第1問
aを実数とし、$\small{\sf f(x)=xe^x-x^2-ax}$ とする。曲線$\small{\sf y=f(x)}$ 上の点
$\small{\sf (0\ ,\ f(0))}$ における接線の傾きを$\small{\sf -1}$ とする。このとき、以下の
問に答えよ．
(1) aの値を求めよ。
(2) 関数$\small{\sf y=f(x)}$ の極値を求めよ。
(3) bを実数とするとき、2つの曲線$\small{\sf y=xe^x}$ と$\small{\sf y=x^2+ax+b}$ の
$\small{\sf -1\leqq x\leqq 1}$ の範囲での共有点の個数を調べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize{\sf f'(x)=e^x+xe^x-2x-a}$
なので、
$\scriptsize{\sf f'(0)=e^0-a=-1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{a=2}}$
(2)
(1)より
$\scriptsize{\sf f(x)=xe^x-x^2-ax}$
$\scriptsize{\sf f'(x)=e^x+xe^x-2x-a=(x+1)(e^x-2)}$
となるので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、
$\scriptsize{\sf x=-1}$ のとき極小値 $\scriptsize{\sf f(-1)=1-e^{-1}}$
$\scriptsize{\sf x=\log 2}$ のとき極大値 $\scriptsize{\sf f\left(\log 2\right)=-\left(\log 2\right)^2}$
をとる。
(3)
2曲線の式を連立させると、
$\scriptsize{\sf xe^x=x^2+2x+b}$
⇔ $\scriptsize{\sf xe^x-x^2-2x=b}$
⇔ $\scriptsize{\sf f(x)=b}$
となるので、2曲線の共有点の個数は、
曲線$\scriptsize{\sf y=f(x)}$ と直線$\scriptsize{\sf y=b}$ の共有点の個数と一致する。
$\scriptsize{\sf -1\lt \log 2\lt 1}$
であり、
$\scriptsize{\sf f(-1)=1-e^{-1}\lt 0\lt e-3=f(1)}$
なので、
$\scriptsize{\sf b\lt -(\log 2)^2\ ,\ \ 1-e^{-1}\lt b}$ のとき0個
$\scriptsize{\sf b=-(\log 2)^2\ \ ,\ \ e-3\lt b\leqq 1-e^{-1}}$ のとき1個
$\scriptsize{\sf -(\log 2)^2\lt b\leqq e-3}$ のとき2個
例年通り、標準的な問題です。
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第2問
m、n（m＜n）を自然数とし、
$\small{\sf a=n^2-m^2\ ,\ \ b=2mn\ ,\ \ c=n^2+m^2}$
とおく。三辺の長さがa、b、cである三角形の内接円の半径をrとし、
その三角形の面積をSとする。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\sf a^2+b^2=c^2}$ を示せ。
(2) rをm、nを用いて表せ。
(3) rが素数のときに、Sをrを用いて表せ。
(4) rが素数のときに、Sが6で割り切れることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf a^2+b^2=(n^2-m^2)^2+(2mn)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf =n^4+2m^2n^2+m^4}$
$\scriptsize\sf{\sf =(n^2+m^2)^2}$
$\scriptsize\sf{\sf =c^2}$
(2)
(1)より、この三角形は長さcの辺を斜辺とする直角三角形
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}ab=mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)\end{align*}}$ ……①
また、内接円の半径がrなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}r\left(a+b+c \right)=\frac{1}{2}r\left( 2n^2+2mn\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$ ……②
①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf mn\left(n-m\right)\left(n+m\right)=rn\left(n+m\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ r=\underline{\ m\left(n-m\right)}\end{align*}}$
(3)
rが素数のとき、(2)より
$\scriptsize\sf{\sf m=1}$ または $\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$
である。
(ⅰ) $\scriptsize\sf{\sf m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf n-m=r\ \ \Leftrightarrow\ \ n=r+1}$
なので、②より $\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(r+2)}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\sf n-m=1}$ のとき
$\scriptsize\sf{\sf m=r\ ,\ \ n=r+1}$
なので、②より $\scriptsize\sf{\sf S=\underline{r(r+1)(2r+1)}}$
(4)
(3)の(ⅰ)の場合
$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)}$ は連続3整数の積なので、
Sは6の倍数である。
(3)の(ⅱ)の場合
$\scriptsize\sf{\sf 2r+1=(r+2)+(r-1)}$
より、
$\scriptsize\sf{\sf S=r(r+1)(r+2)+(r-1)r(r+1)}$
と変形できる。
$\scriptsize\sf{\sf r(r+1)(r+2)\ ,\ \ (r-1)r(r+1)}$ は、ともに
連続3整数の積なので、Sは6の倍数である。
(4)は、「連続3整数の積は6である」ことを使うと楽ですね。
これに気づかなくても、rを6（または3）で割った余りで場合分けを
すれば問題ないと思います。
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第3問
空間において、原点Oを通らない平面$\small\sf{\alpha}$ 上に一辺の長さ1の正方形
があり、その頂点を順にA、B、C、Dとする。このとき、以下の問いに
答えよ。
(1) ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\ ,\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) OA=OB=OCのとき、ベクトル
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
が、平面$\small\sf{\alpha}$ と垂直であることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
四角形ABCDは正方形なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\overrightarrow{\sf DC}\ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OB}-\overrightarrow{\sf OA}=\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OD}=\underline{\ \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}}\end{align*}}$
(2)
OA=OB=OCおよび、AB=BC=1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|=|\overrightarrow{\sf OB}|=|\overrightarrow{\sf OC}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}-\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}-\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf BA}|^2-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf BC}|^2-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}+|\overrightarrow{\sf BO}|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-2\overrightarrow{\sf BA}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=1-2\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BO}=0\end{align*}}$ ……①
