第１問
3以上の奇数nに対して、anとbnを次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1)\ \ ,\ \ \ b_n=\frac{n^2-1}{8}\end{align*}}$
(１) anとbnはどちらも整数であることを示せ。
(２) an－bnは4の倍数であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
連続3整数の積は6の倍数 ……(A) なので、
(k－1)k(k+1)は整数Nk（k=1、2、3、…）を用いて、
(k－1)k(k+1)=6Nk
と表すことができる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1} 6N_k=\sum_{k=1}^{n-1} N_k=N_1+N_2+\ldots +N_{n-1}\end{align*}}$
となるので、anは整数である。
一方、nは3以上の奇数なので、自然数mを用いて
n=2m+1 ……(*)
と表すことができる。
これを用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=\frac{\left(2m+1\right)^2-1}{8}=\frac{1}{2}m\left(m+1\right)\end{align*}}$
と変形できる。
ここで、連続2整数の積は2の倍数なので、自然数Mを用いて
m(m+1)=2M
と表すことができ、これより、bn=Mとなるので、
bnも整数である。
(２)
(*)よりanは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{2m}\left(k^3-k\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\left\{\frac{1}{4}\cdot (2m)^2(2m+1)^2-\frac{1}{2}\cdot 2m(2m+1)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(2m+1)\left\{m(2m+1)-1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)(2m-1)\end{align*}}$
と変形できるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=\frac{1}{6}m(m+1)(2m+1)(2m-1)-\frac{1}{2}m\left(m+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}m(m+1)\left\{(2m+1)(2m-1)-3 \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}(m-1)m(m+1)\cdot 4(m+1)\end{align*}}$ ．
ここで(A)より、整数Nmを用いて
(m－1)m(m+1)=6Nm
と表せる。これより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n-b_n=4N_m\left(m+1\right)\end{align*}}$
と変形できるので、an－bnは4の倍数である。
連続するn個の整数の積はn！の倍数になります。
普通に教科書に載っていることなので、わざわざ証明する必要はありません。
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第２問
a＞1とし、次の不等式を考える。
(*) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^t-1}{t}\geqq e^{\frac{t}{a}}\end{align*}}$
(１) a=2のとき、すべてのt＞0に対して上の不等式(*)が成り立つ
ことを示せ。
(２) すべてのt＞0に対して上の不等式(*)が成り立つようなaの
範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
t＞0のとき、(*)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^t-1}{t}\geqq e^{\frac{t}{a}}\ \ \Leftrightarrow\ \ e^t-1-t\ e^{\frac{t}{a}}\geqq 0\end{align*}}$
と変形でき、tについての関数f(t)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (t)=e^t-1-t\ e^{\frac{t}{a}}\ \ \ \ \left(t\geqq 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=e^t-e^{\frac{t}{a}}-\frac{t}{a}\ e^{\frac{t}{a}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{\frac{t}{a}}\left\{e^{\left(1-\frac{1}{a}\right)t}-\frac{t}{a} -1\right\}\end{align*}}$
となる。さらに上式の{ }内を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=e^{\left(1-\frac{1}{a}\right)t}-\frac{t}{a} -1\ \ \ \ \left(t\geqq 0\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=\left(1-\frac{1}{a}\right)e^{\left(1-\frac{1}{a}\right)t}-\frac{1}{a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(t)=\left(1-\frac{1}{a}\right)^2e^{\left(1-\frac{1}{a}\right)t}\ \geqq 0\end{align*}}$
より、g’(t)は単調に増加する。 ……(A)
(１)
a=2のとき、(A)と
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(0)=\left(1-\frac{1}{2}\right)e^{0}-\frac{1}{2}=0\end{align*}}$
より、t≧0でつねにg’(t)≧0となるため、
g(t)は単調に増加する。 ……(B)
さらに、(B)と
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)=e^{0}-0-1=0\end{align*}}$
より、t≧0でつねにg(t)≧0 すなわち、f’(t)≧0となるため、
f(t)は単調に増加する。 ……(C)
(C)と
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=e^0-1-0=0\end{align*}}$
より、t≧0でつねにf(t)≧0となるので、
すべてのt＞0に対して不等式(*)が成り立つ。
(２)
(ⅰ) a＞2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(0)=1-\frac{2}{a}>0\end{align*}}$
なので、(１)と同様に(B)、(C)が成り立つ。
よって、すべてのt＞0に対して不等式(*)が成り立つ。
