{n+1}+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a_n=2a_{n+1}\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=2a_{n+1}+1\end{align*}}$ ……(#)
(１)
(#)より、a3＝1に対して、
a2＝2，3
a1＝4，5，6，7
となるので、N＝4，5，6，7 である。
(２)
a1＝2のとき、N＝2の1個
a2＝2のとき、N＝a1＝4，5の2個
a3＝2のとき、a2＝4，5より、N＝a1＝8，9，10，11の4個
以下も同様に計算していくと、
a4＝2のとき、N＝a1＝16，17，…，23の8個
a5＝2のとき、N＝a1＝32，33，…，47の16個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
ak＝2のとき、N＝a1＝2k，…，3･2k-1－1の2k-1個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
a9＝2のとき、N＝a1＝29，…，3･28－1（＜210）の28個
a10＝2のとき、N≧210となり不適
よって、題意を満たすようなNの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2+2^2+2^3+\ldots +2^8=\frac{2^{9}-1}{2-1}=\underline{\ 511}\end{align*}}$
である。
(３)
(２)と同様に考えると、
a1＝mのとき、N＝mの1個
a2＝mのとき、N＝2m，2m＋1の2個
a3＝mのとき、N＝4m，4m＋1，4m＋2，4m＋3の4個
a4＝mのとき、N＝8m，8m＋1，……，8m＋7の8個
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
ak＝mのとき、N＝2k-1m，……，2k-1(m＋1)－1の2k-1個
ここで、
2L-1m＜2100≦2Lm ……(##)
を満たすようなLを考えると、
m＜2101-L≦2m
⇔ m＜m＋1≦2101-L≦2m
⇔ 2L-1m＜2L-1(m＋1)－1≦2100－1＜2100≦2Lm
となるので、
aL＝mのときのNはすべて0≦N＜2100－1に含まれ、
aL+1＝mのときのNはすべて0≦N＜2100－1に含まれない。
よって、数列{an}のある項がmになるようなNの個数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+2+2^2+\ldots +2^{L-1}=\frac{2^L-1}{2-1}=2^L-1\end{align*}}$ 個
なので、条件(*)を満たすためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^L-1}{2^{100}}\leqq \frac{1}{100}\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^L\leqq \frac{2^{100}}{100}+1\end{align*}}$ ……(**)
を満たせばよい。26＝64＜100＜128＝27なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2^{100}}{2^7}<\frac{2^{100}}{100}<\frac{2^{100}}{2^6}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2^{93}+1<\frac{2^{100}}{100}+1<2^{94}+1\end{align*}}$
となり、(**)をみたす最大のLは93である。
よって、(##)より
292m＜2100≦293m
⇔ 27≦m＜28
となり、題意を満たすようなmの最小値は、
27＝128
である。
(３)は大変ですね・・・・
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