青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の国立大学　.京都大　理系　2014

2014京都大　理系数学１

第１問

　　座標空間における次の3つの直線L、m、nを考える：
　　　　　　Lは点A(1，0，－2)を通り、ベクトル $橿原学習塾青木ゼミ$ ＝(2，1，－1)に
　　　　　　平行な直線である。
　　　　　　mは点B(1，2，－3)を通り、ベクトル $橿原学習塾青木ゼミ$ ＝(1，－1，1)に
　　　　　　平行な直線である。
　　　　　　nは点C(1，－1，0)を通り、ベクトル $橿原学習塾青木ゼミ$ ＝(1，2，1)に
　　　　　　平行な直線である。
　　PをL上の点として、Pからm、nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ、R
　　とする。このとき、PQ²＋PR²を最小にするようなPと、そのときの
　　PQ²＋PR²を求めよ。

解答はこちら↓

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2014/05/01(木) 23:54:00|

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2014京都大　理系数学２

第２問

　　2つの粒子が時刻0において△ABCの頂点Aに位置している。これらの
　　粒子は独立に運動し、それぞれ1秒ごとに隣の頂点に等確率で移動して
　　いくとする。たとえば、ある時刻で点Cにいる粒子は、その1秒後には点A
　　または点Bにそれぞれ $橿原学習塾青木ゼミ$ の確率で移動する。この2つの粒子が、時刻0の
　　n秒後に同じ点にいる確率p(n)を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　2つの粒子をP、Qとする。
　　　粒子Pがn秒後に頂点A、B、Cにいる確率をそれぞれ　
　　　　　　　　a(n)、 b(n)、 c(n)
　　　とすると、
　　　　　　　　a(0)＝1、 b(0)＝c(0)＝0
　　　　　　　　a(n)＋b(n)＋c(n)＝1　　……(*)

　　　粒子Pがn＋1秒後にAに来るためには、n秒後にはBまたはCに
　　　いる必要があるので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　←(*)より
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　　よって、数列 $橿原学習塾青木ゼミ$ は等比数列となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　粒子Pがn＋1秒後にBに来るためには、n秒後にはAまたはCに
　　　いる必要があるので、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、a_nと同様に計算すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　c_nについても同様に
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となる。

　　　n秒後に粒子QがA、B、Cに来る確率もa(n)、b(n)、c(n)なので、
　　　n秒後にP、Qが同じ点にいる確率p(n)は、　　　
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　これもよくある問題ですね。　　

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2014/05/01(木) 23:57:00|

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2014京都大　理系数学３

第３問

　　△ABCは、条件∠B＝2∠A、BC＝1を満たす三角形のうちで
　　面積が最大のものであるとする。このとき、cosBを求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　∠A＝θとおくと、∠B＝2θ、∠C＝π－3θ
　　　となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　……(*)

　　　△ABCに正弦定理を用いると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←3倍角の公式
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←半角公式
　　　となるので、△ABCの面積をSとおくと、
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←倍角公式
　　　θで微分すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←倍角公式
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　ここで(#)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ なので、 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、5＜ $橿原学習塾青木ゼミ$ ＜6より
　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．

　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるθが(#)の範囲に存在し、これをαとおくと、
　　　Sの増減は次のようになる。

　　　　　　　　　

　　　よって、θ＝αのときSは最大となるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　cos2θだけの式になるように、上手く調整しましょう。　　

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2014/05/02(金) 23:57:00|

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2014京都大　理系数学４

第４問

　　実数の定数a、bに対して、関数f(x)を
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　で定める。全ての実数xで不等式
　　　　　　　　f(x)≦f(x)³－2f(x)²＋2
　　が成り立つような点(a，b)の範囲を図示せよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　f(x)≦f(x)³－2f(x)²＋2
　　　　　　⇔　f(x)³－2f(x)²－f(x)＋2≧0
　　　　　　⇔　{f(x)＋1}{f(x)－1}{f(x)－2}≧0
　　　　　　⇔　－1≦f(x)≦1　または　2≦f(x)
　　　　　　⇔　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　……(A)　または
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(B)

　　　f(x)は連続関数なので、
　　　「任意のxに対して(A)または(B)が成り立つ」ことは、
　　　『「任意のxに対して(A)が成り立つ」または「任意のxに対して
　　　　(B)が成り立つ」』ことと同値である。
　　　
　　　ここで、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、
　　　　　(A)　⇔　－(x²＋x＋1)≦ax＋b≦x²＋x＋1　
　　　　　　　　⇔　 x²＋(a＋1)x＋b＋1≧0　　……(i)　かつ　
　　　　　　　　　　 x²－(a－1)x＋1－b≧0　　……(ii)
　　　　　
　　　　　任意のxに対して(i)が成り立つためには、
　　　　　x²＋(a＋1)x＋b＋1＝0の判別式をD₁とすると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　であればよい。
　　　　　一方、任意のxに対して(ii)が成り立つためには、
　　　　　x²－(a－1)x＋1－b＝0の判別式をD₂とすると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　であればよい。

