第１問
$\small\sf{\begin{align*} \sf x=t+\frac{1}{3t}\ \ \ \ \left(0\lt t\leqq\frac{1}{2} \right)\end{align*}}$ とする。
(１) xのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) xの方程式x2＋ax＋b＝0が(１)の範囲に少なくとも1つの解をもつ
ような点(a，b)の存在範囲を図示せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
与式をtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx}{dt}=1-\frac{1}{3t^2}=\frac{3t^2-1}{3t^2}<0\ \ \ \left(\because 0\lt t\leqq\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
となるので、xは単調に減少する。
t＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{7}{6}\end{align*}}$
であり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\ x=\lim_{t\rightarrow +0}\left(t+ \frac{1}{3t}\right)=+\infty\end{align*}}$
なので、xのとり得る値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{7}{6}\leqq x}\end{align*}}$
である。
(２)
方程式x2＋ax＋b＝0 ……① の左辺をf(x)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(x+\frac{a}{2} \right)^2+b-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
(ⅰ) ①が(１)の範囲に2つの実数解（重解も含む）をもつ場合
y＝f(x)のグラフが右図のようになればよい。
・①の判別式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=a^2-4b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq \frac{1}{4}a^2\end{align*}}$
・y＝f(x)のグラフの軸
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{a}{2}\geqq \frac{7}{6}\ \ \Leftrightarrow\ \ a\leqq -\frac{7}{3}\end{align*}}$
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{7}{6}\right)=\frac{49}{36}+\frac{7}{6}a+b\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\geqq -\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
(ⅱ) ①が(１)の範囲にただ1つの実数解をもつ場合
y＝f(x)のグラフが右図のようになればよい。
・ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ \left(\frac{7}{6}\right)\leqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ b\leqq -\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
ここで放物線Cおよび直線Lを
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf C:\ b=\frac{1}{4}a^2\ \ ,\ \ L:\ b=-\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\end{align*}}$
とおくと、これら2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}a^2=-\frac{7}{6}a-\frac{49}{36}\ \ \Leftrightarrow\ \ a=-\frac{7}{3}\end{align*}}$
となるので、CとLは接する。
よって、題意を満たすような点(a，b)の存在範囲を図示すると、
下図のようになる。（境界線上の点も含む）
特に問題ないと思います。CとLが接するのも有名な話ですよね。
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第３問
1、2、3、4、5のそれぞれの数字が書かれた玉が2個ずつ、合計10個ある。
(１) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて2個の玉を取り出す。書かれている
2つの数字の積が10となる確率を求めよ。
(２) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて4個の玉を取り出す。書かれている
4つの数字の積が100となる確率を求めよ。
(３) 10個の玉を袋に入れ、よくかき混ぜて6個の玉を取り出す。1個目から3個
目の玉に書かれている3つの数字の積と、4個目から6個目の玉に書かれて
いる3つの数字の積と等しい確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
2個の玉を取り出す組合わせは、10C2通りある。
2数の積が10になるのは、2×5のみなので、
2の玉と5の玉を1つずつ取り出せばよい。
よって、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\times _2C_1}{_{10}C_2}=\underline{\ \frac{4}{45}}\end{align*}}$
(２)
4個の玉を取り出す組合わせは、10C4通りある。
4数の積が100になるのは、2×2×5×5 または 1×4×5×5 の
場合なので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_2\times _2C_2+_2C_1\times _2C_1\times _2C_2}{_{10}C_4}=\underline{\ \frac{1}{42}}\end{align*}}$
(３)
まず、1～3個目の玉の組み合わせは、10C3通り、
4～6個目の玉の組み合わせは7C3通りある。
1～3個目の数の積と4～6個目の数の積が等しくなるのは、
次の5つの場合が考えられる。
(ⅰ)1～3個目の数の組み合わせと4～6個目の数の組合わせが
一致する場合、すなわち、□×△×○＝□×△×○ となる場合。
3数□、△、○の選び方は5C3通りあり、それぞれ2つずつあるので
5C3×23＝80通り
(ⅱ)1～3個目･･･2×2×3 4～6個目･･･1×4×3
このような組合わせは、(2C2×2C1)×(2C1×2C1×1)＝8通り
(ⅲ)1～3個目･･･2×2×5 4～6個目･･･1×4×5
(ⅳ)1～3個目･･･1×4×3 4～6個目･･･2×2×3
(ⅴ)1～3個目･･･1×4×5 4～6個目･･･2×2×5
(ⅲ)～(ⅴ)も(ⅱ)と同様にそれぞれ8通りずつ
以上より、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{80+8\times 4}{_{10}C_3\times _7C_3}=\underline{\ \frac{2}{75}}\end{align*}}$
(３)は少し難しいかもしれませんね。
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第４問
不等式1≦x2＋y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする。
