第１問
f(x)＝x3－xとする。y＝f(x)のグラフに点P(a，b)から引いた接線は
3本あるとする。3つの接点$\small{\sf A(\alpha,f(\alpha))\ ,\ B(\beta, f(\beta))\ ,\ C(\gamma, f(\gamma))}$
を頂点とする三角形の重心をGとする。
(１) $\small{\sf \alpha+\beta+\gamma\ ,\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}$ および$\small{\alpha\beta\gamma}$ をa、bを用いて表せ。
(２) 点Gの座標をa、bを用いて表せ。
(３) 点Gのx座標が正で、y座標が負となるような点Pの範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize{\sf f'(x)=3x^2-1}$ より、Aにおける接線は、
$\scriptsize{\sf y-(\alpha^3-\alpha)=3\alpha^2-1)(x-\alpha)}$
であり、これが点P(a，b)を通るので、
$\scriptsize\sf{\sf b-(\alpha^3-\alpha)=(3\alpha^2-1)(x-\alpha)}$
$\scriptsize\sf{\ \ \Leftrightarrow\ \ \sf 2\alpha^3-a\alpha^2+a+b=0}$
を得る。
B、Cについても同様に考えることができるので、
$\scriptsize\sf{\sf 2\beta^3-3a\beta^2+a+b=0}$
$\scriptsize\sf{\sf 2\gamma^3-3a\gamma^2+a+b=0}$
となり、これら3式より、$\scriptsize\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ はtについての方程式
$\scriptsize\sf{\sf 2t^3-3at^2+a+b=0}$ ……①
の3解となる。
$\scriptsize\sf{\alpha,\beta,\gamma}$ は実数なので、①は異なる3つの実数解をもつ必要がある
①の左辺を$\scriptsize\sf{\sf g(t)}$とおくと、
$\scriptsize\sf{\sf g'(t)=6t^2-6at=6t(t-a)}$
となるので、$\scriptsize\sf{\sf a\ne 0}$ のとき、$\scriptsize\sf{\sf g(t)}$はt=0およびt=aで極値をとる。
①が異なる3つの実数解をもつとき、$\scriptsize\sf{\sf g(t)}$の極大値と極値が異符号で
あればよいので、
$\scriptsize\sf{\sf g(0)\cdot g(a)=(a+b)(-a^3+a+b)\lt 0}$
すなわち、
b＞－a のとき、b＜a3－a
b＜－a のとき、b＞a3－a ……②
となればよい。
(１)
①についての解と係数の関係より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \alpha+\beta+\gamma=\frac{3a}{2}\ \ ,\ \ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=0\ \ ,\ \ \alpha\beta\gamma=-\frac{a+b}{2}}\end{align*}}$
(２)
G(X，Y)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}=\frac{a}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)-(\alpha+\beta+\gamma)}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma-(\alpha+\beta+\gamma)}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(\alpha+\beta+\gamma)\{(\alpha+\beta+\gamma)^2-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}+3\alpha\beta\gamma-(\alpha+\beta+\gamma)}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left\{\left( \frac{3a}{2}\right)^3+3\left(-\frac{a+b}{2}\right)-\left( \frac{3a}{2}\right)\right\}\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{8}a^3-a-\frac{1}{2}b\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ G(X\ ,\ Y)=\left(\frac{3a}{2}\ ,\ \frac{9}{8}a^3-a-\frac{1}{2}b\right)}\end{align*}}$
(３)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{3a}{2}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ a>0\end{align*}}$ ……③
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y=\frac{9}{8}a^3-a-\frac{1}{2}b<0\ \ \Leftrightarrow\ \ b>\frac{9}{4}a^3-2\end{align*}}$ ……④
ここで、曲線C1、C2および直線Lを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ b=\frac{9}{4}a^3-2a\ \ ,\ \ C_2:\ b=a^3-a\ \ ,\ \ L:\ b=-a\end{align*}}$
とおく。
C1とC2の交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{4}a^3-2a=a^3-a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=0\ ,\ \pm\frac{2}{\sqrt5}\end{align*}}$
C1とLの交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9}{4}a^3-2a=-a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=0\ ,\ \pm\frac{2}{3}\end{align*}}$
C2とLの交点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^3-a=-a\ \ \Leftrightarrow\ \ a=0\end{align*}}$
よって、②、③、④を同時に満たす点P(a，b)の存在範囲は、
下図のようになる。ただし、境界線上の点は含まない。
②の条件を忘れないように！
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第２問
xy平面上の曲線C：y＝xsinx＋cosx－1（0＜x＜$\small\sf{\pi}$ ）に対して、
以下の問いに答えよ。ただし、3＜$\small\sf{\pi}$ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{16}{5}\end{align*}}$ であることは証明なしで
用いてよい。
(１) 曲線Cとx軸の交点はただ1つであることを示せ。
(２) 曲線Cとx軸の交点をA($\small\sf{\alpha}$ ，0)とする。$\small\sf{\alpha}$ ＞$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ $\small\sf{\pi}$ であることを示せ。
(３) 曲線C、y軸および直線$\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{\pi}{2}-1\end{align*}}$ で囲まれる部分の面積をSとする。
