第1問
曲線$\small\sf{\sf C:\ y=x^3-kx}$ （kは実数）を考える。C上に点$\small\sf{\sf A(,\ a^3-ka)\ \ (a\ne 0)}$
をとる。次の問いに答えよ。
(1) 点AにおけるCの接線をL1とする。L1とCのA以外の交点をBとする。
Bのx座標を求めよ。
(2) 点BにおけるCの接線をL2とする。L1とL2が直交するとき、aとkが
みたす条件を求めよ。
(3) L1とL2が直交するaが存在するようなkの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\sf y'=3x^2-k}$ なので、L1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\sf y-(a^3-ka)=(3a^2-k)(x-a)}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=(3a^2-k)x-2a^3}$．
これとCとの交点を求めると、
$\scriptsize\sf{\sf x^3-kx=(3a^2-k)x-2a^3}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^3-3a^2x+2a^3=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (x-a)^2(x+2a)=0}$
$\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=a\ ,\ -2a}$
よって、点Bのx座標は$\scriptsize\sf{\sf \underline{\ -2a}}$
上式を因数分解する際、x=aで接しているので、(x－a)2 が因数となるはず。
これに気づくと計算が楽です。
(2)
L2の方程式は、(1)で求めたL1において
aを－2aとしたものなので、
$\scriptsize\sf{\sf y=(12a^2-k)x+16a^3}$ ．
L1とL2が直交するので、傾きの積が－1であればよい。
$\scriptsize\sf{\sf (3a^2-k)(12a^2-k)=-1}$ ････①
(3)
① $\scriptsize\sf{\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 36a^4-15ka^2+k^2+1=0}$
ここで、$\scriptsize\sf{\sf t=a^2}$ とおくと、$\scriptsize\sf{\sf t\gt 0}$ ．
さらに、$\scriptsize\sf{\sf f(ｔ)=36ｔ^2-15kｔ+k^2+1}$ とおくと、
ｔについての方程式f(ｔ)=0がｔ＞0の範囲に実数解をもてばよい。
$\scriptsize\sf{\sf f（0）=k^2+1\gt 0}$ なので、右図より、
軸＞0 かつ 頂点のy座標≦0
であればよい。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=36\left(x-\frac{5}{24}k\right)^2-\frac{9}{16}k^2+1\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(t)=\frac{5}{24}k>0\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{9}{16}k^2+1\leqq 0\end{align*}}$
であればよい。
これらを解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k \geqq \frac{4}{3}\end{align*}}$
知っているとは思いますが、解に範囲がある場合は、判別式だけではダメです。
・軸の位置
・特別な値のxに対する関数値の符号（今の場合はf(0)の符号）
・判別式（または、頂点のy座標の符号）
この3つを考えましょう。
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- 2011/10/25(火) 23:57:00|
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第2問
平面上の三角形OABを考え、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}=\overrightarrow{\sf OA}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf OB}\ \ ,\ \ t=\frac{|\overrightarrow{\sf a}|}{2|\overrightarrow{\sf b}|}\end{align*}}$
とおく。辺OAを1：2に内分する点をCとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OD}=t\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ となる点Dとする。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ が直交し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ が直交するとき、次の問いに答えよ。
(1) ∠AOBを求めよ。
(2) ｔの値を求めよ。
(3) ADとBCの交点をPとするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$ を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
AD⊥OBより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=\left(\overrightarrow{\sf OD}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(t\overrightarrow{\sf b}-\overrightarrow{\sf a}\right)\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t\ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$ ････①
①と内積の定義より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos \angle AOB =\frac{\left|\overrightarrow{\sf a}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|}{\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}}=\frac{1}{2}\end{align*}}$
∠AOBは三角形の内角なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \angle AOB =\underline{\ \frac{\pi}{3}\ \ }\end{align*}}$
(2)
BC⊥OAより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BC}\cdot\overrightarrow{\sf OA}=\left(\overrightarrow{\sf OC}-\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{\sf a}-\overrightarrow{\sf b}\right)\cdot\overrightarrow{\sf a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2-\overrightarrow{\sf a}\cdot\overrightarrow{\sf b}=0\end{align*}}$ ････②
