青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2014(2/3)

2014立命館大　理系（2月3日）　数学１

第1問

　　aを実数とし、定点P(a，－3a²)と3次曲線
　　　　　　　C：y=x³－3x²
　　を考える。

　(1) 曲線C上の点(t，t³－3t²)における接線の方程式は
　　　　　　　y=　ア　
　　　であり、この接線が点Pを通るための必要十分条件は
　　　 tが方程式
　　　　　　　2t³－3(　イ　 )t²+　ウ　 t－　エ　 =0　　……①
　　　を満たすことである。①の左辺をtの関数と考えてg(t)とおく。
　　　このとき導関数g’(t)は
　　　　　　　g’(t)=6(t－　オ　 )(t－　カ　 )
　　　であり、g(　オ　 )g(　カ　 )をaの多項式として因数分解すると、
　　　　　　　g(　オ　 )g(　カ　 )=　キ　
　　　となる。

　(2) 点Pから曲線Cに3本の接線が引けるaの範囲は
　　　　　　　a＜　ク　、　　ク　＜a＜　ケ　
　　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ア 3t(t－2)x－2t³+3t²　　　　イ a+1　　　　ウ 6a　　　　エ 2a²

　　オ 1　　　　カ a　　　　キ a²(a－1)²(2a－1)　　　　ク 0　　　　ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　Cの導関数は、y’=3x²－6x なので、点(t，t³－3t²)における接線は
　　　　　　　　y－(t³－3t²)=(3t²－6t)(x－t)
　　　　　　⇔　y=3t(t－2)x－2t³+3t²．　　……ア
　　　であり、これが点Pを通るので、
　　　　　　　　－3a²=3t(t－2)a－2t³+3t²
　　　　　　⇔　2t³－3(a+1)t²+6at－2a²=0　　……イウエ
　　　この式の左辺がg(t)なので、
　　　　　　　　g(t)=2t³－3(a+1)t²+6at－2a²
　　　　　　　　g’(t)=6t²－6(a+1)t+6a
　　　　　　　　　　　 =6(t－1)(t－a)　　　……オカ
　　　より、
　　　　　　　　g(1)g(a)=(－2a²+3a－1)(－a³+a²)
　　　　　　　　　　　　　 =a²(a－1)²(2a－1)　　……キ

　(2)
　　　3次曲線の場合、異なる接点における接線が一致することはないので、
　　　　　　　　PからCに3本の接線が引ける
　　　　　　⇔　接点が3個
　　　　　　⇔　①が異なる3つの解をもつ
　　　　　　⇔　y=g(t)のグラフがt軸と異なる3点で交わる
　　　　　　⇔　g(t)の極大値と極小値が存在し、その値が異符号である
　　　　　　⇔　g(1)g(a)＜0
　　　なので、求める条件は、(1)より
　　　　　　　　a²(a－1)²(2a－1)＜0
　　　　　　⇔　a＜0、 0＜a＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　……クケ

　　(2)の考え方は有名な話ですよね。　　

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2018/12/03(月) 02:05:00|

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2014立命館大　理系（2月3日）　数学２

第2問

　　曲線C：y=logx上に点P₀をとり、そのx座標をpとする。ただし、対数は
　　自然対数とする。P₀における曲線Cの接線とy軸の交点をQ₁とすると、
　　Q₁のy座標は　コ　である。Q₁を通りx軸に平行な直線と曲線Cとの交点
　　をP₁とすると、P₁のx座標は　サ　である。
　　次に、P₁における曲線Cの接線とy軸との交点をQ₂とし、Q₂を通りx軸に
　　平行な直線と曲線Cとの交点をP₂とする。この操作を続けて、y軸上の点Q₁、
　　Q₂、…、Q_k、…と曲線C上の点P₁、P₂、…、P_k、…を定める。このとき、
　　点Q_kのy座標は　シ　、点P_kのx座標は　ス　である。2直線P_k-1Q_k、
　　Q_kP_kと曲線Cで囲まれた図形の面積をS_kとすると
　　　　　　　　　S₁=　セ　
　　　　　　　　　S_k=　ソ　 S_k-1　（k≧2）
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\end{align*}}$ 　タ　
　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p-1\end{align*}}$　　　　サ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{e}\end{align*}}$　　　　シ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log p-k\end{align*}}$　　　　ス $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{p}{e^k}\end{align*}}$　　　　セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e-2}{2e}p\end{align*}}$　　　　