また、xy平面の原点O、点Aおよび曲線C上の点$\small\sf{\begin{align*} \sf B\left(\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{\pi}{2}-1\right)\end{align*}}$ を頂点
とする三角形OABの面積をTとする。S＜Tであることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)＝xsinx＋cosx－1 （0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ ）とおくと、
f’(x)＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
f(x)は連続関数であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f \left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}-1>\frac{3}{2}-1>0 \ \ ,\ \ f\ (\pi)=-2<0\end{align*}}$
なので、中間値の定理より、方程式f(x)＝0は、0＜x＜$\scriptsize\sf{\pi}$ に
ただ1つの実数解をもつ。
よって、曲線Cとx軸の交点はただ1つである。
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{2}{3}\pi\right)=\frac{2}{3}\pi\sin\frac{2}{3}\pi+\cos\frac{2}{3}\pi-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\sqrt3}{3}\pi-\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{\sqrt3}{3}\cdot 3-\frac{3}{2}\ \ \ \ \left(\because 3<\pi\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{12}{4}}-\sqrt{\frac{9}{4}}>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\pi)=-2<0\end{align*}}$
(１)より、f(x)は区間 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\lt x<\pi\end{align*}}$ において単調に減少するので、
f(x)＝0となるxはこの区間内に存在する。
よって、$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\pi\end{align*}}$ となり、題意は示された。
(３)
Sは右図の青色部分の面積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi/2}\left\{\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-\left(x\sin x+\cos x-1\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{4}-\bigg[-x\cos x+\sin x\bigg]_0^{\pi/2}+\int_0^{\pi/2}\left(-\cos x\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{4}-1-\bigg[\sin x\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi^2}{4}-2\end{align*}}$
Tは右図の緑色部分の面積なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{2}\ \alpha\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T-S=\frac{1}{2}\ \alpha\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-\left(\frac{\pi^2}{4}-2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\pi\cdot\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-\left(\frac{\pi^2}{4}-2\right)\end{align*}}$ ←(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2-\frac{\pi^2}{12}-\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >2-\frac{1}{12}\left(\frac{16}{5}\right)^2-\frac{1}{3}\cdot\frac{16}{5}\ \ \ \ \left( \because \pi <\frac{16}{5}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{25}>0\end{align*}}$
となるので、S＜Tである。
グラフさえ描けば、問題ないでしょう。
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第３問
関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f(x)= e^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$ をx＞0で考える。y＝f(x)のグラフの点(a，f(a))に
おける接線をLaとし、Laとy軸との交点を(0，Y(a))とする。以下の問
いに答えよ。ただし、実数kに対して $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^ke^{-t}=0\end{align*}}$ であることは証明なし
で用いてよい。
(１) Y(a)がとりうる値の範囲を求めよ。
(２) 0＜a＜bであるa、bに対して、LaとLbがx軸上で交わるとき、aの
とりうる値の範囲を求め、bをaで表せ。
(３) (２)のa、bに対して、Z(a)＝Y(a)－Y(b)とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}Z(a)\end{align*}}$ および
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{Z\ '(a)}{a}\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-xe^{-\frac{x^2}{2}}\end{align*}}$
なので、点(a，f(a))における接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L_a:\ y-e^{-\frac{a^2}{2}}=-ae^{-\frac{a^2}{2}}\left(x-a\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-ae^{-\frac{a^2}{2}}x+\left(a^2+1\right)e^{-\frac{a^2}{2}}\end{align*}}$
となる。よって、そのy切片Y(a)について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(a)=\left(a^2+1\right)e^{-\frac{a^2}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y\ '(a)=2ae^{-\frac{a^2}{2}}+(a^2+1)e^{-\frac{a^2}{2}}\cdot(-a)=-a(a^2-1)e^{-\frac{a^2}{2}}\end{align*}}$ ……①
なので、a＞0におけるY(a)の増減は次のようになる。
よって、Y(a)のとり得る値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt Y(a)\leqq \frac{2}{\sqrt{e}}}\end{align*}}$
である。
(２)
