解答速報です
第1問
2次方程式$\small{\sf x^2-x-1=0}$ の2つの解を$\small\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ とし、
$\small{\sf c_n=\alpha^n+\beta^n\ \ \ (n=1,2,3,\cdots )}$
とおく。以下の問いに答えよ。
(1) nを2以上の自然数とするとき、
$\small{\sf c_{n+1}=c_+c_{n-1}}$
となることを示せ。
(2) 曲線$\small{\sf y=c_1x^3-c_3x^2-c_2x+c_4}$ の極値を求めよ。
(3) 曲線$\small{\sf y=c_1x^2-c_3x+c_2}$ と、x軸で囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\sf c_n=\alpha^n+\beta^n}$ ……①
(1)
解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\alpha+\beta=1\ \ ,\ \ \alpha\beta=-1}$ ……②
①より、
$\scriptsize\sf{\sf c_{n+1}=\alpha^{n+1}+\beta^{n+1}}$
$\scriptsize\sf{\sf =(\alpha^n+\beta^n)(\alpha+\beta)-\alpha^n\beta-\alpha\beta^n}$
$\scriptsize\sf{\sf =(\alpha^n+\beta^n)(\alpha+\beta)-\alpha\beta(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})}$
$\scriptsize\sf{\sf =(\alpha^n+\beta^n)+(\alpha^{n-1}+\beta^{n-1})}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\sf =c_n+c_{n-1}}$ ←①より
以上より、題意は示された。
(2)
①、②より
$\scriptsize\sf{\sf c_1=\alpha+\beta=1}$
$\scriptsize\sf{\sf c_2=\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta=3}$
(1)より
$\scriptsize\sf{\sf c_3=c_2+c_1=4}$
$\scriptsize\sf{\sf c_4=c_3+c_2=7}$
となるので、与えられた曲線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\sf y=x^3-4x^2-3x+7}$
となる。導関数は、
$\scriptsize\sf{\sf y'=3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)}$
なので、増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{1}{3}\end{align*}}$ のとき、極大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{203}{27}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\sf x=3}$ のとき、極小値$\scriptsize\sf{\sf -11}$
をとる。
(3)
与えられた曲線の方程式は
$\scriptsize\sf{\sf y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)}$
なので、x軸との位置関係は右図のようになる。
よって、囲まれる部分の面積は、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\int_1^3\left(x^2-4+3\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\int_1^3\left(x-1 \right)\left(x-3 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{6}\times\left( 3-1\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{4}{3}}\end{align*}}$
(2)の曲線は
$\scriptsize\sf{\sf y=c_1x^3-c_2x^2-c_3x+c_4}$
じゃないので気をつけましょう（笑）
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- 2014/02/27(木) 23:54:00|
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第2問
m、n（m＜n）を自然数とし、
$\small{\sf a=n^2-m^2\ ,\ \ b=2mn\ ,\ \ c=n^2+m^2}$
とおく。三辺の長さがa、b、cである三角形の内接円の半径をrとし、
その三角形の面積をSとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\sf a^2+b^2=c^2}$ を示せ。
(2) rをm、nを用いて表せ。
(3) rが素数のときに、Sをrを用いて表せ。
(4) rが素数のときに、Sが6で割り切れることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf a^2+b^2=(n^2-m^2)^2+(2mn)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf =n^4+2m^2n^2+m^4}$
$\scriptsize\sf{\sf =(n^2+m^2)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf =c^2}$
(2)
(1)より、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}ab=mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)\end{align*}}$ ……①
また、内接円の半径がrなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}r\left(a+b+c \right)=\frac{1}{2}r\left( 2n^2+2mn\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$ ……②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ m\left(n-m\right)}\end{align*}}$
(3)
rが素数のとき、(2)より
$\scriptsize\sf{\sf m=1}$ または $\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$
である。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf n-m=r\ \ \Leftrightarrow\ \ n=r+1}$
なので、②より $\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(r+2)}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf m=r\ ,\ \ n=r+1}$
なので、②より $\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(2r+1)}}$
(4)
(3)の(ⅰ)の場合
$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)}$ は連続3整数の積なので、
Sは6の倍数である。
(3)の(ⅱ)の場合
$\scriptsize\sf{\sf 2r+1=(r+2)+(r-1)}$
より、
$\scriptsize\sf{\sf S=r(r+1)(r+2)+(r-1)r(r+1)}$
と変形できる。
$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)\ ,\ \ (r-1)r(r+1)}$ は、ともに
連続3整数の積なので、Sは6の倍数である。
(4)は、「連続3整数の積は6である」ことを使うと楽ですね。
これに気づかなくても、rを6（または3）で割った余りで場合分けを
すれば問題ないと思います。
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- 2014/02/27(木) 23:57:00|
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解答速報です！
第3問
空間において、原点Oを通らない平面$\small\sf{\alpha}$ 上に一辺の長さ1の正方形
があり、その頂点を順にA、B、C、Dとする。このとき、以下の問いに
答えよ。
(1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) OA=OB=OCのとき、ベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
が、平面$\small\sf{\alpha}$ と垂直であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形ABCDは正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf DC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
(2)
OA=OB=OCおよび、AB=BC=1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}-\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}-\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}|^2-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}|^2-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=1-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=0\end{align*}}$ ……①
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
とおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BA}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BA}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$ ←BA=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BC}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$ ←BC=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
以上より、OE⊥ABかつOE⊥ACとなので、OE⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ となり、
題意は示された。
他にもいろいろな解法が考えられますが、
OA=OB=OCをうまく使うためには、始点をBにするのがミソです。
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- 2014/02/28(金) 23:57:00|
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