(ⅱ) 1＜a＜2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(0)=1-\frac{2}{a}<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ g\ '(t)=\lim_{t\rightarrow\infty}\bigg\{\left(1-\frac{1}{a}\right)e^{\left(1-\frac{1}{a}\right)t}-\frac{1}{a}\bigg\}=+\infty\end{align*}}$
これらと(A)より、g’(t)=0となるt（＞0）がただ1つ存在する。
その値をpとおくと、g(t)の増減は次のようになる。
これより、g(t)=0となるt（＞p）がただ1つ存在する。
その値をqとおくと、g(t)とf'(t)の符号は一致するので、
f(t)の増減は次のようになる。
これより、f(t)＜0となるtが存在するので、
すべてのt＞0に対して(*)が成り立つことはない。
(１)および(ⅰ)、(ⅱ)より、題意を満たすようなaの値の範囲は、
a≧2 である。
(２)が少し難しいかもしれませんね。
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第３問
1個のさいころを投げて、出た目が1か2であれば行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を、
出た目が3か4であれば行列B=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を、出た目が5か6であれば
行列C=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf -1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を選ぶ。そして、選んだ行列の表す1次変換によって
xy平面上の点Rを移すという操作を行う。点Rは最初は点(0，1)にある
ものとし、さいころを投げて点Rを移す操作をn回続けて行ったときに点
Rが点(0，1)にある確率をpn、点(0，－1)にある確率をqnとする。
(１) p1、p2とq1、q2を求めよ。
(２) pn+qnとpn-1+qn-1の関係式を求めよ。また、pn－qnと
pn-1－qn-1の関係式を求めよ。
(３) pnをnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
行列A、B、Cの表す一次変換をそれぞれa、b、cとおく。
(１)
P(0，1)、Q(0，－1)、S(1，0)、T(－1，0)とおく。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{-1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf -1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\binom{0}{1}=\binom{0}{1}\end{align*}}$
より、点Pは、a、b、cによってそれぞれS、T、Pに移る。
行列A、B、Cが選ばれる確率は、それぞれ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ q_1=0}\end{align*}}$
同様に計算すると、
点Qは、a、b、cによってそれぞれT、S、Qに移り、
点Sは、a、b、cによってそれぞれQ、P、Tに移り、
点Tは、a、b、cによってそれぞれP、Q、Sに移る。
よって、2回目の操作の後に点RがPにあるためには、
P→P→P または P→S→P または P→T→P
のように移動すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot 3=\underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$
また、2回目の操作の後に点RがQにあるためには、
P→S→Q または P→T→Q
のように移動すればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_2=\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot 2=\underline{\ \frac{2}{9}}\end{align*}}$
(２)
n回目の操作の後に点Rが点S、Tにある確率をそれぞれ
sn、tnとすると、任意のnに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n+s_n+t_n=1\end{align*}}$ ……(*)
が成り立つ。
点Pに移ってくるのは、P→P、S→P、T→Pの場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\frac{1}{3}\left(p_{n-1}+s_{n-1}+t_{n-1} \right)=\frac{1}{3}\left(1-q_{n-1}\right)\end{align*}}$ ←(*)より
点Qに移ってくるのは、Q→Q、S→Q、T→Qの場合なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_n=\frac{1}{3}\left(q_{n-1}+s_{n-1}+t_{n-1} \right)=\frac{1}{3}\left(1-p_{n-1}\right)\end{align*}}$ ←(*)より
これら2式の和をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_n+q_n=\frac{1}{3}\left\{2-\left(p_{n-1}+q_{n-1}\right) \right\}}\end{align*}}$ ……(ア)
となり、2式の差をとると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_n-q_n=\frac{1}{3}\left(p_{n-1}-q_{n-1}\right) }\end{align*}}$ ……(イ)
を得る。
(３)
(２)の(ア)式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\left(p_{n-1}+q_{n-1}-\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n+q_n-\frac{1}{2} \right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n+q_n-\frac{1}{2}=\left(-\frac{1}{3} \right)^{n-1}\left(p_1+q_1-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{6}\left(-\frac{1}{3} \right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_n+q_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3} \right)^{n}\end{align*}}$ ……(ウ)
また、(２)の(イ)式より、数列{pn－qn}は等比数列なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n-q_n=\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\left(p_1-q_1 \right)=\left(\frac{1}{3}\right)^n\end{align*}}$ ……(エ)