　　　一方、
　　　　　(B)　⇔　2(x²＋x＋1)≦ax＋b　
　　　　　　　　⇔　2x²＋(2－a)x＋2－b≦0
　　　となり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、すべてのxに対して(B)が成り立つことはない。

　　
　　　以上より、題意を満たすようなa，bの条件は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　であり、これを図示すると、下図のようになる。
　　　（境界線上の点を含む。）

　　　　　　　　

　　普通に分母を払えるので、単なる二次関数の問題ですね。　　

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2014/05/03(土) 23:57:00|

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2014京都大　理系数学５

第５問

　　自然数a、bはどちらも3で割り切れないが、a³＋b³は81で割り切れる。
　　このようなa、bの組(a，b)のうち、a²＋b²の値を最小にするものと、
　　そのときのa²＋b²の値を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　　　a³＋b³＝(a＋b)³－3ab(a＋b)　
　　　であり、a³＋b³は81の倍数なので、自然数kを用いて
　　　　　　　　　(a＋b)³－3ab(a＋b)＝81k
　　　　　　　⇔　(a＋b)³＝3{ab(a＋b)＋27k}　　……(A)
　　　と表すことができる。

　　　このとき、(A)の右辺は3の倍数なので、(a＋b)³は3の倍数であり、
　　　(3で割り切れない数)³が3の倍数になることはないので、
　　　a＋bは3の倍数である。

　　　よって、自然数Lを用いて
　　　　　　　　　a＋b＝3L　　……(B)
　　　と表すことができるので、(A)は
　　　　　　　　　27L³＝9abL＋81k
　　　　　　　⇔　abL＝3(L³－3k)　　……(C)
　　　と変形できる。

　　　(C)の右辺は3の倍数であり、a、bともに3の倍数ではないので、
　　　Lは3の倍数となる。
　　　よって、自然数Mを用いて
　　　　　　　　　L＝3M　　……(D)
　　　と表すことができるので、(C)は
　　　　　　　　　3abM＝3(27M³－3k)
　　　　　　　⇔　abM＝3(9M³－k)　　……(E)
　　　と変形できる。

　　　(E)の右辺は3の倍数であり、a、bともに3の倍数ではないので、
　　　Mも3の倍数となる。
　　　よって、自然数Nを用いて
　　　　　　　　　M＝3N
　　　と表すことができ、さらに、これと(B)、(D)より
　　　　　　　　　a＋b＝9M＝27N
　　　と表すことができる。

　　　よって、
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　N＝1のとき、
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　aは自然数なので、a²＋b²が最小になるのは、
　　　　　　　　a＝13　または　a＝14
　　　のときであり、このとき
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　
　　　N≧2のとき
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　以上より、a²＋b²の最小値は、
　　　　　　　　a²＋b²_min＝365
　　　であり、それを与えるa，bの組は、
　　　　　　　　(a，b)＝(13，14)、(14，13)
　　　である。

　　その昔、「京大入試では、合同式を使った答案は点数をもらえない」
　　なんて噂がありましたが（笑）、実際の所はどうだったんでしょうかね？
　　

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2014/05/04(日) 23:57:00|

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2014京都大　理系数学６

第６問

　　双曲線y＝ $橿原学習塾青木ゼミ$ の第1象限にある部分と、原点Oを中心とする円の
　　第1象限にある部分を、それぞれC₁、C₂とする。C₁とC₂は2つの
　　異なる点A、Bで交わり、点AにおけるC₁の接線Lと線分OAのなす
　　角は $橿原学習塾青木ゼミ$ であるとする。このとき、C₁とC₂で囲まれる図形の面積を
　　求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　C₁、C₂は直線y＝xについて対称であり、2交点AとBも
　　　直線y＝xについて対称なので、x座標の小さい方をAと
　　　しても一般性を失わない。
　　　よって、C₂の半径をr（＞0）とおくと、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　と表すことができ、AはC₁上の点でもあるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　……(#)

　　　C₁の導関数は、 $橿原学習塾青木ゼミ$ なので、AにおけるC₁の接線Lの傾きは
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←(#)より
　　　となるので、Lとx軸の交点をDとおくと、
　　　　　　　　∠ADO＝a
　　　となる。
　　　また、∠AOD＝aであり、題意より∠OAD＝ $橿原学習塾青木ゼミ$ なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　　このとき(#)より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←倍角公式
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　であり、AとBは直線y＝xについて対称なので
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　よって、A、Bの座標は
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　であり、C₂の方程式は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　と表すことができるので、C₁とC₂で囲まれる図形の面積をSとおくと、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　となる。
　　ここで、x＝2cosθと置換すると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　←半角公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ．
　　また、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑加法定理
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$

　　京大の受験生ならば、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　あたりは、いちいち計算しなくても、既に知っている値だと思いますが。　　

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2014/05/05(月) 23:57:00|

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