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}+\overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$
とおくと、(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BA}=2\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OC}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BA}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BA}\right)\end{align*}}$ ←BA=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OE}\cdot\overrightarrow{\sf BC}=2\left(\overrightarrow{\sf BA}+\overrightarrow{\sf BC}-2\overrightarrow{\sf BO}\right)\cdot\overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(|\overrightarrow{\sf BC}|^2+\overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf BA}-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left(1-2\overrightarrow{\sf BO}\cdot\overrightarrow{\sf BC}\right)\end{align*}}$ ←BC=1、BA⊥BCより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$ ←①より
以上より、OE⊥ABかつOE⊥ACとなので、OE⊥$\scriptsize\sf{\alpha}$ となり、
題意は示された。
他にもいろいろな解法が考えられますが、
OA=OB=OCをうまく使うためには、始点をBにするのがミソです。
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第4問
nを自然数とする。1から2nまでの番号をつけた2n枚のカードを
袋に入れ、よくかき混ぜてn枚を取り出し、取り出したn枚のカード
の数字の合計をA、残されたn枚のカードの数字の合計をBとする。
このとき、以下の問に答えよ。
(1) nが奇数のとき、AとBが等しくないことを示せ。
(2) nが偶数のとき、AとBの差は偶数であることを示せ。
(3) n=4のとき、AとBが等しい確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A+B=1+2+3+…+2n=n(2n+1) ……(#)
(1)
nが奇数のとき、自然数mを用いて
n=2m－1
と表すことができるので、(#)より
A+B=(2m－1)(4m－1)
=2(4m2－3m)+1
となるので、A+Bは奇数である。……(*)
ここで、AとBが等しいと仮定すると、
A+B=2A
となり、A+Bは偶数である。
このことは(*)に矛盾するので、AとBが等しくなることはない。
(2)
nが偶数のとき、自然数mを用いて
n=2m
と表すことができるので、(#)より
A+B=2m(4m+1)．
よって、AとBの差は
|A－B|=|(A+B)－2B|
=|2m(4m+1)－2B|
=2|m(4m+1)－B|
となるので、偶数である。
(3)
n=4のとき、(#)より
A+B=4・9=36
となるので、AとBが等しくなるとき、A=18である。
1～8のうちの異なる4数の和が18になる組み合わせは、
1+2+7+8=18 3+4+5+6=18
1+3+6+8=18 2+4+5+7=18
1+4+5+8=18 2+3+6+7=18
2+3+5+8=18 1+4+6+7=18
の8通りであり、Aをつくる4数の選び方の総数は
8C4通りあるので、求める確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8}{_8C_4}=\underline{\ \frac{4}{35}}\end{align*}}$
である。
(3)は、いろいろ考えるよりも、全部書き出した方が楽です。
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第5問
a、bを正の実数とし、xy平面上に3点O(0，0)、A(a，0)、B(a，b)
をとる。三角形OABを、原点Oを中心に90°回転するとき、三角形
OABが通過してできる図形をDとする。このとき、以下の問に答えよ。
(1) Dをxy平面上に図示せよ。
(2) Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ。
(3) a+b=1のとき、(2)で求めたVの最小値と、そのときのaの値を
求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
(2)
△OABを原点を中心に90°回転させた三角形を△OA’B’とすると、
弧BB’は半径OBの円の一部なので、その方程式は
$\scriptsize\sf{\sf x^2+y^2=a^2+b^2}$
⇔ $\scriptsize\sf{\sf y^2=a^2+b^2-x^2}$
点Cを$\scriptsize\sf{\sf C(-b,\ 0)}$ とおくと、Vは、
(弧BB’の回転体)－(△OB’Cによる円錐)
として求めることができるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\pi\int_{-b}^a\left(a^2+b^2-x^2 \right)dx-\frac{1}{3}\cdot a^2\pi\cdot b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\bigg[\left(a^2+b^2\right)x-\frac{1}{3}x^3\bigg]_{-b}^a-\frac{\pi}{3}\ a^2b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left(a^2+b^2\right)\left(a+b \right)-\frac{\pi}{3}\left(a^3+b^2 \right)-\frac{\pi}{3}\ a^2b\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{3}\left(2a^3+2a^2b+3ab^2+2b^3 \right)}\end{align*}}$
(3)
(2)に$\scriptsize\sf{\sf b=1-a}$ を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3}\left\{2a^3+2a^2\left(1-a\right)+3a\left(1-a\right)^2+2\left(1-a\right)^3 \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{^pi}{3}\left(a^3+2a^2-3a+2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dV}{da}=\frac{\pi}{3}\left(3a^2+4a-3\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{3}\left(a-\frac{-2-\sqrt{13}}{3}\right)\left(a-\frac{-2+\sqrt{13}}{3}\right)\end{align*}}$
となり、a＞0なので、Vの増減は次のようになる。
よって、Vが最小になるときのaの値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}}\end{align*}}$ ……(i)
である。
ここで割り算の筆算を用いると、Vの式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{\pi}{3}\left\{\underline{\left(3a^2+4a-3\right)}\left(\frac{1}{3}a+\frac{2}{9}\right)-\frac{26}{9}a+\frac{8}{3} \right\}\end{align*}}$
と変形することができる。
これに(i)を代入すると、下線部=0となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{\pi}{3}\left(-\frac{26}{9}\cdot\frac{-2+\sqrt{13}}{3}+\frac{8}{3}\right)=\underline{\ \frac{124-26\sqrt{13}}{81}\ \pi}\end{align*}}$
最後の計算がイヤですねぇ(笑)
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- 2014/05/16(金) 23:57:00|
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