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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014筑波大 数学1



第1問

  f(x)=x3-xとする。y=f(x)のグラフに点P(a,b)から引いた接線は
  3本あるとする。3つの接点$\small{\sf A(\alpha,f(\alpha))\ ,\ B(\beta, f(\beta))\ ,\ C(\gamma, f(\gamma))}$
  を頂点とする三角形の重心をGとする。

 (1) $\small{\sf \alpha+\beta+\gamma\ ,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}$ および$\small{\alpha\beta\gamma}$ をa、bを用いて表せ。

 (2) 点Gの座標をa、bを用いて表せ。

 (3) 点Gのx座標が正で、y座標が負となるような点Pの範囲を図示せよ。




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2014筑波大 数学2



第2問

  xy平面上の曲線C:y=xsinx+cosx-1(0<x<$\small\sf{\pi}$ )に対して、
  以下の問いに答えよ。ただし、3<$\small\sf{\pi}$ <$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{16}{5}\end{align*}}$ であることは証明なしで
  用いてよい。

 (1) 曲線Cとx軸の交点はただ1つであることを示せ。

 (2) 曲線Cとx軸の交点をA($\small\sf{\alpha}$ ,0)とする。$\small\sf{\alpha}$ >$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ $\small\sf{\pi}$ であることを示せ。

 (3) 曲線C、y軸および直線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\pi}{2}-1\end{align*}}$ で囲まれる部分の面積をSとする。
    また、xy平面の原点O、点Aおよび曲線C上の点$\small\sf{\begin{align*} \sf B\left(\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2}-1\right)\end{align*}}$ を頂点
    とする三角形OABの面積をTとする。S<Tであることを示せ。



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2014筑波大 数学3



第3問

  関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)= e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$ をx>0で考える。y=f(x)のグラフの点(a,f(a))に
  おける接線をLaとし、Laとy軸との交点を(0,Y(a))とする。以下の問
  いに答えよ。ただし、実数kに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^ke^{-t}=0\end{align*}}$ であることは証明なし
  で用いてよい。

 (1) Y(a)がとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) 0<a<bであるa、bに対して、LaとLbがx軸上で交わるとき、aの
    とりうる値の範囲を求め、bをaで表せ。

 (3) (2)のa、bに対して、Z(a)=Y(a)-Y(b)とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}Z(a)\end{align*}}$ および
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{Z\ '(a)}{a}\end{align*}}$ を求めよ。



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2014筑波大 数学4



第4問

  平面上の直線Lに同じ側で接する2つの円C1、C2があり、C1とC2
  互いに外接している。L、C1、C2で囲まれた領域内に、これら3つと互いに
  接する円C3を作る。同様にL、Cn、Cn+1(n=1、2、3、…)で囲まれた
  領域内にあり、これら3つと互いに接する円をCn+2とする。円Cnの半径をrn
  とし、xn=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{r_n}}\end{align*}}$ とおく。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、r1=16、
  r2=9とする。

 (1) LがC1、C2、C3と接する点を、それぞれA1、A2、A3とおく。線分A1A2
    A1A3、A2A3の長さおよびr3の値を求めよ。

 (2) ある定数a、bに対してxn+2=axn+1+bxn(n=1、2、3、…)となる
    ことを示せ。a、bの値も求めよ。

 (3) (2)で求めたa、bに対して、2次方程式t2=at+bの解を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ $\small\sf{\alpha}$ >$\small\sf{\beta}$
    とする。x1=c$\small\sf{\alpha}$ 2+d$\small\sf{\beta}$ 2を満たす有理数c、dの値を求めよ。ただし、
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt5\end{align*}}$ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

 (4) (3)のc、d、$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ に対して、
         xn=c$\small\sf{\alpha}$ n+1+d$\small\sf{\beta}$ n+1 (n=1、2、3、…)
    となることを示し、数列{rn}の一般項を$\small\sf{\alpha}$ 、$\small\sf{\beta}$ を用いて表せ。


          図05




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2014筑波大 数学5



第5問

  実数を成分とする正方行列
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 2 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) AB=BAを満たすAは、実数x、yを用いてA=xB+yEと表せる
    ことを示せ。

 (2) A3=Eのとき
        (t2Δ)A=(tΔ+1)E
    を示せ。ただし、t=a+d、Δ=ad-bcとする。

 (3) AB=BAかつA3=Eを満たすAをすべて求めよ。



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2014筑波大 数学6



第6問

  xy平面上に楕円
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1\ \ \left( a\gt\sqrt{13}\right)\end{align*}}$
  および双曲線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \left( a\gt 0\right)\end{align*}}$
  があり、C1とC2は同一の焦点をもつとする。またC1とC2の交点
        $\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}\ ,\ t\right)\ \ \ (t\gt 0)\end{align*}}$
  におけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2とする。

 (1) aとbの間に成り立つ関係式を求め、点Pの座標をaを用いて表せ。

 (2) L1とL2が直交することを示せ。

 (3) $\small{\sf a \gt \sqrt{13}}$ を満たしながら動くとき、点Pの軌跡を図示せよ。



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