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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009大阪大 文系数学1




第1問

  曲線$\small\sf{\sf C:\ y=x^3-kx}$ (kは実数)を考える。C上に点$\small\sf{\sf A(,\ a^3-ka)\ \ (a\ne 0)}$
  をとる。次の問いに答えよ。

 (1) 点AにおけるCの接線をL1とする。L1とCのA以外の交点をBとする。
    Bのx座標を求めよ。

 (2) 点BにおけるCの接線をL2とする。L1とL2が直交するとき、aとkが
    みたす条件を求めよ。

 (3) L1とL2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。





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  1. 2011/10/25(火) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2009
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2009大阪大 文系数学2



第2問

  平面上の三角形OABを考え、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ t=\frac{|\overrightarrow{\sf a}|}{2|\overrightarrow{\sf b}|}\end{align*}}$
  とおく。辺OAを1:2に内分する点をCとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ となる点Dとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が直交し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が直交するとき、次の問いに答えよ。

 (1) ∠AOBを求めよ。

 (2) tの値を求めよ。

 (3) ADとBCの交点をPとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。



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  1. 2011/10/26(水) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2009
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2009大阪大 文系数学3



第3問

  次のような、いびつなさいころを考える。1,2,3の目が出る確率はそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、
  4の目が出る確率はa、5,6の目が出る確率はそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}-\frac{a}{2}\end{align*}}$ である。ただし、
  0≦a≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。
  このさいころを振ったとき、平面上の(x,y)にある点Pは、1,2,3のいずれかの
  目が出ると、(x+1,y)に、4の目が出ると、(x,y+1)に、5,6のいずれかの目
  が出ると(x-1,y-1)に移動する。
  原点(0,0)にあった点Pが、k回さいころを振ったときに(2,1)にある確率をpk
  とする。
  
 (1) p1、p2、p3を求めよ。

 (2) p6を求めよ。

 (3) p6が最大になるときのaの値を求めよ。




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  1. 2011/10/27(木) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪大 文系 2009
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