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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東京大 文系数学1



第1問

  以下の問いに答えよ。

 (1) tを実数の定数とする。実数全体を定義域とする関数f(x)を
      f(x)=-2x2+8tx-12x+t3-17t2+39t-18
    と定める。このとき、関数f(x)の最大値をtを用いて表せ。

 (2) (1)の「関数f(x)の最大値」をg(t)とする。tがt≧$\small\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$ の
    範囲を動くとき、g(t)の最小値を求めよ。




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  1. 2018/11/21(水) 01:13:00|
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2014東京大 文系数学2



第2問

  aを自然数(すなわち1以上の整数)の定数とする。白球と赤球が
  あわせて1個以上入っている袋Uに対して。次の操作(*)を考える。

  (*)袋から球を1個取り出し、
   (ⅰ)取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、
     赤球1個となるようにする。
   (ⅱ)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uに戻すこと
     なく、袋Uの中身はそのままにする。

  はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入っているとする。
  この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
  たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、
  赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身
  は白球a個のみとなる。
  n回目に取り出した球が赤球である確率をpnとする。ただし、袋Uの中
  の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

 (1) p1、p2を求めよ。

 (2) n≧3に対してpnを求めよ。




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2014東京大 文系数学3



第3問

  座標平面上の原点をOで表す。
  線分y=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x(0≦x≦2)上の点Pと、線分y=-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ x(-3≦x≦0)
  上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。
  このとき、線分PQの通過する領域をDとする。

 (1) sを-3≦s≦2をみたす実数とするとき、点(s,t)がDに入るような
    tの範囲を求めよ。

 (2) Dを図示せよ。



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2014東京大 文系数学4



第4問

  rを0以上の整数とし、数列{an}を次のように定める。
    a1=r、  a2=r+1
    an+2=an+1(an+1)  (n=1、2、3、…)
  また、素数pを1つとり、anをpで割った余りをbnとする。ただし、
  0をpで割った余りは0とする。

 (1) 自然数nに対し、bn+2はbn+1(bn+1)をpで割った余りと一致
    することを示せ。

 (2) r=2、p=17の場合に、10以下のすべての自然数nに対して、
    bnを求めよ。

 (3) ある2つの相異なる自然数n、mに対して、
       bn+1=bm+1>0、  bn+2=bm+2
    が成り立ったとする。このとき、bn=bmが成り立つことを示せ。




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  1. 2018/11/21(水) 01:16:00|
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