第１問
自然数nに対し、3個の数字1、2、3から重複を許してn個並べた
もの(x1，x2、…，xn)の全体の集合をSnとおく。Snの要素
(x1，x2、…，xn)に対し、次の2つの条件を考える。
条件C12：1≦i＜j≦nである整数i、jの組で、xｉ＝1、xｊ＝2を
満たすものが少なくとも1つ存在する。
条件C123：1≦i＜j＜k≦nである整数i、j、kの組で、xｉ＝1、
xｊ＝2、xk＝3を満たすものが少なくとも1つ存在する。
例えば、S4の要素(3，1，2，2)は条件C12は満たすが、条件C123
は満たさない。
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうち、条件C12を満たさないものの
個数をf(n)、条件C123を満たさないものの個数をg(n)とおく。
このとき、以下の各問いに答えよ。
(１) f(4)とg(4)を求めよ。
(２) f(n)をnを用いて表せ。
(３) g(n＋1)をg(n)とf(n)を用いて表せ。
(４) g(n)をnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
S1の要素(1)、(2)、(3)はいずれも条件C12、C123を
満たさないので、
f(1)＝g(1)＝3 ……(A)
(２)
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうちで、
(ア) 数字1を含まないものは、2n個あり、
これらはすべて条件C12を満たさない。
(イ) 数字1を含み、条件C12を満たさないものは、
f(n)－2n個ある。
Sn+1の要素(x1，x2、…，xn，xn+1)のうちで、
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(ア)を満たす場合、
xn+1が1、2、3いずれの数字であっても、
(x1，x2、…，xn，xn+1)は条件C12を満たさない。
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(イ)を満たす場合、
xn+1が1または3であれば、(x1，x2、…，xn，xn+1)は
条件C12を満たさない。
よって、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (n+1)=3\cdot 2^n+2\left\{f\ (n)-2^n\right\}=2f\ (n)+2^n\end{align*}}$
が成り立ち、両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (n+1)}{2^{n+1}}=\frac{f\ (n)}{2^n}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{f\ (n)}{2^n} \right\}\end{align*}}$ は等差数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (n)}{2^n}=\frac{f\ (1)}{2^1}+\frac{1}{2}\left(n-1\right)=\frac{1}{2}\ n+1\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ f\ (n)=2^n\left(\frac{1}{2}\ n+1\right)\ }\end{align*}}$
となる。
(３)
Snの要素(x1，x2、…，xn)のうちで、
(ウ) 条件C12を満たないものは、f(n)個あり、
これらはすべて条件C123も満たさない。
(エ) 条件C12は満たすが、条件C123を満たないものは、
g(n)－f(n)個ある。
Sn+1の要素(x1，x2、…，xn，xn+1)のうちで、
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(ウ)を満たす場合、
xn+1が1、2、3いずれの数字であっても、
(x1，x2、…，xn，xn+1)は条件C123を満たさない。
・(x1，x2、…，xn)が上の条件(エ)を満たす場合、
xn+1が1または2であれば、(x1，x2、…，xn，xn+1)は
条件C123を満たさない。
よって、関係式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (n+1)=3f\ (n)+2\left\{g\ (n)-f\ (n)\right\}=\underline{\ 2g\ (n)+f\ (n)}\end{align*}}$
が成り立つ。
(４)
(２)、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (n+1)=2g\ (n)+2^n\left(\frac{1}{2}\ n+1\right)\end{align*}}$
となり、両辺を2n+1で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ (n+1)}{2^{n+1}}=\frac{g\ (n)}{2^n}+\frac{1}{4}\left(n+2\right)\end{align*}}$
を得る。n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{g\ (n)}{2^{n}}=\frac{g\ (1)}{2^1}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{4}\left(k+2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\left\{\frac{1}{2}\ n\left(n-1\right)+2\left(n-1\right) \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\left(n^2+3n+8\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g\ (n)=\frac{2^n}{8}\left(n^2+3n+8\right)=\underline{\ 2^{n-3}\left(n^2+3n+8\right)}\end{align*}}$
となり、これは、n＝1のときも成り立つ。
(１)
(２)、(４)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (4)=2^4\left(\frac{1}{2}\cdot 4+1\right)=\underline{\ }48\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (4)=2^{4-3}\left(4^2+3\cdot 4+8\right)=\underline{\ 72}\end{align*}}$
うまく漸化式をつくりましょう。
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第２問
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ を満たす実数$\small\sf{\theta}$ に対し、xyz空間内の4点
$\small\sf{A(\sf \cos\theta,\cos\theta,\sin\theta)}$
$\small\sf{B(-\cos\theta,-\cos\theta,\sin\theta)}$
$\small\sf{C(\cos\theta,-\cos\theta,-\sin\theta)}$
$\small\sf{D(-\cos\theta,\cos\theta,-\sin\theta)}$
を頂点とする四面体の体積を$\small\sf{\sf V(\theta)}$ 、この四面体のxz平面による
切り口を$\small\sf{\sf S(\theta)}$ とする。このとき以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf S\left(\frac{\pi}{6}\right)\ ,\ V\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$ をそれぞれ求めよ。
(２) 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における$\small\sf{\sf S(\theta)}$ の最大値を求めよ。
(３) 0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ における$\small\sf{\sf V(\theta)}$ の最大値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
四面体ABCDにおいて、
辺ABとz軸の交点を$\scriptsize\sf{\sf P(0,0,\sin\theta)}$
辺ACとx軸の交点を$\scriptsize\sf{\sf Q(\cos\theta,0,0)}$
辺CDとz軸の交点を$\scriptsize\sf{\sf R(0,0,-\sin\theta)}$
辺BDとx軸の交点を$\scriptsize\sf{\sf S(-\cos\theta,0,0)}$
とおくと、
OP＝OR、 OQ＝OS、 PR⊥QS
なので、四面体ABCDのxz平面による切り口は
4点P、Q、R、Sを頂点とするひし形となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)=2\cos\theta\cdot 2\sin\theta\cdot\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\theta\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin 2\theta\end{align*}}$ ←倍角公式
となる。題意より $\scriptsize\sf{0\lt 2\theta\lt \pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ すなわち $\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$
のとき、S($\scriptsize\sf{\theta}$ )は最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (\theta)_{max}=S\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