　　ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$　　　　タ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{e-2}{2(e-1)}p\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　Cの導関数は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y\ '=\frac{1}{x}\end{align*}}$ なので、点P₀における接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\log p=\frac{1}{p}(x-p)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{p}x+log p-1\end{align*}}$
　　　なので、y軸との交点Q₁の座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0, log p-1\right)\end{align*}}$ である。
　　　さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\log p-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{p}{e}\end{align*}}$
　　　より、P₁の座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{p}{e},\log p-1 \right)\end{align*}}$ である。

　　　同様にして、P_k-1の座標を(x_k-1，y_k-1)とすると、
　　　P_k-1におけるCの接線は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-y_{k-1}=\frac{1}{x_{k-1}}\left(x-x_{k-1} \right)\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{1}{x_{k-1}}x+\log x_{k-1}-1\end{align*}}$
　　　となるので、y軸との交点Q_kの座標は$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(0, log x_{k-1}-1\right)\end{align*}}$ である。
　　　さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x=\log x_{k-1}-1\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{x_{k-1}}{e}\end{align*}}$
　　　より、P_kの座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{x_{k-1}}{e},\log x_{k-1}-1 \right)\end{align*}}$ である。
　　　すなわち、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\frac{1}{e}x_{k-1}\end{align*}}$
　　　なので、数列{x_k}は等比数列をなす。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_k=\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}x_1=\underline{\ \frac{p}{e^k}}\end{align*}}$　　……ス
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_k=\log x_k=\log\frac{p}{e^k}=\underline{\ \log p-k}\end{align*}}$　　……シ

　　　S₁は、右図において
　　　　　　　　赤色の台形－青色の長方形－緑色部分
　　　として求めることができるので、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\frac{1}{2}p\cdot\left\{\log p+(log p-1)\right\}-\frac{p}{e}(\log p-1)-\int_{\frac{p}{e}}^p\log x\ dx\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p\log p-\frac{1}{2}p-\frac{p}{e}\log p+\frac{p}{e}-\bigg[x\log x-x\bigg]_{\frac{p}{e}}^p\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =p\log p-\frac{1}{2}p-\frac{p}{e}\log p+\frac{p}{e}-p\log p+p+\frac{p}{e}\log\frac{p}{e}-\frac{p}{e}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}p+\frac{p}{e}\log\frac{1}{e}\end{align*}}$
　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e-2}{2e}p\ }\end{align*}}$　　……セ

　　同様に、S_kおよびS_k-1の面積は　
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_k=\frac{e-2}{2e}x_{k-1}=\frac{e-2}{2e}\cdot\frac{p}{e^k}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k-1}=\frac{e-2}{2e}\cdot\frac{p}{e^{k-1}}\end{align*}}$
　　となり、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\frac{1}{e}\ S_{k-1}\end{align*}}$　　……ソ
　　より、数列{S_k}は等比数列をなすので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{k}=\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}\ S_{1}=\frac{e-2}{2e}p\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}\end{align*}}$ ．
　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty}S_k=\frac{e-2}{2e}p\cdot\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^k\left(\frac{1}{e}\right)^{n-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-2}{2e}p\cdot\lim_{k\rightarrow\infty}\frac{1-\left(\frac{1}{e}\right)^{k-1}}{1-\frac{1}{e}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{e-2}{2e}p\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{e}}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{e-2}{2(e-1)}p}\end{align*}}$　　……タ

　　丁寧にどうぞ。　　

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2018/12/03(月) 02:06:00|

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2014立命館大　理系（2月3日）　数学３

第3問

　　a＞0として、関数
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(2a-\frac{1}{a}\right)\cos^2x+6\cos x\sin x+\left(\frac{2}{a}-a\right)\sin^2x\end{align*}}$
　　を考える。f(x)をcos2x、sin2xを用いて表すと、
　　　　　　　　f(x)=　チ　 cos2x+　ツ　 sin2x+　テ　
　　である。f(x)の最大値をM、最小値をmとすると、
　　　　　　　　M=　ト　
　　　　　　　　m=　ナ　
　　である。0≦x≦$\small\sf{\pi}$ の範囲における、xについての方程式f(x)=Mの
　　解をx₁、f(x)=mの解をx₂とすると、
　　　　　　　　cosx₁=　ニ　
　　　　　　　　cosx₂=　ヌ　
　　　　　　　　x₁－x₂=　ネ　
　　である。aを変化させるとき、積Mmのとりうる値の範囲は
　　　　　　　　Mm≦　ノ　
　　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ツ 3　　　　テ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ト $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　