{(ウ)+(エ)}÷2を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_n=\underline{\ \frac{1}{4}\left\{1+ \left(-\frac{1}{3}\right)^n+2\left(\frac{1}{3}\right)^n\right\} }\end{align*}}$
を得る。
これも東工大にしては、難しくはないですね。
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第４問
点P(t，s)が s=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t2－2tを満たしながらxy平面上を動くときに、
点Pを原点を中心として45°回転した点Qの軌跡として得られる曲線
をCとする。さらに、曲線Cとx軸で囲まれた図形をDとする。
(１) 点Q(x，y)の座標を、tを用いて表せ。
(２) 直線y=aと曲線Cがただ1つの共有点を持つような定数aの値を
求めよ。
(３) 図形Dをy軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\sqrt2\ t^2-2t\end{align*}}$ ……(*)
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x}{y}=\begin{pmatrix} \sf \cos 45^{\circ}&\sf -\sin 45^{\circ} \\ \sf \sin 45^{\circ} & \sf \cos45^{\circ} \end{pmatrix}\binom{t}{s}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{\sqrt2}\binom{t-s}{t+s}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{\sqrt2}\binom{-\sqrt2\ t^2+3t}{\sqrt2\ t^2-t}\ }\end{align*}}$ ←(*)より
(２)
逆に、点Pは点Qを原点を中心として－45°回転した点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{t}{s}=\begin{pmatrix} \sf \cos (-45^{\circ})&\sf -\sin (-45^{\circ}) \\ \sf \sin (-45^{\circ}) & \sf \cos (-45^{\circ}) \end{pmatrix}\binom{x}{y}=\frac{1}{\sqrt2}\binom{x+y}{-x+y}\end{align*}}$
であり、これを(*)に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-x+y}{\sqrt2}=\sqrt2\left(\frac{x+y}{\sqrt2}\right)^2-2\cdot\frac{x+y}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\left(-x+y\right)=x^2+2xy+y^2-4\left(x+y\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+\left(2y-1\right)x+y^2-3y=0\end{align*}}$ ……(#)
これが曲線Cの式である。
y=aと連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+\left(2a-1\right)x+a^2-3a=0\end{align*}}$
となり、これがただ1つの実数解を持てばよいので、
判別式を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\left(2a-1\right)^2-4\left(a^2-3a \right)=8a+1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=-\frac{1}{8}}\end{align*}}$
を得る。
(３)
図形Dは右図のようになる。
(#)をxについて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-2y+1\pm\sqrt{8y+1}}{2}\end{align*}}$
となるので、右図の赤線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-2y+1+\sqrt{8y+1}}{2}\end{align*}}$
であり、青線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{-2y+1-\sqrt{8y+1}}{2}\end{align*}}$
である。
よって、Dの回転体の体積Vは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{-\frac{1}{8}}^0\left\{\left(\frac{-2y+1+\sqrt{8y+1}}{2}\right)^2-\left(\frac{-2y+1-\sqrt{8y+1}}{2} \right)^2\right\}dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\pi\int_{-\frac{1}{8}}^0\left(2y-1\right)\sqrt{8y+1}\ dy\end{align*}}$
として求めることができ、p=8y+1と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dp}{dy}=8\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=-\pi\int_0^1\left(2\cdot \frac{p-1}{8}-1\right)\sqrt{p}\ \frac{dp}{8}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\pi}{32}\int_0^1\left(p^{\frac{3}{2}}-5p^{\frac{1}{2}}\right)\ dp\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\pi}{32}\left[\frac{2}{5}p^{\frac{5}{2}}-\frac{10}{3}p^{\frac{3}{2}}\right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{11}{120}\ \pi}\end{align*}}$
(３)の計算が少し面倒ですかね。
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第５問
xy平面上の曲線C：y=x3+x2+1を考え、C上の点(1，3)をP0
とする。k=1，2，3，…に対して、点Pk-1(xk-1、yk-1)における
Cの接線とCの交点のうちでPk-1と異なる点をPk(xk，yk)とする。
このとき、Pk-1とPｋを結ぶ線分とCによって囲まれた部分の面積
をSkとする。
(１) S1を求めよ。
(２) xkをkを用いて表せ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{1}{S_k}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(２)
