第１問
曲線C；y＝x2上の点P(a，a2)における接線をL1、点Q(b，b2)における
接線をL2とする。ただし、a＜bとする。L1とL2の交点をRとし、線分PR、
線分QRおよび曲線Cで囲まれる図形の面積をSとする。
(１) Rの座標をaとbを用いて表せ。
(２) Sをaとbを用いて表せ。
(３) L1とL2が垂直であるときのSの最小値を求めよ。
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【解答】
(１)
y’＝ 2xなので、L1の方程式は
L1：y－a2＝2a(x－a) ⇔ ｙ＝2ax－a2
となり、同様にL2は
L2：ｙ＝2bx－b2
となる。
これら2式を連立させると、
2ax－a2＝2bx－b2 ⇔ 2(b－a)x＝b2－a2
となり、a≠bなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}=\frac{a+b}{2}\ \ ,\ \ y=2a\cdot\frac{a+b}{2}-a^2=ab\end{align*}}$ ．
よって、L1、L2の交点Rの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ R\left(\frac{a+b}{2}\ ,\ ab\right)}\end{align*}}$ ．
(２)
L1、L2、Cの位置関係は右図のようになるので、
点Rのx座標をrとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_a^r\left\{x^2- \left(2ax-a^2 \right)\right\}dx+\int_r^b\left\{x^2- \left(2bx-b^2 \right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_a^r\left(x-a \right)^2dx+\int_r^b\left(x-b\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{1}{3}\left(x-a \right)^3\right]_a^r+\left[\frac{1}{3}\left(x-b\right)^3\right]_r^b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(r-a \right)^3-\frac{1}{3}\left(r-b\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-a \right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{a+b}{2}-b\right)^3\end{align*}}$ ←(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{24}\left(b-a \right)^3-\frac{1}{24}\left(a-b\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{12}\left(b-a \right)^3}\end{align*}}$
（３）
L1とL2が垂直なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2a\cdot 2b=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{1}{4b}\end{align*}}$ ……①
これとa＜bより、b＞0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{12}\left(b-a \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\left(b+\frac{1}{4b} \right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq\frac{1}{12}\left(2\sqrt{b\cdot\frac{1}{4b}} \right)^3\end{align*}}$ ←相加・相乗平均
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{12}\end{align*}}$
等号が成立するのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b=\frac{1}{4b}\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{1}{2}\ (>0)\end{align*}}$
のときである。
よって、このとき、Sは最小となり、その値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{min}=\frac{1}{12}}\end{align*}}$
(２)までは普通に計算するだけですが、(３)の相加相乗平均は気づきますか？
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第２問
1、2、3、4、5のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ、合計10個ある。
(１) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて2個の玉を取り出す。書かれている
2つの数字の積が10となる確率を求めよ。
(２) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて4個の玉を取り出す。書かれている
4つの数字の積が100となる確率を求めよ。
(３) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて6個の玉を取り出す。1個目から3個
目の玉に書かれている3つの数字の積と、4個目から6個目の玉に書かれて
いる3つの数字の積と等しい確率を求めよ。
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【解答】
(１)
2個の玉を取り出す組合わせは、10C2通りある。
2数の積が10になるのは、2×5のみなので、
2の玉と5の玉を1つずつ取り出せばよい。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\times _2C_1}{_{10}C_2}=\underline{\ \frac{4}{45}}\end{align*}}$
(２)
4個の玉を取り出す組合わせは、10C4通りある。
4数の積が100になるのは、2×2×5×5 または 1×4×5×5 の
場合なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_2\times _2C_2+_2C_1\times _2C_1\times _2C_2}{_{10}C_4}=\underline{\ \frac{1}{42}}\end{align*}}$
(３)
まず、1～3個目の玉の組み合わせは、10C3通り、
4～6個目の玉の組み合わせは7C3通りある。
1～3個目の数の積と4～6個目の数の積が等しくなるのは、
次の5つの場合が考えられる。
(ⅰ)1～3個目の数の組み合わせと4～6個目の数の組合わせが
一致する場合、すなわち、□×△×○＝□×△×○ となる場合。