　　ナ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$　　　　ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$　　　　ヌ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\end{align*}}$　　　　ネ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\end{align*}}$

　　ノ－8

【解説】

　(1)
　　　倍角公式を用いると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\left(2a-\frac{1}{a}\right)\frac{1+\cos2x}{2}+6\cos x\sin x+\left(\frac{2}{a}-a\right)\frac{1-\cos2x}{2}\end{align*}}$　
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\cos2x+3\sin2x+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　となる。
　　　さらに、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{\left\{\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right) \right\}^2+3^2}=\frac{3}{2}\sqrt{\left(a+\frac{1}{a}\right)^2}=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\ (>0)\end{align*}}$
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin p=\frac{\frac{3}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)}{\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}=\frac{a^2-1}{a^2+1}\ \ ,\ \ \cos p=\frac{3}{\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)}=\frac{2a}{a^2+1}\end{align*}}$
　　　となるようなpを用いて
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(\cos2x \sin p+\sin2x \cos p\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\ \sin\left(2x+p\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)\end{align*}}$
　　　と合成できるので、f(x)の最大値Mおよび最小値mは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf M=\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\underline{\ 2\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=-\frac{3}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)+\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right)=\underline{\ -\left(a+\frac{1}{a}\right)}\end{align*}}$
　　　である。
　　　ここで、a＞0より、cosp＞0なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}\lt p<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$　　……①

　　　また、p≦2x₁+p≦p+2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x_1+p=\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x_1=\frac{\pi}{4}-\frac{p}{2}\end{align*}}$
　　　であり、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt x_1<\frac{\pi}{2}\end{align*}}$
　　　となるので、cosx₁＞0である。
　　　半角公式より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos ^2x_1=\frac{1+\cos2x_1}{2}=\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-p\right)}{2}=\frac{1+\sin p}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x_1=\sqrt{\frac{1+\sin p}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{a^2-1}{a^2+1}}{2}}=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-1}}=\underline{\ \frac{a}{\sqrt{a^2+1}}}\ \ (>0)\end{align*}}$

　　　同様に、p≦2x₂+p≦p+2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2x_2+p=\frac{3}{2}\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ x_2=\frac{3}{4}\pi-\frac{p}{2}\end{align*}}$
　　　であり、①より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\lt x_2<\pi\end{align*}}$
　　　となるので、cosx₂＜0である。
　　　半角公式より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos ^2x_2=\frac{1+\cos2x_2}{2}=\frac{1+\cos\left(\frac{3}{2}\pi-p\right)}{2}=\frac{1-\sin p}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos x_2=-\sqrt{\frac{1-\sin p}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{a^2-1}{a^2+1}}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{a^2-1}}=\underline{\ -\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ \ (<0)}\end{align*}}$

　　　さらに、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1-x_2=\left(\frac{\pi}{2}-\frac{p}{2} \right)-\left(\frac{3}{2}\pi-\frac{p}{2}\right)=\underline{\ -\frac{\pi}{2}}\end{align*}}$

　　　a＞0なので、相加相乗平均の関係を用いると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a+\frac{1}{a}\geqq 2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=2\end{align*}}$　　……②
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Mm=-2\left(a+\frac{1}{a} \right)^2\end{align*}}$
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq -2\cdot 2^2=\underline{\ -8}\end{align*}}$　　←②より

　　符号など細かい部分に気をつけましょう。　　

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2018/12/03(月) 02:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.立命館大　理系　2014(2/3)

