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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東京大 理系数学1



第1問

  1辺の長さが1の正方形を底面とする四角柱OABC-DEFGを考える。
  3点P、Q、Rを、それぞれ辺AE、辺BF、辺CG上に、4点O、P、Q、R
  が同一平面上にあるようにとる。四角形OPQRの面積をSとおく。また、
  ∠AOPを$\small\sf{\alpha}$ 、∠CORを$\small\sf{\beta}$ とおく。

 (1) Sを$\small\sf{\tan\alpha}$ と$\small\sf{\tan\beta}$ を用いて表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \alpha+\beta=\frac{\pi}{4}\ ,\ \ S= \frac{7}{6}\end{align*}}$ であるとき、$\small\sf{\tan\alpha+\tan\beta}$ の値を求めよ。さらに、
    $\small\sf{\alpha\leqq\beta}$ のとき、$\small\sf{\tan\alpha}$ の値を求めよ。

      図01
解答はこちら↓

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2014東京大 理系数学2



第2問

  aを自然数(すなわち1以上の整数)の定数とする。白球と赤球が
  あわせて1個以上入っている袋Uに対して。次の操作(*)を考える。

  (*)袋から球を1個取り出し、
   (ⅰ)取り出した球が白球のときは、袋Uの中身が白球a個、
     赤球1個となるようにする。
   (ⅱ)取り出した球が赤球のときは、その球を袋Uに戻すこと
     なく、袋Uの中身はそのままにする。

  はじめに袋Uの中に、白球がa+2個、赤球が1個入っているとする。
  この袋Uに対して操作(*)を繰り返し行う。
  たとえば、1回目の操作で白球が出たとすると、袋Uの中身は白球a個、
  赤球1個となり、さらに2回目の操作で赤球が出たとすると、袋Uの中身
  は白球a個のみとなる。
  n回目に取り出した球が赤球である確率をpnとする。ただし、袋Uの中
  の個々の球の取り出される確率は等しいものとする。

 (1) p1、p2を求めよ。

 (2) n≧3に対してpnを求めよ。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{m}\sum_{n=1}^mp_n\end{align*}}$ を求めよ。




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2014東京大 理系数学3



第3問

  uを実数とする。座標平面上の2つの放物線
     C1: y=-x2+1
     C2: y=(x-u)2+u
  を考える。C1とC2が共有点をもつようなuの値の範囲は、ある実数
  a、bにより、a≦u≦bと表される。

 (1) a、bの値を求めよ。

 (2) uがa≦u≦bを満たすとき、C1とC2の共有点をP1(x1,y1)、
    P2(x2,y2)とする。ただし、共有点が1点のみのときは、P1とP2
    は一致し、ともにその共有点を表すとする。
            2|x1y-xy1|
    をuの式で表せ。

 (3) (2)で得られるuの式をf(u)とする。定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int_a^bf\ (u)\ du\end{align*}}$
    を求めよ。




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2014東京大 理系数学4



第4問

  p、qは実数の定数で、0<p<1、q>0をみたすとする。
  関数
        f(x)=(1-p)x+(1-x)(1-e-qx)
  を考える。
  以下の問いに答えよ。必要であれば、不等式1+x≦ex
  すべての実数xに対して成り立つことを証明なしに用いてよい。

 (1) 0<x<1のとき、0<f(x)<1であることを示せ。

 (2) x0は0<x0<1をみたす実数とする。数列{xn}の各項xn
    (n=1、2、3、…)を、
        xn=f(xn-1)
    によって順次定める。p>qであるとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ x_n=0\end{align*}}$
    となることを示せ。

 (3) p<qであるとき
        c=f(c)、 0<c<1
    をみたす実数cが存在することを示せ。



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2014東京大 理系数学5



第5問

  rを0以上の整数とし、数列{an}を次のように定める。
    a1=r、  a2=r+1
    an+2=an+1(an+1)  (n=1、2、3、…)
  また、素数pを1つとり、anをpで割った余りをbnとする。ただし、
  0をpで割った余りは0とする。

 (1) 自然数nに対し、bn+2はbn+1(bn+1)をpで割った余りと一致
    することを示せ。

 (2) r=2、p=17の場合に、10以下のすべての自然数nに対して、
    bnを求めよ。

 (3) ある2つの相異なる自然数n、mに対して、
       bn+1=bm+1>0、  bn+2=bm+2
    が成り立ったとする。このとき、bn=bmが成り立つことを示せ。

 (4) a2、a3、a4、…にpで割り切れる数が現れないとする。このとき、
    a1もpで割り切れないことを示せ。




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2014東京大 理系数学6



第6問

  座標平面上の原点をOで表す。
  線分$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\sqrt3\ x\ \ (0\leqq x\leqq 2)\end{align*}}$ 上の点Pと、線分$\small\sf{\begin{align*} \sf y=-\sqrt3\ x\ \ (-2\leqq x\leqq 0)\end{align*}}$
  上の点Qが、線分OPと線分OQの長さの和が6となるように動く。
  このとき、線分PQの通過する領域をDとする。

 (1) sを0≦s≦2をみたす実数とするとき、点(s,t)がDに入るような
    tの範囲を求めよ。

 (2) Dを図示せよ。



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