第１問
f(x)＝x4－4x3－8x2とする。
(１) 関数f(x)の極大値と極小値、およびそのときのxを求めよ。
(２) 曲線y＝f(x)に2点(a，f(a))と(b，f(b))（a＜b）で接する直線の
方程式を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
f(x)の導関数は
f’(x) ＝4x3－12x2－16x＝4x(x＋1)(x－4)
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、f(x)は、
x＝0で極大値0
x＝－1で極小値－3
x＝4で極小値－128
をとる。
(２)
求める接線をLとおくと、Lはy軸と平行になることはないので、
y＝mx＋nと表せる。
これとy＝f(x)を連立させると、
x4－4x3－8x2＝mx＋n
⇔ x4－4x3－8x2－mx－n＝0 ……①
また、Lとy＝f(x)の2つの接点のx座標がx＝a，bなので、
①は2つの重解a、bをもち、①の右辺は (x－a)2(x－b)2
と因数分解される。(x－a)2(x－b)2を展開すると
x4－2(a＋b)x3＋(a2＋b2＋4ab)x2－2ab(a＋b)x＋a2b2
となるので、①の左辺と係数を比較すると、
－2(a＋b)＝－4
a2＋b2＋4ab＝(a＋b)2＋2ab＝－8
－2ab(a＋b)＝－m
a2b2＝－n
となり、これらを連立させて解くと、
p＋q＝2、 pq＝－6、 m＝－24、 n＝－36
よって、接線Lの方程式は、
y＝－24x－36
となる。
よくある問題ですね。今年の立命館大でも出題されています。
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1282.html
上の答案は、ほとんどそのままコピペですｗｗｗ
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第２問
四面体OABCは、OA＝OB＝OC＝1、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°
をみたす。辺OA上の点Pと辺OB上の点QをOP＝p、OQ＝q、pq＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ と
なるようにとる。p＋q＝tとし、△CPQの面積をSとする。
(１) tのとり得る値の範囲を求めよ。
(２) Sをtで表せ。
(３) Sの最小値、およびそのときのp、qを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
P、Qはそれぞれ辺OA、OB上の点なので、
0≦p≦1、 0≦q≦1 ……①
であり、題意より
p＋q＝t、 pq＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ ……②
なので、p、qはXについての方程式
2X2－2tX＋1＝0 ……③
の2解である。
①より、③が0≦X≦1の範囲に2つの実数解を持てばよい。
・③の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=t^2-2\geqq 0\ \ \Leftrightarrow\ \ t\leqq -\sqrt2\ ,\ \sqrt2\leqq t\end{align*}}$
・③の左辺をf(X)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (X)=2\left(X-\frac{t}{2}\right)^2+1-\frac{t^2}{2}\end{align*}}$
なので、軸の位置を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\leqq \frac{t}{2}\leqq 1\ \ \Leftrightarrow\ \ 0\leqq t\leqq 2\end{align*}}$
・f(1)＝3－2t≧0 ⇔ t≦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$
・f(0)＝1≧0は常に成り立つ。
これらを同時に満たせばよいので、求めるtの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2\leqq t\leqq \frac{3}{2}}\end{align*}}$
である。
(２)
xyz空間内に4点
O(0，0，0)、A(1，0，0)、B(0，1，0)、C(0，0，1)
をとると、与えられた条件
OA＝OB＝OC＝1、∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°
を満たすことになる。
さらに、P(p，0，0)、Q(0，q，0)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf CP}=\left(p\ ,\ 0\ ,\ -1 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf CQ}=\left(0\ ,\ q\ ,\ -1 \right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf CP}|^2|\overrightarrow{\sf CQ}|^2-\left(\overrightarrow{\sf CP}\cdot\overrightarrow{\sf CQ}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left(p^2+1 \right)\left(q^2+1 \right)-1^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{p^2q^2+p^2+q^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{(pq)^2+(p+q)^2-2pq}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sqrt{t^2-\frac{3}{4}}}\end{align*}}$ ←②より
(３)
(１)で求めた範囲において、Ｓは単調に増加するので、
t＝$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ のときSは最小となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{2}\sqrt{\left(\sqrt2\right)^2-\frac{3}{4}}=\underline{\ \frac{1}{4}\sqrt5}\end{align*}}$
である。
このとき③は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2X^2-2\sqrt2\ X+1=\left(\sqrt2\ X-1\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ X=\frac{1}{\sqrt2}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ p=q=\frac{1}{\sqrt2}}\end{align*}}$
である。
(１)は、②からqを消去して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}t=p+\frac{1}{2p}\ \ \ \ \left(\frac{1}{2}\leqq p\leqq 1\right)}\end{align*}}$
の増減を調べる感じでもOKでしょう。
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第３問
逆行列をもつ2次の正方行列A1、A2、A3、…が、関係式
An+1An＝An＋2E （n＝1，2，3，…）
をみたすとする。さらにA1＋Eは逆行列をもつとする。ここでEは
2次の単位行列とする。
(１) すべての自然数nに対してAn＋Eは逆行列をもち、
(An+1＋E)-1＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ An(An＋E)-1
が成立することを示せ。
(２) Bn＝(2E－An)(An＋E)-1により、行列Bnを定める。Bn+1とBn
との間に成立する関係式を求め、BnをB1とnを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n+1}A_n=A_n+2E\end{align*}}$ ……①
(１)
与式の両辺にAnを加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_{n+1}A_n+A_n=2A_n+2E\ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{n+1}+E\right)A_n=2\left(A_n+E\right)\end{align*}}$ ……②
と変形できる。
(ⅰ)n＝1のとき、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)A_1=2\left(A_1+E\right)\end{align*}}$ ……③
となり、仮定より、A1＋2Eの逆行列が存在するので、
③の両辺に右からかけると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)A_1\left(A_1+E\right)^{-1}=2\left(A_1+E\right)\left(A_1+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{2}+E\right)\cdot\frac{1}{2}A_1\left(A_1+E\right)^{-1}=E\end{align*}}$
となるので、A2＋Eの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{2}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_1\left(A_1+E\right)^{-1}\end{align*}}$
