第1問
数列{an}は、初項aおよび公差dが整数であるような等差数列であり、
8≦a2≦10
14≦a4≦16
19≦a5≦21
をみたしているとする。このような数列{an}をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
数列{an}は、an=a+d(n－1)となるので、題意より、
8≦a+d≦10 ……①
14≦a+3d≦16 ……②
19≦a+4d≦21 ……③
となる。
①、②より
14≦ a+3d ≦16
+）－10≦－a－d≦－8
4≦ 2d ≦8
となるので、整数dの値は
d=2、3、4
のいずれかである。
(ⅰ) d=2のとき
①～③はそれぞれ、
6≦a≦8、 8≦a≦10、 11≦a≦13
となり、これらを同時に満たす整数aは存在しない。
(ⅱ) d=3のとき
①～③はそれぞれ、
5≦a≦7、 5≦a≦7、 7≦a≦9
となり、これらを同時に満たす整数aの値は、a=7である。
このとき、an=7+3(n－1)=3n－4
(ⅲ) d=4のとき
①～③はそれぞれ、
4≦a≦6、 2≦a≦4、 3≦a≦5
となり、これらを同時に満たす整数aの値は、a=4
このとき、an=4+4(n－1)=4n
以上より、数列{an}の一般項は、
an=3n+4 または an=4n
である。
さすがに大丈夫だとは思いますが、
14≦ a+3d ≦16
－） 8≦ a+d ≦10
6≦ 2d ≦6
としちゃダメですよ。
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- 2014/02/25(火) 23:51:00|
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第3問
次の問に答えよ。
(1) 方程式
x2+y2+ax+by+3c=0
が円を表すためのa、b、cの条件を求めよ。
(2) 一つのサイコロを2回振って出た目の数を、順にa、bとする。
c=1とするとき、a、bの組が(1)の条件をみたす場合は何通りあるか。
(3) 一つのサイコロを3回振って出た目の数を、順にa、b、cとする。
a、b、cが(1)の条件をみたす確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(x-\frac{a}{2}\right)^2+\left(y-\frac{b}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-3c\end{align*}}$
と変形できるので、これが円を表すためには、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}-3c>0\end{align*}}$ ……(＊)
すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a^2+b^2>12c}\end{align*}}$
であればよい。
(2)
各a、bに対してa2+b2の値は、
右表のようになる。
c=1のとき、(＊)は a2+b2＞12 となり、
これを満たすようなa、bの組は30通りある。
(3)
c=2のとき、(＊)は a2+b2＞24 となり、
これを満たすようなa、bの組は23通りある。
c=3のとき、(＊)は a2+b2＞36 となり、
これを満たすようなa、bの組は14通りある。
c=4のとき、(＊)は a2+b2＞48 となり、
これを満たすようなa、bの組は6通りある。
c=5のとき、(＊)は a2+b2＞60 となり、
これを満たすようなa、bの組は3通りある。
c=6のとき、(＊)は a2+b2＞72 となり、
これを満たすようなa、bの組は存在しない。
a、b、cの組の総数は、63=216なので、
(1)を満たす確率は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{30+23+14+6+3}{216}=\underline{\ \frac{19}{54}}\end{align*}}$
である。
表さえ作れば、あとは数えるだけです。
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- 2014/02/26(水) 23:57:00|
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