第1問
以下の問いに答えよ。
(1) tを実数の定数とする。実数全体を定義域とする関数f(x)を
f(x)=－2x2+8tx－12x+t3－17t2+39t－18
と定める。このとき、関数f(x)の最大値をtを用いて表せ。
(2) (1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする。tがt≧$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ の
範囲を動くとき、g(t)の最小値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)は
f(x)=－2{x－(2t－3)}2+t3－9t2+15t
と変形できるので、x=2t－3のとき最大値
t3－9t2+15t
をとる。
(2)
(1)より、
g(t)=t3－9t2+15t
g’(t)=3t2－18t+15=3(t－1)(t－5)
となるので、与えられたtの範囲におけるg(t)の増減は
次のようになる。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)-g(5)=-\frac{18+31\sqrt2}{4}-(-25)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{82-31\sqrt2}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt{6724}-\sqrt{1922}}{4}>0\end{align*}}$
なので、g(t)は
t=5のとき、最小値－25
をとる。
いくら文系とはいえ、東大にしては易しいですねぇ。
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第2問
aを自然数（すなわち1以上の整数）の定数とする。白球と赤球が
あわせて1個以上入っている袋Uに対して。次の操作(*)を考える。
(*)袋から球を1個取り出し、
(ⅰ)取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、
赤球1個となるようにする。
(ⅱ)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uに戻すこと
なく、袋Uの中身はそのままにする。
はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入っているとする。
この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、
赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身
は白球a個のみとなる。
n回目に取り出した球が赤球である確率をpnとする。ただし、袋Uの中
の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。
(1) p1、p2を求めよ。
(2) n≧3に対してpnを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
はじめ袋Uには白球a+2個と赤球1が入っているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p_1=\frac{1}{a+3}}\end{align*}}$
赤球を取り出した次の操作では必ず白球を取り出すので、
2回目に赤球を取り出すためには、白→赤の順に取り出せばよい。
1回目に白球を取り出したとき、袋Uには白球a個、赤球1個が
入っているので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_2=\frac{a+2}{a+3}\cdot\frac{1}{a+1}=\underline{\ \frac{a+2}{\left(a+1\right)\left(a+3\right)}}\end{align*}}$
(2)
3回目に赤球を取り出すためには、
白→白→赤 または 赤→白→赤
の順に取り出せばよい。
1回目以降の操作で
白球を取り出したあと、袋Uには白球a個、赤球1個
赤球を取り出したあと、袋Uには白球a個
が残ることになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{a+2}{a+3}\cdot\frac{a}{a+1}\cdot\frac{1}{a+1}+\frac{1}{a+3}\cdot 1\cdot\frac{1}{a+1}=\frac{a^2+3a+1}{\left(a+1\right)^2\left(a+3\right)}\end{align*}}$ ……(#)
n+1回目に赤球を取り出すためには、n回目に白球を取り出す
必要があるので、pnとpn+1の間には
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}=\left(1-p_n\right)\cdot\frac{1}{a+1}\end{align*}}$
という関係式が成り立つ。この漸化式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n+1}-\frac{1}{a+2}=-\frac{1}{a+1}\left(p_n-\frac{1}{a+2}\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{p_n-\frac{1}{a+2}\right\}\end{align*}}$ は等比数列をなす。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_{n}-\frac{1}{a+2}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left(p_3-\frac{1}{a+2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left(p_3-\frac{1}{a+2}\right)+\frac{1}{a+2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ p_{n}=\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-3}\left\{\frac{a^2+3a+1}{\left(a+1\right)^2\left(a+3\right)}-\frac{1}{a+2}\right\}+\frac{1}{a+2}\end{align*}}$ ←(#)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{a+2}\left\{1- \frac{1}{a+3}\left(-\frac{1}{a+1}\right)^{n-1}\right\}}\end{align*}}$
n≧3という条件が面倒ですね。
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第3問
座標平面上の原点をOで表す。
線分y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x（0≦x≦2）上の点Pと、線分y=－$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x（－3≦x≦0）
