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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014北海道大 理系数学1




第1問

  f(x)=x4-4x3-8x2とする。

 (1) 関数f(x)の極大値と極小値、およびそのときのxを求めよ。

 (2) 曲線y=f(x)に2点(a,f(a))と(b,f(b))(a<b)で接する直線の
    方程式を求めよ。



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2014北海道大 理系数学2



第2問

  四面体OABCは、OA=OB=OC=1、∠AOB=∠BOC=∠COA=90°
  をみたす。辺OA上の点Pと辺OB上の点QをOP=p、OQ=q、pq=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ と
  なるようにとる。p+q=tとし、△CPQの面積をSとする。

 (1) tのとり得る値の範囲を求めよ。

 (2) Sをtで表せ。

 (3) Sの最小値、およびそのときのp、qを求めよ。


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2014北海道大 理系数学3



第3問

  逆行列をもつ2次の正方行列A1、A2、A3、…が、関係式
      An+1An=An+2E  (n=1,2,3,…)
  をみたすとする。さらにA1+Eは逆行列をもつとする。ここでEは
  2次の単位行列とする。

 (1) すべての自然数nに対してAn+Eは逆行列をもち、
        (An+1+E)-1=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ An(An+E)-1
    が成立することを示せ。

 (2) Bn=(2E-An)(An+E)-1により、行列Bnを定める。Bn+1とBn
    との間に成立する関係式を求め、BnをB1とnを用いて表せ。


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2014北海道大 理系数学4



第4問

  図のような格子状の道路がある。S地点を出発して、東または北に
  進んでG地点に到達する経路を考える。ただし太い実線で描かれた
  区間aを通り抜けるのに1分、点線で描かれた区間bを通り抜けるの
  に8分、それ以外の各区間を通り抜けるのに2分かかるものとする。
  たとえば、図の矢印に沿った経路ではSを出発しGに到達するまでに
  16分かかる。
            図01

 (1) aを通り抜ける経路は何通りあるか。

 (2) aを通り抜けずにbを通り抜ける経路は何通りあるか。

 (3) すべての経路から任意に1つ選んだとき、S地点からG地点に到達
    するのにかかる時間の期待値を求めよ。




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2014北海道大 理系数学5



第5問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\int_x^{x+\frac{\pi}{3}}|\sin \theta|\ d\theta\end{align*}}$ とおく。

 (1) f’(x)を求めよ。

 (2) $\small\sf{0\leqq x\leqq\pi}$ におけるf(x)の最大値と最小値、およびそのときの
    xを求めよ。



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