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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東京工業大 数学1



第1問

  3以上の奇数nに対して、anとbnを次のように定める。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n-1}(k-1)k(k+1)\ \ ,\ \ \ b_n=\frac{n^2-1}{8}\end{align*}}$

 (1) anとbnはどちらも整数であることを示せ。

 (2) an-bnは4の倍数であることを示せ。




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  1. 2018/11/17(土) 01:12:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .東京工業大 2014
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2014東京工業大 数学2



第2問

  a>1とし、次の不等式を考える。
      (*)   $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{e^t-1}{t}\geqq e^{\frac{t}{a}}\end{align*}}$

 (1) a=2のとき、すべてのt>0に対して上の不等式(*)が成り立つ
    ことを示せ。

 (2) すべてのt>0に対して上の不等式(*)が成り立つようなaの
    範囲を求めよ。



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  1. 2018/11/17(土) 01:13:00|
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2014東京工業大 数学3



第3問

  1個のさいころを投げて、出た目が1か2であれば行列A=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を、
  出た目が3か4であれば行列B=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を、出た目が5か6であれば
  行列C=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf -1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ を選ぶ。そして、選んだ行列の表す1次変換によって
  xy平面上の点Rを移すという操作を行う。点Rは最初は点(0,1)にある
  ものとし、さいころを投げて点Rを移す操作をn回続けて行ったときに点
  Rが点(0,1)にある確率をpn、点(0,-1)にある確率をqnとする。

 (1) p1、p2とq1、q2を求めよ。

 (2) pn+qnとpn-1+qn-1の関係式を求めよ。また、pn-qn
    pn-1-qn-1の関係式を求めよ。

 (3) pnをnを用いて表せ。



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  1. 2018/11/17(土) 01:14:00|
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2014東京工業大 数学4



第4問

  点P(t,s)が s=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ t2-2tを満たしながらxy平面上を動くときに、
  点Pを原点を中心として45°回転した点Qの軌跡として得られる曲線
  をCとする。さらに、曲線Cとx軸で囲まれた図形をDとする。

 (1) 点Q(x,y)の座標を、tを用いて表せ。

 (2) 直線y=aと曲線Cがただ1つの共有点を持つような定数aの値を
    求めよ。

 (3) 図形Dをy軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積Vを求めよ。




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2014東京工業大 数学5



第5問

  xy平面上の曲線C:y=x3+x2+1を考え、C上の点(1,3)をP0
  とする。k=1,2,3,…に対して、点Pk-1(xk-1、yk-1)における
  Cの接線とCの交点のうちでPk-1と異なる点をPk(xk,yk)とする。
  このとき、Pk-1とPkを結ぶ線分とCによって囲まれた部分の面積
  をSkとする。

 (1) S1を求めよ。

 (2) xkをkを用いて表せ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}\ \frac{1}{S_k}\end{align*}}$ を求めよ。




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