上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。
このとき、線分PQの通過する領域をDとする。
(1) sを－3≦s≦2をみたす実数とするとき、点(s，t)がDに入るような
tの範囲を求めよ。
(2) Dを図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
線分y=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x（0≦x≦2）、y=－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x（－3≦x≦0）
をそれぞれL1、L2とすると、題意より点(s，t)はL1、L2の
上側にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\geqq \sqrt3\ s\ \ ,\ \ t\geqq -\sqrt3\ s\end{align*}}$ ……(A)
P、Qの座標をそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(p\ ,\ \sqrt3\ p\right)\ \ ,\ \ Q\left(q\ ,\ \sqrt3\ q\right)\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf OP+OQ=\sqrt{p^2+\left(\sqrt3\ p\right)^2}+\sqrt{q^2+\left(\sqrt3\ q\right)^2}=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ q=p-3\end{align*}}$ ……(B)
を得る。
さらに、0≦p≦2、－3≦q≦0と(B)より、pの値の範囲は
0≦p≦2 ……(C)
となる。
線分PQの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\sqrt3\ p=\frac{\sqrt3\ p-\left(-\sqrt3\ q \right)}{p-q}\left(x-p \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{\sqrt3}{3}\left(2p-3 \right)x-\frac{2\sqrt3}{3}p^2+2\sqrt3\ p\end{align*}}$
と表せ、これが点(s，t)を通るとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\sqrt3}{3}\left(2p-3 \right)s-\frac{2\sqrt3}{3}p^2+2\sqrt3\ p\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2p^2-2\left(s+3\right)p+3s+\sqrt3\ t=0\end{align*}}$ ……(D)
点(s，t)がDに入るためには、
(D)を満たすような実数pが(C)の範囲に存在すればよい。 ……(*)
(D)の左辺をf(p)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (p)=2\left(p-\frac{s+3}{2}\right)^2+\frac{2\sqrt3\ t-s^2-9}{2}\end{align*}}$
と変形できるので、放物線y=f(p)の軸の位置によって
(ⅰ)～(ⅲ)の場合に分けて考える。
(ⅰ) 0≦軸≦2のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{s+3}{2}\leqq 2\ \ \Leftrightarrow\ \ -3\leqq s\leqq 1\end{align*}}$
であり、(*)の条件を満たすｔめには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3\ t-s^2-9}{2}\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
かつ、f(0)または f(2)が0以上であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=3s+\sqrt3\ t\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\geqq -\sqrt3\ s\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\sqrt3\ t-s-4\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\geqq \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\end{align*}}$
(ⅱ) 軸＜0のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{s+3}{2}< 0\ \ \Leftrightarrow\ \ s< -3\end{align*}}$
－3≦s≦2より、この場合はあり得ない。
(ⅲ) 2＜軸のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq \frac{s+3}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ 1\leqq s\leqq 2\ \ \ \left(\because 0\leqq s\leqq 2 \right)\end{align*}}$
であり、(*)の条件を満たすためには、
f(0)≧0 かつ f(2)≦0であればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=3s+\sqrt3\ t\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\geqq -\sqrt3\ s\end{align*}}$ かつ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (2)=\sqrt3\ t-s-4\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\leqq \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\end{align*}}$
直線mおよび放物線Cを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m:\ y=\frac{1}{\sqrt3}\ x+\frac{4\sqrt3}{3}\ \ \ \ \ \ \ C:\ y=\frac{\sqrt3}{6}\ x^2+\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
とおく。
