青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

2014大阪大　理系数学１

第１問

　　実数a、b、c、dに対して、座標平面上の点A(a，b)、B(c，d)、
　　C(e，0)をとる。ただし点Aと点Bはどちらも原点O(0，0)とは
　　異なる点とする。このとき実数s、tで
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　を満たすものが存在するための、a、b、c、d、eについての条件
　　を求めよ。

解答はこちら↓

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/05/09(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

| トラックバック:0

| コメント:0

2014大阪大　理系数学２

第２問

　　t＞0において定義された関数f(t)は次の条件(ア)、(イ)を満たす。
　　　　(ア)t＞0のとき、全ての実数xに対して不等式
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　が成り立つ。
　　　　(イ)t＞0のとき、等式
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　を満たす実数xが存在する。

　　このとき、f(t)を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　関数F(x)を
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　とおくと、
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　e^x＞0より、上式の下線部＞0なので、F’(x)＝0となるのは、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　すなわち　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　のときである。
　　　このｘの値をpとおくと、t＞0よりF(x)の増減は次のようになる。

　　　　　　　

　　　任意のxに対してF(x)≧F(p)なので、条件(ア)、(イ)を満たす
　　　ためにはF(p)＝0であればよい。
　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　これは考えやすいと思います。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/05/10(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

| トラックバック:0

| コメント:0

2014大阪大　理系数学３

第３問

　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ の整数部分を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　自然数kに対して、k≦x＜k＋1を満たす実数xを考えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、
　　　この不等式はk≦x＜k＋1の範囲で常に成り立つので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．

　　　この不等式は、k＝1，2，…，39999に対しても成り立つので、
　　　それぞれの式を辺々加えると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となり、中央の項は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(#)
　　　となる。

　　　(#)の前2項より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　(#)の後ろ2項より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　これらより、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、 $橿原学習塾青木ゼミ$ の整数部分は398である。

　　積分に気づきますか？　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/05/11(日) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

| トラックバック:0

| コメント:0

2014大阪大　理系数学４

第４問

　　半径1の2つの球S₁とS₂が1点で接している。互いに重なる部分のない
　　等しい半径を持つn個（n≧3）の球T₁、T₂、…、T_nがあり、次の条件
　　(ア)、(イ)を満たす。
　　　　(ア) T_iはS₁、S₂にそれぞれ1点で接している（i＝1，2，…，n）
　　　　(イ) T_iはT_i+1に1点で接しており（i＝1，2，…，n－1）、そして
　　　　　　 T_nはT₁に1点で接している。

　(１) T₁、T₂、…、T_nの共通の半径r_nを求めよ。

　(２) S₁とS₂の中心を結ぶ直線のまわりにT₁を回転してできる回転体の
　　　体積をV_nとし、T₁、T₂、…、T_nの体積の和をW_nとするとき、極限
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　S₁とS₂の接点をOとし、球S₁、S₂の中心をP₁、P₂とする。
　　　また、球T_iの中心をO_i（i＝1，2，…，n）とおくと、
　　　図の対称性より、これらはすべて、Oを通り直線P₁P₂に垂直な
　　　平面上にある。
　　　球T₁とT₂の接点をMとおくと、
　　　　　　　　O₁M＝O₂M＝r_n
　　　であり、
　　　　　　　OO₁＝OO₂＝R_n
　　　とおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(#)
　　　となる。

　　　一方、3点P₁、P₂、O₁を通る平面での切断面を考えると、
　　　OO₁⊥P₁P₂であり、
　　　　　　　　O₁P₁＝1＋r_n
　　　なので、△OO₁P₁に三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←(#)より
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって(#)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　(２)
　　　上の断面を、右図のようにxy平面上に配置すると、
　　　円O₁の方程式は
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と表せ、円O₁の赤色部分の弧は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　円O₁の青色部分の弧は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる。

　　　V_nは、円O₁をy軸の周りに回転させて
　　　できる回転体の体積に等しいので、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　ここで、定積分
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　半径r_nの4分の1円の面積に等しいので、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　一方、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←(#)より
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　← $橿原学習塾青木ゼミ$ 　とおく
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　問題文には図がありませんが、位置関係をイメージできますか？　

　　　　　　　　　　
　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/05/12(月) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

| トラックバック:0

| コメント:0

2014大阪大　理系数学５

第５問

　　さいころを繰り返し投げ、n回目に出た目をX_nとする。n回目までに出た
　　目の積X₁X₂・・・X_nをT_nで表す。T_nを5で割った余りが1である確率を
　　p_nとし、余りが2、3、4のいずれかである確率をq_nとする。

　(１) p_n＋q_nを求めよ。

　(２) p_n+1をp_nとnを用いて表せ。

　(３) $橿原学習塾青木ゼミ$ とおいてr_nを求めることにより、q_nをnの式で表せ。
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　T_nを5で割った余りをR_nとする。

　(１)
　　　R_n≠0になるためには、X₁、X₂、…、X_nがすべて5以外であれば
　　　よいので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　(２)
　　　R_n+1の値は、R_nとX_n+1の値によって下表のようになる。

　　　　　　　　　

　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←(１)より
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　

　(３)
　　　(２)で得られた式の両辺に $橿原学習塾青木ゼミ$ をかけると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と変形できるので、数列 $橿原学習塾青木ゼミ$ は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　阪大ぐらいのレベルなら、r_nのヒントは不要でしょ。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014/05/13(火) 23:57:00|

大学入試(数学)　.関西の国立大学　.大阪大　理系　2014

| トラックバック:0

| コメント:0