青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　文系　2014

2014大阪大　文系数学１

第１問

　　iは虚数単位とし、実数a、bはa²＋b²＞0を満たす定数とする。
　　複素数(a＋bi)(x＋yi)の実部が2に等しいような座標平面上の
　　点(x，y)全体の集合をL₁とし、また(a＋bi)(x＋yi)の虚部が
　　－3に等しいような座標平面上の点(x，y)全体の集合をL₂とする。

　(１) L₁とL₂はともに直線であることを示せ。

　(１) L₁とL₂は互いに直交することを示せ。

　(１) L₁とL₂の交点を求めよ。

解答はこちら↓

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2014/05/06(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　文系　2014

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2014大阪大　文系数学２

第２問

　　次の問いに答えよ。

　(１) $橿原学習塾青木ゼミ$ を満たすすべての実数x、yに対して等式
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　が成り立つことを示せ。

　(２) $橿原学習塾青木ゼミ$ を満たすすべての実数x、yに対して等式
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　は成り立つか。成り立つときは証明し、成り立たないときは反例
　　　を挙げよ。
　　　　　　　　

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　和→積の公式より、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、題意は示された。

　(２)
　　　x＝y＝0、z＝πとすると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、等式
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　は成立しない。

　　和→積の公式は覚えてますか？？？　　

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2014/05/07(水) 23:57:00|

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2014大阪大　文系数学３

第３問

　　関数f(x)＝px³＋qx²＋rx＋sは、x＝0で極大値Mをとり、
　　x＝αで極小値mをとるという、ただしα≠0とする。このとき
　　p、q、r、sをα、M、nで表せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　f(x)の導関数は、
　　　　　　　　f’(x)＝3px²＋2qx＋r
　　　なので、x＝0で極大値Mをとるためには、
　　　　　　　　f’(0)＝r＝0　　かつ
　　　　　　　　f(0)＝s＝M
　　　である必要がある。
　　　このとき、
　　　　　　　　f(x)＝px³＋qx²＋M
　　　　　　　　f’(x)＝3px²＋2qx
　　　となり、x＝αで極小値mをとるためには
　　　　　　　　f’(α)＝3pα²＋2qα＝0　　……(i)　　　かつ
　　　　　　　　f(α)＝pα³＋qα²＋M＝m　　……(ii)
　　　である必要がある。
　　　(i)×α－(ii)×2より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　(i)×α－(ii)×3より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　逆にこのとき、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、M＞mなので、f(x)の増減は次のようになる。

　　　(Ⅰ)α＞0のとき

　　　　　　

　　　(Ⅱ)α＜0のとき

　　　　　　

　　　いずれの場合も題意を満たすので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　である。

　　「f’(0)＝0　ならば　x＝0で極大」は、真ではないので、
　　きちんと十分性を示す必要があります。　　

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2014/05/08(木) 23:57:00|

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