Pを円x2＋y2＝1上の点、QとRを円x2＋y2＝4上の異なる2点とし、
三角形PQRは領域Dに含まれているとする。a、bを実数とし、
行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf -b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$ の表す1次変換によりPはP’、QはQ’、RはR’に
移されるとする。このとき、三角形P’Q’R’が領域Dに含まれるための
a、bの必要十分条件を求めよ。ただし、三角形は内部も含めて考える
ものとする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
a＝b＝0のときは、P’、Q’、R’すべてが原点Oと一致するので
明らかに不適である。以下は、それ以外の場合を考える。
正の数rを 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{b}{r}\ \ ,\ \ \sin\theta=\frac{b}{r}\end{align*}}$
となるような角$\scriptsize\sf{\theta}$ が存在する。
よって、行列Aは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\sqrt{a^2+b^2}\begin{pmatrix} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}&\sf -\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sf \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} & \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta&\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
と変形できるので、この行列は、原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転した後に、
原点中心にr倍に拡大する変換を表す。
よって、OP＝1、 OQ＝OR＝2 より、
OP’＝rOP＝r、 OQ’＝rOQ＝2r
となり、P’、Q’が領域D内に含まれるためには、
1≦OP’≦2 かつ 1≦OQ’≦2
⇔ 1≦r≦2 かつ 1≦2r≦2
⇔ 1≦r≦2 かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ≦r≦1
であればよく、これらを同時に満たすのは、r＝1 のときである。
逆に、r＝1のとき、行列Aは原点中心に$\scriptsize\sf{\theta}$ だけ回転させる変換を
表すので、△PQRが領域Dに含まれるとき、△P’Q’R’も領域Dに
含まれることにある。
よって、題意を満たすようなa、bの条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{a^2+b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a^2+b^2=1 }\end{align*}}$
である。
行列の形をみれば、回転＋拡大を表すことに気づきますよね。
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第５問
整数nに対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf I_n=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left((2n+1)x \right)}{\sin x}dx\end{align*}}$
とする。
(１) I0を求めよ。
(２) nを正の整数とするとき、In－In-1を求めよ。
(３) I5を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_0=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos x}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\left(\sin x\right)'}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log |\sin x|\bigg]_{\pi/4}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log 1-\log\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\log 2}\end{align*}}$
(２)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_n-I_{n-1}=\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos\left((2n+1)x \right)-\cos\left((2n-1)x \right)}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{-2\sin(2nx)\ \sin x}{\sin x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin(2nx)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-2\left[-\frac{1}{2n}\cos(2nx)\right]_{\pi/4}^{\pi/2} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{n}\left\{\cos(n\pi)-\cos\frac{n\pi}{2}\right\}} \end{align*}}$
(３)
(２)で得た式にn＝1、2、3、4、5を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_1-I_0=\cos\pi-\cos\frac{\pi}{2}=-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_2-I_1=\frac{1}{2}\left(\cos2\pi-\cos\pi\right)=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_3-I_2=\frac{1}{3}\left(\cos 3\pi-\cos\frac{3\pi}{2}\right)=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_4-I_3=\frac{1}{4}\left(\cos 4\pi-\cos 2\pi\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_5-I_4=\frac{1}{5}\left(\cos5\pi-\cos\frac{5\pi}{2}\right)=-\frac{1}{5}\end{align*}}$
となり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf I_5-I_0=-1+1-\frac{1}{3}+0-\frac{1}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ I_5=I_0-\frac{8}{15}=\underline{\ \frac{1}{2}\log 2-\frac{8}{15}}\end{align*}}$
これはそのまま計算するだけです。
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第６問
以下の問いに答えよ。