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2014立命館大　理系（2月3日）　数学４

第4問

　　1個のさいころを4回投げて、出た目を順にX、Y、Z、Wとする。
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=1\end{align*}}$ となる確率は　ハ　であり、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=2\end{align*}}$ となる確率は　ヒ　である。
　　また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}\end{align*}}$ が整数となる確率は　フ　である。
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=1\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=1\end{align*}}$ となる確率は　ヘ　である。$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=2\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ となる
　　確率は　ホ　である。
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=3\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ である確率および$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=\frac{3}{2}\end{align*}}$ かつ$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ である確率は共に
　　　マ　である。
　　$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{XY}{ZW}=1\end{align*}}$ である確率は　ミ　である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{6}\end{align*}}$　　　　ヒ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{12}\end{align*}}$　　　　フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{18}\end{align*}}$　　　　ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{36}\end{align*}}$　　　　ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{144}\end{align*}}$　　　　

　　マ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{324}\end{align*}}$　　　　ミ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{43}{648}\end{align*}}$

【解説】

　　　各X、Yに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}\end{align*}}$ の値は下表のようになる。

　　　　　　　　　

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=1\end{align*}}$ となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{36}=\frac{1}{6}\end{align*}}$　　……ハ

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}=2\end{align*}}$ となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{36}=\frac{1}{12}\end{align*}}$　　……ヒ

　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Y}\end{align*}}$ が整数となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{14}{36}=\frac{7}{18}\end{align*}}$　　……フ

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}\ ,\ \frac{Y}{W}\end{align*}}$ の値も表のようになるので、
　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=1\end{align*}}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=1\end{align*}}$ となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{6}{36}\cdot\frac{6}{36}=\frac{1}{36}\end{align*}}$　　……ヘ

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=2\end{align*}}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{2}\end{align*}}$ となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{36}\cdot\frac{3}{36}=\frac{1}{144}\end{align*}}$　　……ホ

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=3\end{align*}}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{1}{3}\end{align*}}$ である確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{36}\cdot\frac{2}{36}=\frac{1}{324}\end{align*}}$　　……マ

　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{X}{Z}=\frac{3}{2}\end{align*}}$ かつ$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{Y}{W}=\frac{2}{3}\end{align*}}$ である確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{36}\cdot\frac{2}{36}=\frac{1}{324}\end{align*}}$　　……マ

　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{XY}{ZW}=1\end{align*}}$ となるような $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{X}{Z}\ ,\ \frac{Y}{W} \right)\end{align*}}$ の組は、次の通り。

　　　　　　　　(1，1)　……確率 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{36}\end{align*}}$

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(2,\frac{1}{2} \right)\ ,\ \left(\frac{1}{2}, 2 \right)\end{align*}}$　……それぞれ確率$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{144}\end{align*}}$

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(3,\frac{1}{3} \right)\ ,\ \left(\frac{1}{3}, 3 \right)\ ,\ \left(\frac{3}{2},\frac{2}{3}\right)\ ,\ \left(\frac{2}{3},\frac{3}{2}\right)\end{align*}}$　……それぞれ確率$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{324}\end{align*}}$

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(4,\frac{1}{4} \right)\ ,\ \left(\frac{1}{4}, 4 \right)\ ,\ \left(5,\frac{1}{5} \right)\ ,\ \left(\frac{1}{5}, 5 \right)\ ,\ \left(6,\frac{1}{6} \right)\ ,\ \left(\frac{1}{6}, 6 \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{2},\frac{2}{5} \right)\ ,\ \left(\frac{2}{5},\frac{5}{2} \right)\ ,\ \left(\frac{4}{3},\frac{3}{4} \right)\ ,\ \left(\frac{3}{4},\frac{4}{3} \right)\ ,\ \left(\frac{5}{3},\frac{3}{5} \right)\ ,\ \left(\frac{3}{5},\frac{5}{3} \right)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{5}{4},\frac{4}{5} \right)\ ,\ \left(\frac{4}{5},\frac{5}{4} \right)\ ,\ \left(\frac{6}{5},\frac{5}{6} \right)\ ,\ \left(\frac{5}{6},\frac{6}{5} \right)\end{align*}}$　……それぞれ確率$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{1296}\end{align*}}$

　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{XY}{ZW}=1\end{align*}}$ となる確率は、

　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{36}+\frac{1}{144}\cdot 2+\frac{1}{324}\cdot 4+\frac{1}{1296}\cdot 16=\underline{\ \frac{43}{648}}\end{align*}}$

　　頑張って数えましょう！　　

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Author:シケタキオア
　
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毎日、大学入試数学を解いて
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