Laのx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-ae^{-\frac{a^2}{2}}x+\left(a^2+1\right)e^{-\frac{a^2}{2}}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{a^2+1}{a}\ \ \ \left(\because a\ne 0\ ,\ e^{-\frac{a^2}{2}}\ne 0 \right)\end{align*}}$
となり、LaとLbはx軸上で交わるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2+1}{a}=\frac{b^2+1}{b}\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2b+b-ab^2-a=(a-b)(ab-1)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b=\frac{1}{a}\ \ \ (\because b\ne a)}\end{align*}}$ ……②
これと0＜a＜bより、aのとり得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a<\frac{1}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 0\lt a<1}\end{align*}}$
となる。
(３)
①より、a→＋0のとき、b→＋∞となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}Z(a)=\lim_{a\rightarrow +0}Y(a)-\lim_{b\rightarrow +\infty}Y(b)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\left(a^2+1 \right)e^{-\frac{a^2}{2}}-\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(b^2+1 \right)e^{-\frac{b^2}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(0+1)e^0-0\ \ \ \ \left(\because \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^ke^{-t}=0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1}\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Z\ '(a)=Y\ '(a)-Y\ '(b)\cdot\frac{db}{da}=Y\ '(a)+\frac{1}{a^2}Y\ '(b)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{a\rightarrow +0}\frac{Z\ '(a)}{a}=\lim_{a\rightarrow +0}\left\{\frac{1}{a}Y\ '(a)+\frac{1}{a^3}Y\ '(b)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{a\rightarrow +0}\frac{1}{a}Y\ '(a)+\lim_{b\rightarrow +\infty}b^3\ Y\ '(b)\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\lim_{a\rightarrow +0}\left(a^2-1 \right)e^{-\frac{a^2}{2}}-\lim_{b\rightarrow +\infty}\left(b^6-b^4\right)e^{-\frac{a^2}{2}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-(0-1)e^0-0\ \ \ \ \left(\because \lim_{t\rightarrow\infty}\ t^ke^{-t}=0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1}\end{align*}}$
上からそのまま計算していきましょう。
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第５問
実数を成分とする正方行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\ \ ,\ \ B=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 2 \end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(１) AB＝BAを満たすAは、実数x、yを用いてA＝xB＋yEと表せる
ことを示せ。
(２) A3＝Eのとき
(t2－Δ)A＝(tΔ＋1)E
を示せ。ただし、t＝a＋d、Δ＝ad－bcとする。
(３) AB＝BAかつA3＝Eを満たすAをすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AB=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a-b&\sf a+2b \\ \sf c-d & \sf c+2d \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf BA=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a+c&\sf b+d \\ \sf -a+2c & \sf -b+2d \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、AB＝BAより成分を比較すると、
a－b＝a＋c ⇔ c＝－b かつ
a＋2b＝b＋d ⇔ a＋b＝d ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf -b & \sf a+b \end{pmatrix}=b\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 2 \end{pmatrix}+(a-b)\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
と表せるので、x＝b、y＝a－bとおくと、題意は示された。
(２)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(a＋d)A＋(ad－be)E＝O
⇔ A2＝tA－ΔE ……①
なので、
A3＝AA2
＝A(tA－ΔE) ←①より
＝tA2－ΔA
＝t(tA－ΔE)－ΔA ←①より
＝(t2－Δ)A－tΔE ←①より
A3＝Eなので
(t2－Δ)A－tΔE＝E
⇔ (t2－Δ)A＝(tΔ＋1)E
となり、題意は示された。
(３)
AB＝BAなので、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf -b & \sf a+b \end{pmatrix}=bB+(a-b)E\end{align*}}$ ……②
と表せる。このとき、
t＝2a＋b、 Δ＝a2＋ab＋b2 ……③
であり、題意よりA3＝Eなので、(２)より
(t2－Δ)A＝(tΔ＋1)E
⇔ (t2－Δ){bB＋(a-b)E}＝(tΔ＋1)E ←②より
⇔ (t2－Δ)bB＝{tΔ＋1－(t2－Δ)(a-b)}E
両辺の(1，2)成分を比較すると、
(t2－Δ)x＝0 ……④
であり、さらに(1，1)成分を比較すると、
tΔ＋1－(t2－Δ)(a－b)＝0 ……⑤
となる。
(ⅰ) b＝0のとき
②より A＝aEとなるので、
A3＝a3E＝E ⇔ a3＝1 ⇔a＝1
よって、A＝Eである。
(ⅱ) b≠0のとき
④より、Δ＝t2 であり、
これを⑤に代入すると
t3＋1＝0 ⇔ t＝－1、 Δ＝1．
これらと③より
2a＋b＝－1 かつ a2＋ab＋b2＝1
となるので、連立させて解くと、
(a，b)＝(0，－1)、(－1，1)
以上より、題意を満たすようなAは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ A=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ \begin{pmatrix} \sf 0&\sf -1 \\ \sf 1 & \sf -1 \end{pmatrix}\ ,\ \begin{pmatrix} \sf -1&\sf 1 \\ \sf -1 & \sf 0 \end{pmatrix}}\end{align*}}$
