第1問
以下の問いに答えよ。
(1) xy平面において、O(0，0)、A$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{\sqrt2}\ ,\ \frac{1}{\sqrt2}\right)\end{align*}}$ とする。このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2+\left| \overrightarrow{\sf OP}-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)\ \overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}\leqq1\end{align*}}$
をみたす点P全体のなす図形の面積を求めよ。
(2) xyz空間において、O(0，0，0)、A$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{\sqrt3}\ ,\ \frac{1}{\sqrt3}\right)\end{align*}}$ とする。このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2+\left| \overrightarrow{\sf OP}-\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)\ \overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}\leqq1\end{align*}}$
をみたす点P全体のなす図形の体積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2+\left| \overrightarrow{\sf OP}\right|^2-2\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2\ \left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}\leqq 1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \left| \overrightarrow{\sf OP}\right|^2+\left(\overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OA}\right)^2\ \left(\left|\overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}-1\right)\leqq 1\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}=\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2=1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OP} \right|^{\ 2}\leqq 1\end{align*}}$ ．
以上より、点Pは原点中心、半径1の円周およびその内部を動くので、
その面積は、$\scriptsize\sf{\pi}$ となる。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OA} \right|^{\ 2}=\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt3}\right)^2=1\end{align*}}$
なので、(1)と同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left| \overrightarrow{\sf OP} \right|^{\ 2}\leqq 1\end{align*}}$ ．
よって、点Pは原点中心、半径1の球面およびその内部を動くので、
その体積は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{4}{3}\pi\ \ }\end{align*}}$ となる。
一見すると難しそうな形ですが、キチンと計算できるとキレイな式になります。
まぁ、最悪の場合は点Pの座標を(x，y)とおいて成分計算すればなんとかなるでしょう。
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- 2011/10/28(金) 23:57:00|
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第2問
aを正の実数とし、ｆ(x)=－a2x2+4ax とする。このとき、以下の問い
に答えよ。
(1) 0≦x≦3におけるｆ(x)の最大値を求めよ。
(2) 2点A(2，3)、B(3，3)を端点とする線分をLとする。曲線y=ｆ(x)と
線分L（端点を含む）が共有点をもつようなaの値の範囲を求め、数直
線上に図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式の右辺を平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=-a^2\left(x-\frac{2}{a}\right)^2+4\end{align*}}$
a＞0より、y=ｆ(x)のグラフは上に凸な放物線で、
軸 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{2}{a}>0\end{align*}}$
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3\leqq \frac{2}{a}\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\lt a\leqq \frac{2}{3}\end{align*}}$ のとき
右図1より
x=3で、ｆ(x)は最大－9a2+12a をとる。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{2}{a}<3\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}\lt a\end{align*}}$ のとき
右図2より
x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{a}\end{align*}}$ で、ｆ(x)は最大4をとる。
