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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014立命館大 理系(2月3日) 数学1



第1問

  aを実数とし、定点P(a,-3a2)と3次曲線
       C:y=x3-3x2
  を考える。

 (1) 曲線C上の点(t,t3-3t2)における接線の方程式は
       y= ア 
    であり、この接線が点Pを通るための必要十分条件は
    tが方程式
       2t3-3( イ  )t2+ ウ  t- エ  =0  ……①
    を満たすことである。①の左辺をtの関数と考えてg(t)とおく。
    このとき導関数g’(t)は
       g’(t)=6(t- オ  )(t- カ  )
    であり、g( オ  )g( カ  )をaの多項式として因数分解すると、
       g( オ  )g( カ  )= キ 
    となる。

 (2) 点Pから曲線Cに3本の接線が引けるaの範囲は
       a< ク  、  ク  <a< ケ 
    である。



2014立命館大 理系(2月3日) 数学2



第2問

  曲線C:y=logx上に点P0をとり、そのx座標をpとする。ただし、対数は
  自然対数とする。P0における曲線Cの接線とy軸の交点をQ1とすると、
  Q1のy座標は コ  である。Q1を通りx軸に平行な直線と曲線Cとの交点
  をP1とすると、P1のx座標は サ  である。
  次に、P1における曲線Cの接線とy軸との交点をQ2とし、Q2を通りx軸に
  平行な直線と曲線Cとの交点をP2とする。この操作を続けて、y軸上の点Q1
  Q2、…、Qk、…と曲線C上の点P1、P2、…、Pk、…を定める。このとき、
  点Qkのy座標は シ  、点Pkのx座標は ス  である。2直線Pk-1Qk
  QkPkと曲線Cで囲まれた図形の面積をSkとすると
         S1= セ 
         Sk= ソ  Sk-1 (k≧2)
         $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\end{align*}}$  タ 
  である。



2014立命館大 理系(2月3日) 数学3



第3問

  a>0として、関数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(2a-\frac{1}{a}\right)\cos^2x+6\cos x\sin x+\left(\frac{2}{a}-a\right)\sin^2x\end{align*}}$
  を考える。f(x)をcos2x、sin2xを用いて表すと、
        f(x)= チ  cos2x+ ツ  sin2x+ テ 
  である。f(x)の最大値をM、最小値をmとすると、
        M= ト 
        m= ナ 
  である。0≦x≦$\small\sf{\pi}$ の範囲における、xについての方程式f(x)=Mの
  解をx1、f(x)=mの解をx2とすると、
        cosx1= ニ 
        cosx2= ヌ 
        x1-x2= ネ 
  である。aを変化させるとき、積Mmのとりうる値の範囲は
        Mm≦ ノ 
  である。



2014立命館大 理系(2月3日) 数学4



第4問

  1個のさいころを4回投げて、出た目を順にX、Y、Z、Wとする。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=1\end{align*}}$ となる確率は ハ  であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=2\end{align*}}$ となる確率は ヒ  である。
  また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}\end{align*}}$ が整数となる確率は フ  である。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=1\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=1\end{align*}}$ となる確率は ヘ  である。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=2\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ となる
  確率は ホ  である。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=3\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ である確率および$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=\frac{3}{2}\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ である確率は共に
   マ  である。
  $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{XY}{ZW}=1\end{align*}}$ である確率は ミ  である。