式がたくさん出てくるので、うまく使い分ける必要があります。
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第６問
xy平面上に楕円
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1\ \ \left( a\gt\sqrt{13}\right)\end{align*}}$
および双曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1\ \ \left( a\gt 0\right)\end{align*}}$
があり、C1とC2は同一の焦点をもつとする。またC1とC2の交点
$\small\sf{\begin{align*} \sf P\left(2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}\ ,\ t\right)\ \ \ (t\gt 0)\end{align*}}$
におけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2とする。
(１) aとbの間に成り立つ関係式を求め、点Pの座標をaを用いて表せ。
(２) L1とL2が直交することを示せ。
(３) $\small{\sf a \gt \sqrt{13}}$ を満たしながら動くとき、点Pの軌跡を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1、C2の焦点はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\pm\sqrt{a^2-9}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(\pm\sqrt{4+b^2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
であり、これらが一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2-9=4+b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b^2=a^2-13}\end{align*}}$ ……①
また、点PはC1上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a^2}\cdot 4\left(1+\frac{t^2}{b^2}\right)+\frac{t^2}{9}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36\left(b^2+t^2\right)+a^2b^2t^2=9a^2b^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t^2=\frac{9b^2(a^2-4)}{36+a^2b^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)(a^2-4)}{36+a^2(a^2-13)}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)(a^2-4)}{a^4+13a^2+36}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\ \ \ \ \left(\because a>\sqrt{13}\right)\end{align*}}$ ……②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}}=2\sqrt{1+\frac{1}{a^2-13}\cdot\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}}\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sqrt{1+\frac{9}{a^2-9}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ \ \ (\because a>0)\end{align*}}$
よって、点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ ,\ 3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\right)}\end{align*}}$
である。
(３)
P(X，Y)とおくと、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X=\frac{2a}{\sqrt{a^2-9}}\ \ ,\ \ Y=3\sqrt{\frac{a^2-13}{a^2-9}}\end{align*}}$ ……③
であり、a＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}\end{align*}}$ なので、
X＞0、 Y＞0 ……④
また、③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X^2=\frac{4a^2}{a^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ (X^2-4)a^2=9X^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{9X^2}{X^2-4}\end{align*}}$ ……⑤
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y^2=\frac{9(a^2-13)}{a^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ (Y^2-9)a^2=9(Y^2-13)\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}\end{align*}}$ ……⑥
なので、a2を消去すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{9X^2}{X^2-4}=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}\ \ \Leftrightarrow\ \ X^2(Y^2-9)=(X^2-4)(Y^2-13)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X^2+Y^2=13\end{align*}}$ ……⑦
また、a＞$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{13}\end{align*}}$ と⑤、⑥より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{9X^2}{X^2-4}>13\ \ \Leftrightarrow\ \ 9X^2>13(X^2-4)\ \ ,\ \ X^2-4>0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\lt X<\sqrt{13}\end{align*}}$ ……⑧
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^2=\frac{9(Y^2-13)}{Y^2-9}>13\ \ \Leftrightarrow\ \ 9(Y^2-13)<13(Y^2-9)\ \ ,\ \ Y^2-9<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt Y<3\end{align*}}$ ……⑨
④、⑦、⑧、⑨より、点Pの軌跡は
右図のようになる。
（弧の端点は含まない。）
条件がいろいろあってややこしいですが、
⑧、⑨の不等式は分母を払う際、符号に注意しましょう！
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/06(火) 01:06:00|
- 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2014
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