Cの導関数は、y’=3x2+2x なので、
点PkにおけるCの接線Lkの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_k:\ y-\left(x_k^3+x_k^2+1 \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
であり、Cの方程式と連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^3+x^2+1-\left(x_k^3+x_k^2+1 \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)\left(x^2+x_kx+x_k^2 \right)+\left(x-x_k \right)\left(x+x_k \right)=\left(3x_k^2+2x_k\right)\left(x-x_k \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)\left\{x^2+ \left(x_k+1 \right)x-2x_k^2-x_k\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-x_k \right)^2\left(x+ 2x_k+1 \right)=0\end{align*}}$ ．
LkとCの交点のうちでPkと異なる点がPk+1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{k+1}=-2x_k-1\end{align*}}$ ……(A)
となり、この式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_{k+1}+\frac{1}{3}=-2\left(x_k+\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
と変形できる。よって、数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{x_k+\frac{1}{3}\right\}\end{align*}}$ は等比数列となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k+\frac{1}{3}=\left(-2\right)^k\left(x_0+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x_k=\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k-\frac{1}{3}}\end{align*}}$
(１)
C：y=f(x)、 Lk：y=gk(x) とおくと、
CとLkの位置関係は下図のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k+1}=\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg|f\ (x)-g_k(x) \bigg|dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg\{f\ (x)-g_k(x)\bigg\}dx \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-x_k \right)^2\left(x+ 2x_k+1 \right)dx \right|\end{align*}}$ ←(２)と同様の計算
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\left(x-x_k \right)^2\bigg\{\left(x-x_k\right)+\left(3x_k+1 \right)\bigg\}dx \right|\end{align*}}$ ←ここがミソ！！
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\int_{x_k}^{x_{k+1}}\bigg\{\left(x-x_k \right)^3+\left(3x_k+1 \right)\left(x-x_k \right)^2\bigg\}dx \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\bigg[\frac{1}{4}\left(x-x_k \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(x-x_k \right)^3\bigg]_{x_k}^{x_{k+1}} \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(x_{k+1}-x_k \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(x_{k+1}-x_k \right)^3 \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(-3x_k-1 \right)^4+\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)\left(-3x_k-1 \right)^3 \right|\end{align*}}$ ←(A)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left|\frac{1}{4}\left(3x_k+1 \right)^4-\frac{1}{3}\left(3x_k+1 \right)^4 \right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(3x_k+1 \right)^4\end{align*}}$
これにk=0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{12}\left(3x_0+1 \right)^4=\frac{1}{12}\cdot 4^4=\underline{\ \frac{64}{3}}\end{align*}}$
(３)
(１)、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k+1}=\frac{1}{12}\left[3\cdot\left\{\frac{4}{3}\cdot \left(-2\right)^k-\frac{1}{3} \right\}+1 \right]^4=\frac{64}{3}\cdot 16^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{S_k}=\frac{3}{64}\cdot \left(\frac{1}{16}\right)^{k-1}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{S_k}=\frac{3}{64}\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1-\left(\frac{1}{16}\right)^n}{1-\left(\frac{1}{16}\right)}=\underline{\ \frac{1}{20}}\end{align*}}$
今年の東工大は、例年に比べて易しいですね。
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