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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014東北大 理系数学1



第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf x=t+\frac{1}{3t}\ \ \ \ \left(0\lt t\leqq\frac{1}{2} \right)\end{align*}}$ とする。

 (1) xのとり得る値の範囲を求めよ。

 (2) xの方程式x2+ax+b=0が(1)の範囲に少なくとも1つの解をもつ
    ような点(a,b)の存在範囲を図示せよ。




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2014東北大 理系数学2



第2問

  下図のような平行六面体OABC-DEFGがxyz空間内にあり、O(0,0,0)、
  A(2,0,0)、C(0,3,0)、D(-1,0,$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt6\end{align*}}$ )とする。辺ABの中点をMとし、
  辺DG上の点NをMN=4かつDN<GNを満たすように定める。

 (1) Nの座標を求めよ。

 (2) 3点E、M、Nを通る平面とy軸との交点Pを求めよ。

 (3) 3点E、M、Nを通る平面による平行六面体OABC-DEFGの切り口の
    面積を求めよ。

            図04




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2014東北大 理系数学3



第3問

  1、2、3、4、5のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ、合計10個ある。

 (1) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて2個の玉を取り出す。書かれている
    2つの数字の積が10となる確率を求めよ。

 (2) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて4個の玉を取り出す。書かれている
    4つの数字の積が100となる確率を求めよ。

 (3) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて6個の玉を取り出す。1個目から3個
    目の玉に書かれている3つの数字の積と、4個目から6個目の玉に書かれて
    いる3つの数字の積と等しい確率を求めよ。





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2014東北大 理系数学4



第4問

  不等式1≦x2+y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする。
  Pを円x2+y2=1上の点、QとRを円x2+y2=4上の異なる2点とし、
  三角形PQRは領域Dに含まれているとする。a、bを実数とし、
  行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf -b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の表す1次変換によりPはP’、QはQ’、RはR’に
  移されるとする。このとき、三角形P’Q’R’が領域Dに含まれるための
  a、bの必要十分条件を求めよ。ただし、三角形は内部も含めて考える
  ものとする。




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2014東北大 理系数学5



第5問

  整数nに対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left((2n+1)x \right)}{\sin x}dx\end{align*}}$
  とする。

 (1) I0を求めよ。

 (2) nを正の整数とするとき、In-In-1を求めよ。

 (3) I5を求めよ。




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2014東北大 理系数学6



第6問

  以下の問いに答えよ。

 (1) nを自然数、aを正の定数として、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(n+1\right)\left\{\log\left(a+x\right)-\log\left(n+1\right) \right\}-n\left(\log a-\log n\right)-\log x\end{align*}}$
    とおく。x>0における関数f(x)の極値を求めよ。ただし、対数は
    自然対数とする。

 (2) nが2以上の自然数のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$





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