【Cとmの共有点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{6}\ x^2+\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{1}{\sqrt3}\ x+\frac{4\sqrt3}{3}\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-1\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=1\end{align*}}$
【CとL1の共有点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{6}\ x^2+\frac{3\sqrt3}{2}=\sqrt3\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x-2\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\end{align*}}$
【CとL2の共有点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{6}\ x^2+\frac{3\sqrt3}{2}=-\sqrt3\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+2\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-2\end{align*}}$
【mとL1の共有点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\ x+\frac{4\sqrt3}{3}=\sqrt3\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=2\end{align*}}$
【mとL2の共有点】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\ x+\frac{4\sqrt3}{3}=-\sqrt3\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ x=-1\end{align*}}$
よって、－3≦s≦－1の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\leqq -\sqrt3\ s\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
－1≦s≦0の範囲で
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\ s\leqq \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
が成り立つので、(A)および(ⅰ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -\sqrt3\ s\leqq t\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\ \ \ \ (-3\leqq s\leqq 0)}\end{align*}}$
一方、0≦s≦2の範囲では常に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\ s\leqq \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\end{align*}}$
となるので、
(A)および(ⅰ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt3\ s\leqq t\leqq \frac{\sqrt3}{6}\ s^2+\frac{3\sqrt3}{2}\ \ \ \ (0\leqq s\leqq 1)}\end{align*}}$
(A)および(ⅲ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt3\ s\leqq t\leqq \frac{1}{\sqrt3}\ s+\frac{4\sqrt3}{3}\ \ \ \ (1\leqq s\leqq 2)}\end{align*}}$
(2)
(1)より、線分PQ上の点(s，t)の存在する範囲は
下図のようになり、これが領域Dである。
（境界線上の点を含む）
よくある問題ですね。
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第4問
rを0以上の整数とし、数列{an}を次のように定める。
a1=r、 a2=r+1
an+2=an+1(an+1) （n=1、2、3、…）
また、素数pを1つとり、anをpで割った余りをbnとする。ただし、
0をpで割った余りは0とする。
(1) 自然数nに対し、bn+2はbn+1(bn+1)をpで割った余りと一致
することを示せ。
(2) r=2、p=17の場合に、10以下のすべての自然数nに対して、
bnを求めよ。
(3) ある2つの相異なる自然数n、mに対して、
bn+1=bm+1＞0、 bn+2=bm+2
が成り立ったとする。このとき、bn=bmが成り立つことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
bnはanをpで割った余りなので、
bnは、 0≦bn≦p－1 を満たす整数である。 ……(#)
(1)
anをpで割ったときの商をcnとすると、
an=pcn+bn
と表すことができる。これより、
an+2=an+1(an+1)
⇔ pcn+2+bn+2=(pcn+1+bn+1)(pcn+bn+1)
⇔ bn+2－bn+1(bn+1)=p×整数
となるので、
bn+2－bn+1(bn+1)はpの倍数である。 ……(A)
よって、bn+2は、bn+1(bn+1)をpで割った余りと一致する。
(2)
まず、a1=2、a2=3より
b1=2、 b2=3 ．
(1)より
b2(b1+1)=9 なので b3=9
b3(b2+1)=36=17･2+2 なので b4=2
b4(b3+1)=20=17･1+3 なので b5=3
となり、以下も同様に計算していくと、
b1=b4=b7=b10=2
b2=b5=b8=3
b3=b6=b9=9
を得る。
(3)
M、Nを0以上の整数とすると、(A)より
bm+2－bm+1(bm+1)=pM
bn+2－bn+1(bn+1)=pN
と表すことができる。
ある2つの相異なる自然数n、mに対して、
bn+1=bm+1＞0、 bn+2=bm+2
が成り立つとき、上式は
bm+2－bm+1(bm+1)=pM
bm+2－bm+1(bn+1)=pN
となるので、両辺の差をとると、
bm+1(bm－bn)=p(N－M)．
ここで、bm+1＞0と(#)より、bm+1は1、2、…、p－1のいずれか
であり、pは素数なので、pとbm+1と互いに素である。
よって、bm－bnはpの倍数である。
(#)より
0≦bn≦p－1 かつ 0≦bm≦p－1
なので、
－(p－1)≦bm－bn≦p－1
この範囲にあるpの倍数は0のみである。よって、
bm－bn=0
より、bm=bnが導かれる。
文系だと難しいかも。
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