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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014北海道大 文系数学1



第1問

  2つの放物線
         $\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=-x^2+\frac{3}{2}\ \ ,\ \ C_2:\ y=\left(x-a\right)^2+a\ \ \ (a>0)\end{align*}}$
  がある。点P1$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(p\ ,\ -p^2+ \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$ におけるC1の接線をL1とする。

 (1) C1とC2が共有点を持たないためにaに関する条件を求めよ。

 (2) L1と平行なC2の接線L2の方程式と、L2とC2の接点P2の座標を
    a、pを用いて表せ。

 (3) C1とC2が共有点を持たないとする。(2)で求めたP2とP1を結ぶ
    線分がL1と垂直になるとき、pを求めよ。




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  1. 2018/11/02(金) 01:06:00|
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2014北海道大 文系数学2



第2問

  次の条件で定められる数列{an}を考える。
      a1=1、 a2=1、 an+2=an+1+3an  (n=1,2,3,…)

 (1) 以下が成立するように、実数s、t(s>t)を定めよ。
      an+2-san+1=t(an+1-san)
      an+2-tan+1=s(an+1-tan)  (n=1,2,3,…)

 (2) 一般項anを求めよ。




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2014北海道大 文系数学3



第3問

  △ABCを線分BCを斜辺とする直角二等辺三角形とし、その外接円の
  中心をOとする。正の実数pに対して、BCを(p+1):pに外分する点をD
  とし、線分ADと△ABCの外接円との交点でAと異なる点をXとする。

 (1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ p\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ , p\end{align*}}$ を用いて表せ。




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2014北海道大 文系数学4



第4問

  図のような格子状の道路がある。S地点を出発して、東または北に
  進んでG地点に到達する経路を考える。ただし太い実線で描かれた
  区間aを通り抜けるのに1分、点線で描かれた区間bを通り抜けるの
  に8分、それ以外の各区間を通り抜けるのに2分かかるものとする。
  たとえば、図の矢印に沿った経路ではSを出発しGに到達するまでに
  16分かかる。
            図01

 (1) aを通り抜ける経路は何通りあるか。

 (2) aを通り抜けずにbを通り抜ける経路は何通りあるか。

 (3) すべての経路から任意に1つ選んだとき、S地点からG地点に到達
    するのにかかる時間の期待値を求めよ。




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