である。
(ⅱ)n＝kのとき、Ak＋Eの逆行列が存在すると仮定する。
まず、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)A_k=2\left(A_k+E\right)\end{align*}}$ ……④
となり、④の両辺に右からAk＋Eの逆行列をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)A_k\left(A_k+E\right)^{-1}=2\left(A_k+E\right)\left(A_k+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(A_{k+1}+E\right)\cdot\frac{1}{2}A_k\left(A_k+E\right)^{-1}=E\end{align*}}$
となるので、Ak+1＋Eの逆行列が存在し、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{k+1}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_k\left(A_k+E\right)^{-1}\end{align*}}$
を満たす。
以上より、すべての自然数nに対してAn＋Eは逆行列をもち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(A_{n+1}+E\right)^{-1}=\frac{1}{2}A_n\left(A_n+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ……⑤
が成立する。
(２)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_n=\left(2E-A_n\right)\left(A_n+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ……⑥
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_{n+1}=\left(2E-A_{n+1}\right)\left(A_{n+1}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(2E-A_{n+1}\right)\cdot\frac{1}{2}A_n\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ←⑤より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(A_{n+1}A_n-2A_n\right)\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left\{\left(A_n+2E\right)-2A_n\right\}\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{2}\left(2E-A_n\right)\left(A_{n}+E\right)^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{1}{2}\ B_n}\end{align*}}$ ←⑥より
よって、n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_n=-\frac{1}{2}B_{n-1}=\left(-\frac{1}{2} \right)^2B_{n-2}=\left(-\frac{1}{2} \right)^3B_{n-3}=\ldots\ldots=\underline{\ \left(-\frac{1}{2} \right)^{n-1}B_{1}}\end{align*}}$
これは、n＝1のときも成り立つ。
逆行列の定義は大丈夫ですか？
AB＝E と変形できれば、BはAの逆行列です。
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第５問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}|\sin \theta|\ d\theta\end{align*}}$ とおく。
(１) f’(x)を求めよ。
(２) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ におけるf(x)の最大値と最小値、およびそのときの
xを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
関数g($\scriptsize\sf{\theta}$ )＝|sin$\scriptsize\sf{\theta}$ |の原始関数をG($\scriptsize\sf{\theta}$ )とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}g\ (\theta)\ d\theta=\bigg[G\ (\theta)\bigg]_x^{x+\frac{\pi}{3}}=G\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-G(x)\end{align*}}$
なので、両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=G\ '\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-G\ '(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =g\left( x+\frac{\pi}{3}\right)-g(x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left|\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right|-\left|\sin x\right|}\end{align*}}$
(２)
(ⅰ) 0≦x≦$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ のとき
積分区間内で常にsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≧0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}\sin \theta\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\cos\theta\bigg]_x^{x+\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\sin\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ ←和・積の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
これらより、この範囲におけるf(x)の増減は次のようになる。
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\pi}{3}\end{align*}}$ ≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
x≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≧0
$\scriptsize\sf{\pi}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦x＋$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ の範囲でsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦0
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_x^{\pi}\sin \theta\ d\theta+\int_{\pi}{x+\frac{\pi}{3}}\left(-\sin \theta\right)\ d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[-\cos\theta\bigg]_x^{\pi}+\bigg[\cos\theta\bigg]_{\pi}^{x+\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)+\cos x+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\cos\frac{\pi}{6}+2\end{align*}}$ ←和・積の公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt3\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-\sqrt3\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\end{align*}}$
これらより、この範囲におけるf(x)の増減は次のようになる。
(ⅰ)、(ⅱ)より、0≦x≦$\scriptsize\sf{\pi}$ においてf(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$ のとき最大値1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{5\pi}{6}\end{align*}}$ のとき最小値2－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$
をとる。
和積の公式を用いるとキレイですが、覚えてますか？
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