(３)
xyz空間内に4点
$\scriptsize\sf{\sf E(-\cos\theta,\cos\theta,\sin\theta)}$
$\scriptsize\sf{\sf F(\cos\theta,-\cos\theta,\sin\theta)}$
$\scriptsize\sf{\sf G(\cos\theta,\cos\theta,-\sin\theta)}$
$\scriptsize\sf{\sf H(-\cos\theta,-\cos\theta,-\sin\theta)}$
をとると、立体AEBF－GDHCは直方体となる。
四面体ABCDのは、直方体AEBF－GDHCから
4つの三角錐A－CDG、B－CDG、C－ABF、
D－ABFを除いたものなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (\theta)=2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\cdot 2\sin\theta-\left(\frac{1}{2}\cdot 2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\cdot 2\sin\theta\cdot\frac{1}{3} \right)\times 4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{3}\sin\theta\cos^2\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{8}{3}\left(\sin\theta-\sin^3\theta\right)\ \ \ \ \ \left(\because \sin^2\theta+\cos^2\theta=1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\theta}$ で微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ '(\theta)=\frac{8}{3}\left(1-3\sin^2\theta\right)\cos\theta\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\alpha=\frac{1}{\sqrt3}\ \ \ \left(0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
となる$\scriptsize\sf{\alpha}$ を考えると、$\scriptsize\sf{\sf V(\theta)}$ の増減は次のようになる。
よって、$\scriptsize\sf{\sf V(\theta)}$ の最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (\theta)_{max}=V\ (\alpha)=\frac{8}{3}\left\{\frac{1}{\sqrt3}-\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^3 \right\}=\underline{\ \frac{16}{27}\sqrt3}\end{align*}}$
(１)
(２)、(３)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{3}=\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{8}{3}\sin\frac{\pi}{6}\cos^2\frac{\pi}{6}=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$
面倒なので(２)、(３)を先にやりました（笑）
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第３問
aを正の実数、kを自然数とし、x＞0で定義される関数
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_a^{ax}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf u}}{ku}du\end{align*}}$
を考える。このとき以下の問いに答えよ。
(１) f(x)の増減および凹凸を調べ、y＝f(x)のグラフの概形をかけ。
(２) Sを正の実数とするとき、f(p)＝Sを満たす実数pがただ1つ存在
することを示せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{k}{k+\sqrt[\sf k]{\sf a}}\end{align*}}$ とおくとき、(２)のS、pについて、次の不等式が成立
することを示せ。
1＋bS＜p＜ebS
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_a^{ax}\left(\frac{1}{u}+\frac{1}{k}\cdot u^{\frac{1}{k}-1}\right)du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log |u|+u^{\frac{1}{k}}\bigg]_a^{ax}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}}\end{align*}}$
なので、第一次および第二次の導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{x}+\frac{a}{k}\left(ax\right)^{\frac{1}{k}-1}>0\ \ \ \ \left(\because a,k,x>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{a^2}{k}\left( \frac{1}{k}-1\right)\left(ax\right)^{\frac{1}{k}-2}<0\ \ \ \ \left(\because a,x>0\ \ ,\ \ k>1\right)\end{align*}}$
となる。また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +\infty}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\left\{\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}} \right\}=+\infty\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=\lim_{x\rightarrow +0}\left\{\log x+\left(ax\right)^{\frac{1}{k}}-\left(a\right)^{\frac{1}{k}} \right\}=-\infty\end{align*}}$
なので、y＝f(x)のグラフの概形は下図のようになる。
(２)
(１)より、f(1)＝0であり、f(x)はx＞1で単調に増加するので、
中間値の定理より、f(p)＝S（＞0）となるpが、p＞1の範囲に
ただ1つ存在する。
(３)
(１)より、f”(x)＜0なので、f’(x)は単調に減少し、
c＞1となる任意のcに対して、
f'(1)＞f’(c) ……(A)
が成り立つ。
また、(２)より
f(p)＝S （p＞1）、 f(1)＝0
であり、f(x)は、区間1≦x≦pで微分可能なので、
平均値の定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(c)=\frac{f\ (p)-f\ (1)}{p-1}=\frac{S}{p-1}\end{align*}}$ ……(B)
を満たすcが1＜c＜pの範囲に存在する。
(A)、(B)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{p-1}\lt f '(1)=1+\frac{a^{\frac{1}{k}}}{k}=\frac{1}{b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ bS\lt p-1\ \ \ \ \left(\because 1\lt p\ ,\ b>0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 1+bS\lt p\ }\end{align*}}$
一方、p＞1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=\int_a^{ap}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf u}}{ku}\ du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\int_a^{ap}\frac{k+\sqrt[\sf k]{\sf a}}{ku}\ du\ \ \ \ \left(\because a\leqq u\leqq ap\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^{ap}\frac{1}{bu}\ du\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{b}\bigg[\ \log |u|\bigg]_a^{ap}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{b}\ \log p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ S>\frac{1}{b}\ \log p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ bS>\log p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ e^{bS}> p\ \ \ \ \left(\because e>1\right)\end{align*}}$
以上より、題意の不等式は示された。
(３)は、もう少し簡単な解法がありそうですね（笑）
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