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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東京医科歯科大 数学1



第1問

  自然数nに対し、3個の数字1、2、3から重複を許してn個並べた
  もの(x1,x2、…,xn)の全体の集合をSnとおく。Snの要素
  (x1,x2、…,xn)に対し、次の2つの条件を考える。

  条件C12:1≦i<j≦nである整数i、jの組で、x=1、x=2を
        満たすものが少なくとも1つ存在する。

  条件C123:1≦i<j<k≦nである整数i、j、kの組で、x=1、
        x=2、xk=3を満たすものが少なくとも1つ存在する。

  例えば、S4の要素(3,1,2,2)は条件C12は満たすが、条件C123
  は満たさない。
  Snの要素(x1,x2、…,xn)のうち、条件C12を満たさないものの
  個数をf(n)、条件C123を満たさないものの個数をg(n)とおく。
  このとき、以下の各問いに答えよ。

 (1) f(4)とg(4)を求めよ。

 (2) f(n)をnを用いて表せ。

 (3) g(n+1)をg(n)とf(n)を用いて表せ。

 (4) g(n)をnを用いて表せ。





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  1. 2014/04/19(土) 23:57:00|
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2014東京医科歯科大 数学2



第2問

  0<θ橿原 学習塾 青木ゼミ を満たす実数θに対し、xyz空間内の4点
      A(cosθ,cosθ,sinθ)
      B(-cosθ,-cosθ,sinθ)
      C(cosθ,-cosθ,-sinθ)
      D(-cosθ,cosθ,-sinθ)
  を頂点とする四面体の体積をV(θ)、この四面体のxz平面による
  切り口をS(θ)とする。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) 橿原 学習塾 青木ゼミ をそれぞれ求めよ。

 (2) 0<θ橿原 学習塾 青木ゼミ におけるS(θ)の最大値を求めよ。

 (3) 0<θ橿原 学習塾 青木ゼミ におけるV(θ)の最大値を求めよ。


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  1. 2014/04/20(日) 23:57:00|
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2014東京医科歯科大 数学3



第3問

  aを正の実数、kを自然数とし、x>0で定義される関数
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  を考える。このとき以下の問いに答えよ。

 (1) f(x)の増減および凹凸を調べ、y=f(x)のグラフの概形をかけ。

 (2) Sを正の実数とするとき、f(p)=Sを満たす実数pがただ1つ存在
    することを示せ。

 (3) 橿原 学習塾 青木ゼミ とおくとき、(2)のS、pについて、次の不等式が成立
    することを示せ。
        1+bS<p<ebS




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  1. 2014/04/21(月) 23:57:00|
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