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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014神戸大 理系数学1



第1問

  aを実数とし、$\small{\sf f(x)=xe^x-x^2-ax}$ とする。曲線$\small{\sf y=f(x)}$ 上の点
  $\small{\sf (0\ ,\ f(0))}$ における接線の傾きを$\small{\sf -1}$ とする。このとき、以下の
  問に答えよ.

 (1) aの値を求めよ。

 (2) 関数$\small{\sf y=f(x)}$ の極値を求めよ。

 (3) bを実数とするとき、2つの曲線$\small{\sf y=xe^x}$ と$\small{\sf y=x^2+ax+b}$ の
    $\small{\sf -1\leqq x\leqq 1}$ の範囲での共有点の個数を調べよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2014/05/14(水) 23:54:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 理系 2014
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2014神戸大 理系数学2



第2問

  m、n(m<n)を自然数とし、
     $\small{\sf a=n^2-m^2\ ,\ \ b=2mn\ ,\ \ c=n^2+m^2}$
  とおく。三辺の長さがa、b、cである三角形の内接円の半径をrとし、
  その三角形の面積をSとする。このとき、以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\sf a^2+b^2=c^2}$ を示せ。

 (2) rをm、nを用いて表せ。

 (3) rが素数のときに、Sをrを用いて表せ。

 (4) rが素数のときに、Sが6で割り切れることを示せ。




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  1. 2014/05/14(水) 23:57:00|
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2014神戸大 理系数学3



第3問

  空間において、原点Oを通らない平面$\small\sf{\alpha}$ 上に一辺の長さ1の正方形
  があり、その頂点を順にA、B、C、Dとする。このとき、以下の問いに
  答えよ。

 (1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) OA=OB=OCのとき、ベクトル
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
    が、平面$\small\sf{\alpha}$ と垂直であることを示せ。



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  1. 2014/05/15(木) 23:54:00|
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2014神戸大 理系数学4



第4問

  nを自然数とする。1から2nまでの番号をつけた2n枚のカードを
  袋に入れ、よくかき混ぜてn枚を取り出し、取り出したn枚のカード
  の数字の合計をA、残されたn枚のカードの数字の合計をBとする。
  このとき、以下の問に答えよ。

 (1) nが奇数のとき、AとBが等しくないことを示せ。

 (2) nが偶数のとき、AとBの差は偶数であることを示せ。

 (3) n=4のとき、AとBが等しい確率を求めよ。



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  1. 2014/05/15(木) 23:57:00|
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2014神戸大 理系数学5



第5問

  a、bを正の実数とし、xy平面上に3点O(0,0)、A(a,0)、B(a,b)
  をとる。三角形OABを、原点Oを中心に90°回転するとき、三角形
  OABが通過してできる図形をDとする。このとき、以下の問に答えよ。

 (1) Dをxy平面上に図示せよ。

 (2) Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。

 (3) a+b=1のとき、(2)で求めたVの最小値と、そのときのaの値を
    求めよ。



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  1. 2014/05/16(金) 23:57:00|
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