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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014筑波大 数学1



第1問

  f(x)=x3-xとする。y=f(x)のグラフに点P(a,b)から引いた接線は
  3本あるとする。3つの接点A(α,f(α))、B(β,f(β))、C(γ,f(γ))
  を頂点とする三角形の重心をGとする。

 (1) α+β+γ、 αβ+βγ+γαおよびαβγをa、bを用いて表せ。

 (2) 点Gの座標をa、bを用いて表せ。

 (3) 点Gのx座標が正で、y座標が負となるような点Pの範囲を図示せよ。




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  1. 2014/03/23(日) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関東の大学 .筑波大 2014
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2014筑波大 数学2



第2問

  xy平面上の曲線C:y=xsinx+cosx-1(0<x<π)に対して、
  以下の問いに答えよ。ただし、3<π<橿原 学習塾 青木ゼミ であることは証明なしで
  用いてよい。

 (1) 曲線Cとx軸の交点はただ1つであることを示せ。

 (2) 曲線Cとx軸の交点をA(α,0)とする。α橿原 学習塾 青木ゼミ πであることを示せ。

 (3) 曲線C、y軸および直線y=橿原 学習塾 青木ゼミ -1で囲まれる部分の面積をSとする。
    また、xy平面の原点O、点Aおよび曲線C上の点B橿原 学習塾 青木ゼミ を頂点
    とする三角形OABの面積をTとする。S<Tであることを示せ。



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  1. 2014/03/23(日) 23:57:00|
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2014筑波大 数学3



第3問

  関数 f(x)=橿原 学習塾 青木ゼミ をx>0で考える。y=f(x)のグラフの点(a,f(a))に
  おける接線をLaとし、Laとy軸との交点を(0,Y(a))とする。以下の問
  いに答えよ。ただし、実数kに対して 橿原 学習塾 青木ゼミ であることは証明なし
  で用いてよい。

 (1) Y(a)がとりうる値の範囲を求めよ。

 (2) 0<a<bであるa、bに対して、LaとLbがx軸上で交わるとき、aの
    とりうる値の範囲を求め、bをaで表せ。

 (3) (2)のa、bに対して、Z(a)=Y(a)-Y(b)とおく。橿原 学習塾 青木ゼミ および
    橿原 学習塾 青木ゼミ を求めよ。



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  1. 2014/03/24(月) 23:54:00|
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2014筑波大 数学4



第4問

  平面上の直線Lに同じ側で接する2つの円C1、C2があり、C1とC2
  互いに外接している。L、C1、C2で囲まれた領域内に、これら3つと互いに
  接する円C3を作る。同様にL、Cn、Cn+1(n=1、2、3、…)で囲まれた
  領域内にあり、これら3つと互いに接する円をCn+2とする。円Cnの半径をrn
  とし、xn橿原 学習塾 青木ゼミ とおく。このとき、以下の問いに答えよ。ただし、r1=16、
  r2=9とする。

 (1) LがC1、C2、C3と接する点を、それぞれA1、A2、A3とおく。線分A1A2
    A1A3、A2A3の長さおよびr3の値を求めよ。

 (2) ある定数a、bに対してxn+2=axn+1+bxn(n=1、2、3、…)となる
    ことを示せ。a、bの値も求めよ。

 (3) (2)で求めたa、bに対して、2次方程式t2=at+bの解をα、βα>β
    とする。x1=cα2+dβ2を満たす有理数c、dの値を求めよ。ただし、
    橿原 学習塾 青木ゼミ が無理数であることは証明なしに用いてよい。

 (4) (3)のc、d、αβに対して、
         xn=cαn+1+dβn+1 (n=1、2、3、…)
    となることを示し、数列{rn}の一般項をα、βを用いて表せ。


          図05




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  1. 2014/03/24(月) 23:57:00|
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2014筑波大 数学5



第5問

  実数を成分とする正方行列
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) AB=BAを満たすAは、実数x、yを用いてA=xB+yEと表せる
    ことを示せ。

 (2) A3=Eのとき
        (t2Δ)A=(tΔ+1)E
    を示せ。ただし、t=a+d、Δ=ad-bcとする。

 (3) AB=BAかつA3=Eを満たすAをすべて求めよ。



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  1. 2014/03/25(火) 23:54:00|
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2014筑波大 数学6



第6問

  xy平面上に楕円
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  および双曲線
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  があり、C1とC2は同一の焦点をもつとする。またC1とC2の交点
        橿原 学習塾 青木ゼミ
  におけるC1、C2の接線をそれぞれL1、L2とする。

 (1) aとbの間に成り立つ関係式を求め、点Pの座標をaを用いて表せ。

 (2) L1とL2が直交することを示せ。

 (3) a>橿原 学習塾 青木ゼミ を満たしながら動くとき、点Pの軌跡を図示せよ。



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  1. 2014/03/25(火) 23:57:00|
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