3数□、△、○の選び方は5C3通りあり、それぞれ2つずつあるので
5C3×23＝80通り
(ⅱ)1～3個目･･･2×2×3 4～6個目･･･1×4×3
このような組合わせは、(2C2×2C1)×(2C1×2C1×1)＝8通り
(ⅲ)1～3個目･･･2×2×5 4～6個目･･･1×4×5
(ⅳ)1～3個目･･･1×4×3 4～6個目･･･2×2×3
(ⅴ)1～3個目･･･1×4×5 4～6個目･･･2×2×5
(ⅲ)～(ⅴ)も(ⅱ)と同様にそれぞれ8通りずつ
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{80+8\times 4}{_{10}C_3\times _7C_3}=\underline{\ \frac{2}{75}}\end{align*}}$
理系との共通問題ですが、(３)は少し難しいかもしれませんね。
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第３問
tを正の実数とする。三角形OABの辺OAを2：1に内分する点をM、
辺OBをt：1に内分する点をNとする。線分ANと線分BMの交点をP
とする。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ およびtを用いて表せ。
(２) 直線OPは線分BMと直交し、かつ∠AOBの二等分線であるとする。
このとき、辺OAと辺OBの長さの比とtの値を求めよ。
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【解答】
(１)
まず、題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf ON}=\frac{t}{t+1}\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ON}{NB}\cdot\frac{BP}{PM}\cdot\frac{MA}{AO}=\frac{t}{1}\cdot\frac{BP}{PM}\cdot\frac{1}{3}=1\end{align*}}$
なので、MP：BP＝t：3 ……① となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{3\overrightarrow{\sf OM}+t\overrightarrow{\sf OB}}{t+3}=\underline{\ \frac{2\overrightarrow{\sf OA}+t\overrightarrow{\sf OB}}{t+3}}\end{align*}}$
(２)
∠MOP＝∠BOPかつOP⊥MBより、△MOP≡△BOPである。
よって、OM＝OBなので、
OA：OB＝OA：OM＝3：2
また、MP＝BPでもあるので、①より、t＝3 である。
もちろん、ベクトルの計算ごり押しで解いてもOKです。
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第４問
実数x、yに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=2\sin x+\sin y\ \ ,\ \ B=2\cos x+\cos y\end{align*}}$
とおく。
(１) cos(x－y)をA、Bを用いて表せ。
(２) x、yがA＝1を満たしながら変化するとき、Bの最大値と最小値、
およびそのときのsinx、cosxの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=4\sin^2x+4\sin x\sin y+\sin^2y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B^2=4\cos^2x+4\cos x\cos y+\cos^2y\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2+B^2=5+4\left(\sin x\sin y+\cos x\cos y\right)\end{align*}}$ ……①
加法定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos(x-y)=\cos x+\cos y+\sin x\sin y\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{A^2+B^2-5}{4}}\end{align*}}$ ←①より
(２)
A＝1のとき、(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos(x-y)=\frac{B^2-4}{4}\end{align*}}$ ……②
であり、これと －1≦cos(x－y)≦1より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq\frac{B^2-4}{4}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq B^2\leqq 8\ \ \Leftrightarrow\ \ -2\sqrt2\leqq B\leqq 2\sqrt2\end{align*}}$
を得る。
よって、Bの最大値は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 2\sqrt2 }\end{align*}}$ であり、このとき②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos (x-y)=1\ \ \Leftrightarrow\ \ x-y=2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ y=x-2n\pi\end{align*}}$ （n自然数）
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=2\sin x+\sin(x-2n\pi)=3\sin x\ \ \Leftrightarrow\ \ \sin x=\frac{A}{3}=\underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B=2\cos x+\cos(x-2n\pi)=3\cos x\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x=\frac{B}{3}=\underline{\ \frac{2\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
同様に計算すると、Bの最小値は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ -2\sqrt2 }\end{align*}}$ であり、このとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sin x=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ \cos x=-\frac{2\sqrt2}{3}}\end{align*}}$
となる。
sinx、siny、cosx、cosyと4つあってヤヤコシイでしょうが、
(２)は(１)の結果を上手く使ってください。
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