(１) nを自然数、aを正の定数として、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(n+1\right)\left\{\log\left(a+x\right)-\log\left(n+1\right) \right\}-n\left(\log a-\log n\right)-\log x\end{align*}}$
とおく。x＞0における関数f(x)の極値を求めよ。ただし、対数は
自然対数とする。
(２) nが2以上の自然数のとき、次の不等式が成り立つことを示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{n+1}{a+x}-\frac{1}{x}=\frac{nx-a}{\left(a+x\right)x}\end{align*}}$
となるので、x＞0における増減は次のようになる。
よって、極小値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{a}{n}\right)=\left(n+1\right)\left\{\log\left(a+\frac{a}{n}\right)-\log\left(n+1\right) \right\}-n\left(\log a-\log n\right)-\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n+1\right)\log\frac{an+a}{n(n+1)}-n\log\frac{a}{n}-\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(n+1\right)\log\frac{a}{n}-(n+1)\log\frac{a}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0}\end{align*}}$
である。
(２)
(１)より、x＞0に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(n+1\right)\log\frac{a+x}{n+1}-n\log\frac{a}{n}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{a+x}{n+1}\geqq \frac{1}{n+1}\log\left(\frac{a}{n}\right)^nx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log\frac{a+x}{n+1}\geqq \log\left\{\left(\frac{a}{n}\right)^nx\right\}^{\frac{1}{n+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a+x}{n+1}\geqq \left\{\left(\frac{a}{n}\right)^nx\right\}^{\frac{1}{n+1}}\ \ \ \ (\because e>1)\end{align*}}$ ……(*)
n≧2の任意の自然数に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$ ……(A)
が成り立つことを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n＝2のとき
左辺－右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^2\frac{k+1}{k}-\left(2+1\right)^{\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1}+\frac{3}{2}\right)-\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{7}{4}-\sqrt3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\frac{49}{16}}-\sqrt{\frac{48}{16}}>0\end{align*}}$
となるので、(A)は成り立つ。
(ⅱ)n＝Nのとき(A)が成立すると仮定すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\frac{k+1}{k}>\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sum_{k=1}^N\frac{k+1}{k}>N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\end{align*}}$ ……①
n＝N＋1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N+1}\sum_{k=1}^{N+1}\frac{k+1}{k}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{N+1}\left\{\left(\sum_{k=1}^{N}\frac{k+1}{k}\right)+\frac{N+2}{N+1}\right\}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\frac{1}{N+1}\left\{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}+\frac{N+2}{N+1}\right\}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \geqq\left[\left\{\frac{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}}{N}\right\}^N\cdot\frac{N+2}{N+1}\right]^{\frac{1}{N+1}}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$ ←(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}-\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{N+1}\sum_{k=1}^{N+1}\frac{k+1}{k}>\left(N+2\right)^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
となるので、n＝N＋1のときも(A)は成り立つ。
以上より、n≧2の任意の自然数に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{k+1}{k}>\left(n+1\right)^{\frac{1}{n}}\end{align*}}$
が成り立つことが示された。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
(*)に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue} a=N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}\ \ ,\ \ x=\frac{N+2}{N+1}\ (>0)\ \ ,\ \ n=N}\end{align*}}$
を代入して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf\frac{1}{N+1}\left\{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}+\frac{N+2}{N+1}\right\}\geqq\left[\left\{\frac{N\left(N+1\right)^{\frac{1}{N}}}{N}\right\}^N\cdot\frac{N+2}{N+1}\right]^{\frac{1}{N+1}}\end{align*}}$
となることを使っていますが、この問題は難しいでしょうねぇ・・・
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