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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東京医科歯科大 数学1



第1問

  自然数nに対し、3個の数字1、2、3から重複を許してn個並べた
  もの(x1,x2、…,xn)の全体の集合をSnとおく。Snの要素
  (x1,x2、…,xn)に対し、次の2つの条件を考える。

  条件C12:1≦i<j≦nである整数i、jの組で、x=1、x=2を
        満たすものが少なくとも1つ存在する。

  条件C123:1≦i<j<k≦nである整数i、j、kの組で、x=1、
        x=2、xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する。

  例えば、S4の要素(3,1,2,2)は条件C12は満たすが、条件C123
  は満たさない。
  Snの要素(x1,x2、…,xn)のうち、条件C12を満たさないものの
  個数をf(n)、条件C123を満たさないものの個数をg(n)とおく。
  このとき、以下の各問いに答えよ。

 (1) f(4)とg(4)を求めよ。

 (2) f(n)をnを用いて表せ。

 (3) g(n+1)をg(n)とf(n)を用いて表せ。

 (4) g(n)をnを用いて表せ。





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  1. 2018/11/16(金) 01:07:00|
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2014東京医科歯科大 数学2



第2問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\theta}$ に対し、xyz空間内の4点
      $\small\sf{A(\sf \cos\theta,\cos\theta,\sin\theta)}$
      $\small\sf{B(-\cos\theta,-\cos\theta,\sin\theta)}$
      $\small\sf{C(\cos\theta,-\cos\theta,-\sin\theta)}$
      $\small\sf{D(-\cos\theta,\cos\theta,-\sin\theta)}$
  を頂点とする四面体の体積を$\small\sf{\sf V(\theta)}$ 、この四面体のxz平面による
  切り口を$\small\sf{\sf S(\theta)}$ とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf S\left(\frac{\pi}{6}\right)\ ,\ V\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。

 (2) 0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における$\small\sf{\sf S(\theta)}$ の最大値を求めよ。

 (3) 0<$\small\sf{\theta}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における$\small\sf{\sf V(\theta)}$ の最大値を求めよ。


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2014東京医科歯科大 数学3



第3問

  aを正の実数、kを自然数とし、x>0で定義される関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_a^{ax}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf u}}{ku}du\end{align*}}$
  を考える。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減および凹凸を調べ、y=f(x)のグラフの概形をかけ。

 (2) Sを正の実数とするとき、f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在
    することを示せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{k}{k+\sqrt[\sf k]{\sf a}}\end{align*}}$ とおくとき、(2)のS、pについて、次の不等式が成立
    することを示せ。
        1+bS<p<ebS




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