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\ (x)_{max}= \left\{ \begin{array}{ll}\sf -9a^2+12a & \left(\sf 0\lt a\leqq \frac{2}{3}\right) \\ 4 & (\sf \frac{2}{3}\lt a) \\\end{array} \right.}\end{align*}}$
まぁ普通に軸の位置で場合分けです。
(2)
線分Lの方程式はy=3 （2≦x≦3）なので、y=ｆ(x)との交点を求めると、
－a2x2+4ax=3
⇔ a2x2－4ax+3=0
⇔ (ax－1)(ax－3)=0 ････①
⇔ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{a}\ \ ,\ \frac{3}{a}\end{align*}}$
これが2≦x≦3の範囲にあればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ 2\leqq \frac{1}{a}\leqq 3\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\leqq \frac{3}{a}\leqq 3\end{align*}}$
これを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \frac{1}{3}\leqq a\leqq \frac{1}{2}\end{align*}}$ または $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\leqq a \leqq \frac{3}{2}\end{align*}}$
①の因数分解に気づかなかった場合は、以下のような少し面倒な答案になります。
(図は省略します。)
ｇ(x)=a2x2－4ax+3とおくと、ｇ(x)=0が2≦x≦3の範囲に
解をもてばよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue}\sf g\ (x)=a^2\left(x-\frac{2}{a}\right)^2-1}\end{align*}}$
より、軸の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} {\color{blue}\sf x=\frac{2}{a} }\end{align*}}$ ．
また、頂点のy座標＜0より、ｇ(x)=0は、異なる2つの実数解をもつ。
よって、
(ⅰ) 軸＜2のとき
ｇ(2)≦0 かつ ｇ(3)≧0
(ⅱ) 2≦軸≦3のとき
ｇ(2)≧0 または ｇ(3)≧0
(ⅲ) 軸＞3のとき
ｇ(2)≧0 かつ ｇ(3)≦0
であればよい。(以下略）
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- 2011/10/29(土) 23:57:00|
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第3問
以下の問いに答えよ。
(1) A、Bの2人がそれぞれ、「石」、「はさみ」、「紙」の3種類の
「手」から無作為に1つを選んで、双方の「手」によって勝敗
を決める。「石」は「はさみ」に勝ち「紙」に負け、「はさみ」は
「紙」に勝ち「石」に負け、「紙」は「石」に勝ち「はさみ」に負け、
同じ「手」どうしは引き分けとする。AがBに勝つ確率と引き分
ける確率を求めよ。
(2) 上の3種類の「手」の勝敗関係を保ちつつ、これらに加えて
4種類目の「手」として「水」を加える。「水」は「石」と「はさ
み」には勝つが、「紙」には負け、同じ「手」どうしは引き分け
とする。A、Bともに4種類の「手」から無作為に1つを選ぶと
するとき、Aが勝つ確率と引き分けの確率を求めよ。
(3) 上の4種類の「手」の勝敗関係を保ちつつ、これに加え、さら
に第5の「手」として「土」を加える。Bが5種類の「手」から無
作為に1つを選ぶとき、Aの勝つ確率がAの選ぶ「手」によら
ないようにするためには、「土」と「石」「はさみ」「紙」「水」と
の勝敗規則をそれぞれどのように定めればよいか。ただし、
同じ「手」どうしの場合、しかもその場合にのみ引き分けとす
る。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Aについての勝敗表は、下の通り。
ただし、◎はAの勝ち、×はAの負け、△は引き分けを表すものとする。
| B＼A | 石 | はさみ | 紙 |
| 石 | △ | × | ◎ |
| はさみ | ◎ | △ | × |
| 紙 | × | ◎ | △ |
よって、Aが勝つ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ で、引き分けの確率も $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
まぁ、普通のジャンケンですので、わざわざ表に整理しなくても分かるでしょうが、
(2)以降のことを考えて書いてみました。
(2)
Aについての勝敗表は、下の通り。◎、×、△の記号は(1)と同様。
| B＼A | 石 | はさみ | 紙 | 水 |
| 石 | △ | × | ◎ | ◎ |
| はさみ | ◎ | △ | × | ◎ |
| 紙 | × | ◎ | △ | × |
| 水 | × | × | ◎ | △ |
よって、Aが勝つ確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{8}\end{align*}}$ で、引き分けの確率は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$
ただ表に整理するだけです。
(3)
Aについての勝敗表は、下の通り。◎、×、△の記号は(1)と同様。
| B＼A | 石 | はさみ | 紙 | 水 | 土 |
| 石 | △ | × | ◎ | ◎ | |
| はさみ | ◎ | △ | × | ◎ | |
| 紙 | × | ◎ | △ | × | |
| 水 | × | × | ◎ | △ | |
| 土 | ア | イ | ウ | エ | △ |
どの「手」を出しても、2勝2敗1引き分けになればよいので、
上表のアとイのマスは◎、ウとエのマスは×である。
よって、「土」の勝敗関係は、
「石」「はさみ」には負けて、「紙」「水」には勝つように決めればよい。
問題文にある「Aの勝つ確率がAの選ぶ「手」によらないようにする」
の意味わかりますか？？
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- 2011/10/30(日) 23:57:00|
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