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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014千葉大 数学1



第1問

  下図のような1辺の長さ10cmの正方形ABCDがある。点Pおよび
  点Qは時刻0にAおよびBをそれぞれ出発し、正方形ABCDの周上
  を反時計回りに毎秒1cm進む。また、点Rは時刻0にBを出発し、
  正方形ABCDの周上を反時計回りに毎秒2cm進む。点RがAに達
  するまでに△PQRの面積が35cm2となる時刻をすべて求めよ。


           図01




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2014千葉大 数学2



第2問

  △ABCにおいて、∠A、∠B、∠Cの大きさをそれぞれA、B、Cと
  するとき、次の等式が成り立つとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sin A}{5}=\frac{\sin B}{3}\end{align*}}$
  また、A、B、Cのうち最も大きな角は120°であるとする。このとき、
  cosA、cosB、cosCの値をそれぞれ求めよ。



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2014千葉大 数学3



第3問

  pは奇数である素数とし、N=(p+1)(p+3)(p+5)とおく。

 (1) Nは48の倍数であることを示せ。

 (2) Nが144の倍数になるようなpの値を、小さい順に5つ求めよ。




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2014千葉大 数学4



第4問

  A、Bふたりは、それぞれ1から4までの番号のついた4枚のカードを
  持ち、それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする。

  ・初めにA、Bはそれぞれ4枚のカードを自分の袋に入れ、よくかき
   混ぜる
  ・A、Bはそれぞれ自分の袋から無作為に1枚ずつカードを取り出し、
   そのカードを比較して1回の勝負を行う。すなわち、大きい番号の
   ついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし、番号が等しい
   ときはこの回は引き分けとする。
  ・袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする。
  ・A、Bどちらかが2回勝てば、カードの取り出しをやめて、2回勝っ
   たほうをゲームの勝者とする。4枚すべてのカードを取り出しても
   いずれも2回勝たなければゲームは引き分けとする。

  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) Aが0勝0敗4引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ。

 (2) Aが1勝1敗2引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ。

 (3) Aがゲームの勝者になる確率を求めよ。




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2014千葉大 数学5



第5問

  袋の中に、赤玉が3個、白玉が7個入っている。袋から玉を無作為に
  1つ取り出し、色を確認してから、再び袋に戻すという試行を行う。
  この試行をN回くり返したときに、赤玉をA回(ただし0≦A≦N)
  取り出す確率をp(N,A)とする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) 確率p(N,A)をNとAを用いて表せ。

 (2) Nが10の倍数、すなわちN=10nとなる自然数nがあるとする。
    確率p(10n,0)、p(10n,1)、…、p(10n,10n)のうち一番
    大きな値はp(10n,3n)であることを次の手順により証明せよ。
   (ⅰ) 0以上の整数a、自然数bに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{b!}{a!}\leqq b^{b-a}\end{align*}}$ を示す。
      ただし0!=1とする。
   (ⅱ) 0以上10n以下の整数mに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{p(10n,m)}{p(10n,3n)}\leqq 1\end{align*}}$ を示す。




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2014千葉大 数学6



第6問

  座標平面上に、原点を中心とする半径1の円と、その円に外接し、
  各辺がx軸またはy軸に平行な正方形がある。円周上の点
  $\small\sf{\begin{align*}\sf (\cos\theta,\sin\theta)\ \ \left(0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$ における接線と正方形の
  隣接する2辺がなす三角形の3辺の長さの和は一定であることを
  示せ。また、その三角形の面積を最大にする$\small\sf{\theta}$ を求めよ。




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2014千葉大 数学7



第7問

  実数aに対し、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+1}|t+1|\ dt+a\end{align*}}$
  を考える。曲線C:y=f(x)がx軸と2個の共有点を持つための
  aの範囲を求めよ。またこのとき曲線Cとx軸で囲まれる部分の
  面積を求めよ。



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2014千葉大 数学8



第8問

  座標平面上に、円C:(x-1)2+(y-1)2=1と点Q(1,2)がある。
  点P1の座標を(3,0)とし、x軸上の点P2、P3、……を以下の条件
  によって決め、Pnの座標を(pn,0)とする。

    点Pnから円Cに接線を引き、そのy座標が正である接点をTn
    とする。このとき、3点Q、Tn、Pn+1は同一直線上にある。
    (n=1,2,…)

  このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) T1の座標を求めよ。

 (2) P2の座標を求めよ。

 (3) Tnの座標をpnの式で表せ。

 (4) Pnの座標をnの式で表せ。




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2014千葉大 数学9



第9問

  n、mを0以上の整数とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf n,m}\sf =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n\theta\sin^m\theta\ d\theta\end{align*}}$
  とおく。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) n≧2のとき、In,mをIn-2,m+2を使って表せ。

 (2) 次の式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 2n+1,2m+1}\sf =\frac{1}{2}\int_0^1x^n\left(1-x\right)^mdx\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) 次の式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{n!\ m!}{(n+m+1)!}=\frac{_mC_0}{n+1}-\frac{_mC_1}{n+2}+\ldots +(-1)^m\frac{_mC_m}{n+m+1}\end{align*}}$
    を示せ。ただし、0!=1とする。




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2014千葉大 数学10



第10問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=e^{\sin x}\left(\sin 2x-2\cos x\right)\end{align*}}$
  について、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}f\ (x)\ dx\end{align*}}$ の値を求めよ。

 (2) 0≦x<2$\small\sf{\pi}$ におけるf(x)の最大値を求めよ。

 (3) x≧0のとき
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left(x^2+2x-2\right)\ e^x\geqq f\ (x)\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。




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