第1問
平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2：3に内分する点をM、
辺ABを2：3に内分する点をN、辺BCをt：1－tに内分する点をLとし、
ALとCNの交点をPとする。次の問に答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BA}=\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BC}=\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ 、tを用いて表せ。
(2) 3点P、M、Dが一直線上にあるとき、tの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
まず題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BD}=\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BM}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf a}\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf BL}=t\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ……(*)
メネラウスの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{NB}{AN}\cdot\frac{CL}{BC}\cdot\frac{PA}{LP}=\frac{3}{2}\cdot\frac{1-t}{1}\cdot\frac{PA}{LP}=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{PA}{LP}=\frac{2}{3(1-t)}\end{align*}}$
となるので、PはALを2：3(1－t)に内分する点である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf BP}=\frac{3(1-t)}{2+3(1-t)}\overrightarrow{\sf BA}+\frac{2}{2+3(1-t)}\overrightarrow{\sf BL}=\underline{\ \frac{3(1-t)}{5-3t}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2t}{5-3t}\overrightarrow{\sf c}}\end{align*}}$
(2)
P、M、Dが一直線上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf DP}=k\ \overrightarrow{\sf DM}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf BP}-\overrightarrow{\sf BD}=k\overrightarrow{\sf BM}-k\overrightarrow{\sf BD}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\frac{3(1-t)}{5-3t}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2t}{5-3t}\overrightarrow{\sf c}\right)-\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\right)=k\left(\frac{3}{5}\overrightarrow{\sf a}+\frac{2}{5}\overrightarrow{\sf c}\right)-k\left(\overrightarrow{\sf a}+\overrightarrow{\sf c}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{-2}{5-3t}\overrightarrow{\sf a}+\frac{-5+5t}{5-3t}\overrightarrow{\sf c}=-\frac{2k}{5}\overrightarrow{\sf a}-\frac{3k}{5}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$
と表すことができる。
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf a}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-2}{5-3t}=-\frac{2k}{5}\end{align*}}$ かつ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-5+5t}{5-3t}=-\frac{3k}{5}\end{align*}}$
となり、これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\frac{2}{5}}\end{align*}}$
基本的な問題ですね。
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- 2014/02/21(金) 23:54:00|
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第2問
aを正の実数とする。関数f(x)=－x2+axについて次の問に答えよ。
(1) 曲線y=f(x)上の点P(t，f(t))を通る接線の方程式をa、tを用いて表せ。
(2) 点A(－a，4a2－5a+2)から曲線y=f(x)へ接線が2本引けることを示せ。
(3) その2本の接線のうち接点のx座標が大きい方の接線をL、接点を
P(t，f(t))とする。このとき、0＜t＜aをみたすためのaの範囲を求めよ。
(4) a=1のとき、直線x=－1、接線Lと曲線y=f(x)で囲まれた図形の面積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
f’(x)=－2x+a
なので、P(t，f(t))を通る接線（mとする）は、
y－(－t2+at)=(－2t+a)(x－t)
⇔ y=(－2t+a)x+t2
となる。
(2)
mが点A(－a，4a2－5a+2)を通るとすると、
4a2－5a+2=－(－2t+a)a+t2
⇔ t2+2at－5a2+5a－2=0 ……①
①をtについての2次方程式と見なして、判別式をDとすると、
D/4=a2－（－5a2+5a－2)
=6a2－5a+2
であり、平方完成することにより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D/4=6\left(a-\frac{5}{12}\right)^2+\frac{23}{24}>0\end{align*}}$
なので、①はつねに異なる2つの実数解をもつ。
放物線においては、異なる接点における接線は異なるので、
Aを通るような接線が2本存在することになり、題意は示された。
(3)
①の左辺をtの関数をみなしてg(t)とおくと、
①の大きい方の解tが0＜t＜aを満たすとき、
g(t)のグラフは右図のようになるので、
g(0)＜0 ……② かつ g(a)＞0 ……③
になればよい。
②について、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)=5a^2-5a+2=5\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\end{align*}}$
となるので、常に成り立つ。
③については、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(a)=-2a^2+5a-2=-\left(2a-1\right)\left(a-2 \right)>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2} となるので、求めるaの値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{2}\lt a<2}\end{align*}}$
である。
(4)
a=1のとき
f(x)=－x2+x
m：y=(－2t+1)x+t2
g(t)=t2+2t－2
であり、Pのx座標は、①の解の大きい方
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=-1+\sqrt3\end{align*}}$ ……④
である。
直線x=－1、接線Lと曲線y=f(x)で囲まれた
図形は右図のようになるので、その面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-1}^t\left\{\left(-2t+1 \right)x+t^2-\left(-x^2+x\right)\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^t\left( x-t\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}\left( x-t\right)^3\bigg]_{-1}^t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{3}\left( -1-t\right)^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt3}\end{align*}}$ ←④より
特に難しいところはないと思います。
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- 2014/02/21(金) 23:57:00|
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第3問
初項が1で公差が自然数dである等差数列の初項から第n項までの
和をSnとする。n≧3のとき、次の問に答えよ。
(1) Sn=94となるnとdがちょうど一組ある。そのnとdを求めよ。
(2) Sn=98となるnとdの組はない。その理由を述べよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}n\left\{2+d(n-1)\right\}=94\ \ \Leftrightarrow\ \ n\left\{2+d(n-1)\right\}=188\end{align*}}$
なので、nおよび2+d(n－1)は188の約数である。
ここで、dは自然数なので、
2+d(n－1)≧2+(n－1)=n+1
より、
2+d(n－1)＞n ……(A)
である。
2数の積が188になるのは、
188=1×188
188=2×94
188=4×47
のいずれかなので、(A)とn≧3を満たすのは、n=4のみである。
このとき、
2+d(n－1)=2+3d=47 ⇔ d=15．
(2)
題意より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}n\left\{2+d(n-1)\right\}=98\ \ \Leftrightarrow\ \ n\left\{2+d(n-1)\right\}=196\end{align*}}$
なので、nおよび2+d(n－1)は196の約数である。
2数の積が196になるのは、
196=1×196
196=2×98
196=4×49
196=7×28
196=14×14
のいずれかなので、(A)とn≧3を満たすのは、
n=4 または n=7
のときである。
・n=4のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+3d=49\ \ \Leftrightarrow\ \ d=\frac{47}{3}\end{align*}}$
・n=7のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2+6d=28\ \ \Leftrightarrow\ \ d=\frac{13}{3}\end{align*}}$
いずれの場合もdは自然数とならない。
よって、Sn=98となるnとdの組は存在しないので、題意は示された。
直感的には(A)が成り立つような気がしますが、
気づかなかったとても、すべての場合をシラミつぶしに検証していくだけです！
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- 2014/02/22(土) 22:22:22|
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