第1問
複素数平面上の3点A(z1)、B(z2)、C(z3)は正三角形の頂点であり、
左まわり（反時計まわり）に並んでいるとする。次の問に答えよ。
(1) 2つの複素数 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}\ ,\ \frac{z_2-z_3}{z_1-z_3}\end{align*}}$ の値を求めよ．
(2) z1=2i、 z2=－2－2$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ iのとき、z3の値を求めよ。ただし、
iは虚数単位とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
角度は左回りの向きを正とする。
(1)
BA=CA かつ ∠CAB=－60°より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1} \right|=1\ \ ,\ \ arg\frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=-\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2-z_1}{z_3-z_1}=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)=\underline{\ \frac{1-\sqrt3\ i}{2}}\end{align*}}$
AC=BC かつ ∠ACB=60°より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left|\frac{z_2-z_3}{z_1-z_3} \right|=1\ \ ,\ \ arg\frac{z_2-z_3}{z_1-z_3}=\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_2-z_3}{z_1-z_3}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\underline{\ \frac{1+\sqrt3\ i}{2}}\end{align*}}$
(2)
(1)と同様に考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}=\frac{1+\sqrt3\ i}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf z_3=\frac{1+\sqrt3\ i}{2}\left(z_2-z_1\right)+z_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1+\sqrt3\ i}{2}\left(-2-2\sqrt2 i-2i\right)+2i\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left( -1+\sqrt3+\sqrt6\right)+\left(1-\sqrt2-\sqrt3 \right)i}\end{align*}}$
基本的な問題ですね。
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- 2014/02/23(日) 23:54:00|
- 大学入試(数学) .関西の国立大学 .神戸大 文系 2003
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第3問
aは1より大きい定数とする。関数$\small\sf{\sf f(x)=(x+a)(x+1)(x-a)}$ について、
次の問に答えよ。
(1) f(x)は$\small\sf{\sf x=\alpha}$ と$\small\sf{\sf x=\beta\ \ (\alpha\lt \beta)}$ で極値をとるとする。2点$\small\sf{\sf (\alpha\ ,\ f(\alpha))}$ と
$\small\sf{\sf (\beta\ ,\ f(\beta))}$ を結ぶ直線の傾きが、点(－1，0)における曲線y=f(x)の
接線の傾きと等しいとき、aの値を求めよ。
(2) f(x)の導関数をf’(x)とする。aが(1)で求めた値をとるとき、曲線
y=f’(x)とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)およびf’(x)は
$\scriptsize\sf{\sf f(x)=x^3+x^2-a^2x-a }$
$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=3x^2+2x-a^2}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\sf f'(1)=1-a^2}$ ……①
また、方程式$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=0}$ ……②の判別式をDとすると、
$\scriptsize\sf{\sf D/4=1+3a^2\gt 0}$
なので、②は2つの異なる実数解をもつ。
題意より、その2解は$\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ なので、解と係数の関係より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha +\beta=-\frac{2}{3}\ \ ,\ \ \alpha\beta=-\frac{a^2}{3}\end{align*}}$ ……③
となる。
2点$\scriptsize\sf{\sf (\alpha\ ,\ f(\alpha))}$ と$\scriptsize\sf{\sf (\beta\ ,\ f(\beta))}$ を結ぶ直線の傾きは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ (\beta)-f\ (\alpha)}{\beta-\alpha}=\frac{\left(\beta^3-\alpha^3 \right)+\left(\beta^2-\alpha^2\right)-a^2\left(\beta-\alpha \right)}{\beta-\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)+\left(\beta+\alpha\right)-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \alpha+\beta\right)^2-\alpha\beta+\left(\beta+\alpha\right)-a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-\frac{2}{3}\right)^2+\frac{a^2}{3}-\frac{2}{3}-a^2\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{2}{3}a^2-\frac{2}{9}\end{align*}}$
となり、これと①が等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{2}{3}a^2-\frac{2}{9}=1-a^2\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=\frac{11}{3}\end{align*}}$ ．
題意よりa＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a=\frac{\sqrt{33}}{3}}\end{align*}}$
となる。
(2)
aが(1)の値をとるとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=3x^2+2x-\frac{11}{3}\end{align*}}$
となるので、$\scriptsize\sf{\sf f'(x)=0}$ の2解$\scriptsize\sf{\alpha\ ,\ \beta}$ の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \alpha=\frac{-1-2\sqrt3}{3}\ \ ,\ \ \beta=\frac{-1+2\sqrt3}{3}\end{align*}}$ ……④
よって、曲線$\scriptsize\sf{\sf y=f'(x)}$ とx軸で囲まれた部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{\alpha}^{\beta}\left\{- \left(3x^2+2x-\frac{11}{3} \right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-3\int_{\alpha}^{\beta}\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{6}\left( \beta-\alpha\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left( \frac{-1+2\sqrt3}{3}-\frac{-1-2\sqrt3}{3}\right)^3\end{align*}}$ ←④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left( \frac{4\sqrt3}{3}\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{32\sqrt3}{9}}\end{align*}}$
となる。
そのまま計算しましょう！
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- 2014/02/24(月) 23:59:00|
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