第１問
2つの放物線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=-x^2+\frac{3}{2}\ \ ,\ \ C_2:\ y=\left(x-a\right)^2+a\ \ \ (a>0)\end{align*}}$
がある。点P1$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(p\ ,\ -p^2+ \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$ におけるC1の接線をL1とする。
(１) C1とC2が共有点を持たないためにaに関する条件を求めよ。
(２) L1と平行なC2の接線L2の方程式と、L2とC2の接点P2の座標を
a、pを用いて表せ。
(３) C1とC2が共有点を持たないとする。(２)で求めたP2とP1を結ぶ
線分がL1と垂直になるとき、pを求めよ。
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【解答】
(１)
C1、C2の2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -x^2+\frac{3}{2}=\left(x-a\right)^2+a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-4ax+2a^2+2a+3=0\end{align*}}$
となり、これが実数解を持たなければよい。
判別式Dを考えると、
D/4＝(2a)2－4(2a2＋2a－3)＞0
⇔ a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)＞0
であればよく、a＞0なので、求める条件は、
a＞1
である。
(２)
C1について、y’＝－2xなので、点P1における接線L1の傾きは
－2pである。
一方、C2について、y’＝2(x－a)なので、接点P2を(q，(q－a)2＋a)
とおくと、接線L2の方程式は、
L2：y－{(q－a)2＋a}＝2(q－a)(x－q)
となる。
ここで、L1//L2より
－2p＝2(q－a) ⇔ q＝a－p
となるので、接点P2の座標は、(a－p，p2＋a)となる。
また、接線L2の方程式は、
y－(p2＋a)＝－2p(x－a＋p)
⇔ y＝－2px－p2＋2ap＋a
となる。
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_1P_2}=\left(a-2p\ ,\ 2p^2+a- \frac{3}{2}\right)\end{align*}}$
であり、L1の傾きは－2pなので、L1の方向ベクトルは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf u_1}=\left(1\ ,\ -2p \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
P1P2⊥L1より、内積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf P_1P_2}\cdot \overrightarrow{\sf u_1}=a-2p-2p\left(2p^2+a- \frac{3}{2}\right)=0\end{align*}}$
⇔ 4p3＋(2a－1)p－a＝0
⇔ (2p－1)(2p2＋p＋a)＝0 ……①
となり、(１)よりa＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2p^2+p+a=2\left(p+\frac{1}{4}\right)^2+a-\frac{1}{8}>0\end{align*}}$ .
よって、①を満たすのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=\frac{1}{2}}\end{align*}}$
のときである。
(３)は、傾きの積＝－1 でやろうとすると、座標軸に平行な場合と
平行でない場合を分けて考える必要があります。
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第２問
次の条件で定められる数列{an}を考える。
a1＝1、 a2＝1、 an+2＝an+1＋3an （n＝1，2，3，…）
(１) 以下が成立するように、実数s、t（s＞t）を定めよ。
an+2－san+1＝t(an+1－san)
an+2－tan+1＝s(an+1－tan) （n＝1，2，3，…）
(２) 一般項anを求めよ。
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【解答】
a2＝1、 an+2＝an+1＋3an ……①
(１)
an+2－san+1＝t(an+1－san) ……②
an+2－tan+1＝s(an+1－tan) ……③
②、③ともに
an+2＝(s＋t)an+1－stan
と変形できるので、①と係数を比較すると、
s＋t＝1 かつ st＝－3 ……④
である。
解と係数の関係より、s、tはxについての二次方程式
x2－x－3＝0
の2解であり、s＞tなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ s=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\ \ ,\ \ t=\frac{1-\sqrt{13}}{2}}\end{align*}}$
(２)
②より、数列{an+1－san}は、公比tの等比数列となるので、
an+1－san＝(a2－sa1)tn-1＝(1－s)tn-1 ……⑤
同様にして、③より
an+1－tan＝(1－t)sn-1 ……⑥
となるので、⑥－⑤より、
(s－t)an＝(1－t)sn-1－(1－s)tn-1
⇔ (s－t)an＝sn－tn ←④より1－t＝s、1－s＝t
を得る。
これに(１)で求めたs、tを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)\ a_n=\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a_n=\frac{1}{\sqrt{13}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{13}}{2} \right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{13}}{2} \right)^{n}\right\}}\end{align*}}$
隣接3項間の漸化式です。二次方程式の特性方程式を考えるという解法を
知っている人がほとんどでしょうが、その仕組みをちゃんと理解している人は
意外と少ないのでは？
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第３問
△ABCを線分BCを斜辺とする直角二等辺三角形とし、その外接円の
中心をOとする。正の実数pに対して、BCを(p＋1)：pに外分する点をD
とし、線分ADと△ABCの外接円との交点でAと異なる点をXとする。
(１) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\ ,\ p\end{align*}}$ を用いて表せ。
(２) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\ , p\end{align*}}$ を用いて表せ。
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【解答】
(１)
△ABCの外接円の半径をr（＞0）とすると、
BC＝2OB＝2r
BD＝(p＋1)BC＝(2p＋2)r
OD＝BD－OB＝(2p＋1)r
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=\frac{(2p+1)r}{r}\overrightarrow{\sf OC}=\underline{\ \left(2p+1\right)\overrightarrow{\sf OC}}\end{align*}}$
(２)
AO⊥BC、AO＝rより、△OADで三平方の定理を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf AD=\sqrt{r^2+\left\{(2p+1)r \right\}^2}=\sqrt{4p^2+4p+2}\ r\end{align*}}$
方べきの定理より、DC・DB＝DX・DAなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2pr\cdot \left(2p+2\right)r=DX\cdot \sqrt{4p^2+4p+2}\ r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ DX=\frac{(4p^2+4p)r}{\sqrt{4p^2+4p+2}}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf DX:DA=\frac{(4p^2+4p)r}{\sqrt{4p^2+4p+2}}:\sqrt{4p^2+4p+2}\ r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4p^2+4p\right) r:\left(4p^2+4p+2\right)r\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2p^2+2p\right) :\left(2p^2+2p+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ DX:AX=\left(2p^2+2p\right) :1\end{align*}}$ ．
よって、これと(１)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OX}=\frac{\left(2p^2+2p\right)\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OD}}{\left(2p^2+2p\right)+1}=\underline{\ \frac{\left(2p^2+2p \right)\overrightarrow{\sf OA}+\left(2p+1 \right)\overrightarrow{\sf OC}}{2p^2+2p+1}}\end{align*}}$ ．
いろいろな考え方があると思いますが、数式の入力が面倒なので（笑）、
図形的に処理しました。
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- 2018/11/02(金) 01:08:00|
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