①、②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|\ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|=\frac{1}{3}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \ \left|\overrightarrow{\sf b}\right|=\frac{2}{3}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|\ \ \ \ \ (\ \because\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|\ne0\ )\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{|\overrightarrow{\sf a}|}{2|\overrightarrow{\sf b}|}=\frac{|\overrightarrow{\sf a}|}{\frac{4}{3}\ \left|\overrightarrow{\sf a}\right|}=\underline{\ \frac{3}{4}\ \ }\end{align*}}$
まぁここまでは計算だけなので、極端な話、図すら必要ないです。
(3)
メネラウスの定理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{CA}{OC}\times\frac{PD}{AP}\times\frac{OB}{DB}=\frac{2}{1}\times\frac{PD}{AP}\times\frac{4}{1}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{PD}{AP}=\frac{1}{8}\end{align*}}$ ．
よって、AP：PD=8：1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\frac{\overrightarrow{\sf OA}+8\overrightarrow{\sf OD}}{8+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf OA}+6\overrightarrow{\sf OB}}{9}\ \ \ (\because\ \ (2)\ )\ \ }\end{align*}}$
面倒なので、メネラウスでごまかしておきましょう＾＾
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- 2011/10/26(水) 23:57:00|
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第3問
次のような、いびつなさいころを考える。1，2，3の目が出る確率はそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$ 、
4の目が出る確率はa、5，6の目が出る確率はそれぞれ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}-\frac{a}{2}\end{align*}}$ である。ただし、
0≦a≦ $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ とする。
このさいころを振ったとき、平面上の(x，y)にある点Pは、1，2，3のいずれかの
目が出ると、(x+1，y)に、4の目が出ると、(x，y+1)に、5，6のいずれかの目
が出ると(x－1，y－1)に移動する。
原点(0，0)にあった点Pが、k回さいころを振ったときに(2，1)にある確率をpk
とする。
(1) p1、p2、p3を求めよ。
(2) p6を求めよ。
(3) p6が最大になるときのaの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3種類の移動を、次のようにA、B、Cとする。
移動A： (x，y)→(x+1，y)
確率= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\times3=\frac{1}{2}\end{align*}}$
移動B： (x，y)→(x，y+1)
確率=a
移動C： (x，y)→(x－1，y－1)
確率= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{4}-\frac{a}{2}\right)\times2=\frac{1}{2}-a\end{align*}}$
(1)
(0，0)から(2，1)まで移動するには、少なくとも3回の移動が必要なので、
p1=p2= 0
3回で(2，1)まで移動するには、移動Aが2回、移動Bが1回なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_3=\frac{3!}{2!}\left(\frac{1}{2}\right)^2a=\underline{\ \frac{3}{4}a\ \ }\end{align*}}$
(2)
6回の移動のうち、移動Aがx回、移動Bがy回、移動Cがz回だとすると、
x+y+z=6
x－z=2
y－z=1
これらを連立させて解くと、
x=3、y=2、z=1
移動Aが3回、移動Bが2回、移動Cが1回になる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_6=\frac{6!}{3!\ 2!}\left(\frac{1}{2}\right)^3a^2\left(\frac{1}{2}-a\right)=\underline{\ \frac{15}{4}\left(-2a^3+a^2\right)\ \ }\end{align*}}$
最後の式の $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6!}{3!\ 2!}\end{align*}}$ は、
3回のA、2回のB、1回のCの順序を考えています（同じものを含む順列）
(3)
p6はaの関数と見なすことができるので、aで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dp_6}{da}=\frac{15}{4}\left(-6a^2+2a\right)=-\frac{15}{2}\ a\left(3a-1\right)\end{align*}}$.
増減表は下の通りになる。
| a | 0 | ・・・ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ | ・・・ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ |
| $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dp_6}{da}\end{align*}}$ | 0 | + | 0 | － | |
| $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p_6\end{align*}}$ | 0 | ↗ | 最大 | ↘ | 0 |
よって、p6が最大となるときのaの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{1}{3}\ \ }\end{align*}}$
(2)さえできていれば問題ないでしょう。
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- 2011/10/27(木) 23:57:00|
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