第1問
4次関数f(x)=x4+ax2+bx+12はx=1で極値13をとる。ただし、
a、bは実数とする。
(1) a= ア 、b= イ である。また、f(x)はx=1以外では、
x= ウ で極小値 エ 、x= オ で極大値 カ をとる。
(2) 直線Lが曲線y=f(x)と異なる2点で接しているとする。このとき、
直線Lの方程式は、y= キ であり、2つの接点のx座標は
ク 、 ケ である。また、直線Lと曲線y=f(x)で囲まれた
部分の面積は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア －4 イ 4 ウ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1-\sqrt5}{2}\end{align*}}$ エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\left(3-\sqrt5 \right)\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{-1+\sqrt5}{2}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{2}\left(3+\sqrt5 \right)\end{align*}}$ キ 4x+8 ク $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt2\end{align*}}$ ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ コ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{64}{15}\sqrt2\end{align*}}$
【解説】
(1)
f(x)の導関数は、f’(x)=4x3+2ax+b であり、x=1で極値13を
とるので、
f(1)=a+b+13=13
f’(1)=4+2a+b=0
これらを連立させて解くと、a=－4、b=4 を得る。
逆にこのとき、
f(x)=x4－4x2+4x+12
f’(x)=4x3－8x+4=4(x－1)(x2+x－1)
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、確かにx=1で極小値をとるので、a=－4、b=4 ……アイ
であり、x=1以外の極値は
極小 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\left(\frac{-1-\sqrt5}{2} \right)=\frac{5}{2}\left(3-\sqrt5\right)}\end{align*}}$ ……ウエ
極大 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ f\left(\frac{-1+\sqrt5}{2} \right)=\frac{5}{2}\left(3+\sqrt5\right)}\end{align*}}$ ……オカ
(2)
Lがy軸と平行になることはないので、L：y=mx+nとおく。
これとy=f(x)を連立させると、
x4－4x2+4x+12=mx+n
⇔ x4－4x2+(4－m)x+12－n=0 ……①
また、Lとy=f(x)の2つの接点を(p，f(p))(q，f(q))とおくと、
①は2つの重解p、qをもつので、①の右辺は (x－p)2(x－q)2
と因数分解される。(x－p)2(x－q)2を展開すると
x4－2(p+q)x3+(p2+q2+4pq)x2－2pq(p+q)x+p2q2
となるので、①の左辺と係数を比較すると、
－2(p+q)=0
p2+q2+4pq=(p+q)2+2pq=－4
－2pq(p+q)=4－m
p2q2=－n
となり、これらを連立させて解くと、
p+q=0、 pq=－2、 m=4、 n=8
よって、接線Lの方程式は、y=4x+8 となる。 ……キ
また、p、qは方程式x2－2=0の2解なので、
接点のx座標はx=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \pm\sqrt2\end{align*}}$ である。
さらに、y=f(x)とLで囲まれた部分の面積をSとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\left\{\left(x^4-4x^2+4x+12\right)-\left(4x+8\right)\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_0^{\sqrt2}\left(x^4-4x^2+4 \right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\frac{1}{5}x^2-\frac{4}{3}x^3+4x\right]_0^{\sqrt2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{64}{15}\sqrt2}\end{align*}}$
まぁ、よくある問題ですね。
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第2問
$\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)=t\cos t\ \ ,\ \ g(t)=t\sin t\end{align*}}$ とする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ (t)\}^2+\{g\ (t)\}^2=\end{align*}}$ サ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2=\end{align*}}$ シ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2=\end{align*}}$ ス
である。また、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '(t)\ f\ ''(t)+g\ '(t)\ g\ ''(t)}{\sqrt{\{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2}\sqrt{\{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2}}\end{align*}}$
は、t= セ のとき、最大値 ソ をとる。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt+\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt=\end{align*}}$ タ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt=\end{align*}}$ チ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt=\end{align*}}$ ツ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
サ t2 シ 1+t2 ス 4+t2 セ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ ソ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
タ 0 チ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{24}\end{align*}}$ ツ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{48}\end{align*}}$
【解説】
(1)
f(t)、g(t) の第1次および第2次導関数はそれぞれ、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(t)=\cos t-t\sin t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=\sin t+t\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ ''(t)=-\sin t+\left(-\sin t-t\cos t\right)=-2\sin t-t\cos t\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ ''(t)=\cos t+\left(\cos t-t\sin t\right)=2\cos t-t\sin t\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ (t)\}^2+\{g\ (t)\}^2=t\cos^2t+t^2\sin^2t=\underline{\ t^2}\end{align*}}$ ……サ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos^2t-2t\sin t\cos t+t^2\sin^2t\right)+\left(\sin^2t-2t\sin t\cos t+t^2\cos^2t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 1+t^2}\end{align*}}$ ……シ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(4\sin^2t+4t\sin t\cos t+t^2\cos^2t\right)+\left(4\cos^2t-4t\sin t\cos t+t^2\sin^2t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4+t^2}\end{align*}}$ ……ス
また、シの両辺をtで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2f\ '(t)\ f\ ''(t)+2g\ '(t)\ g\ ''(t)=2t\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '(t)\ f\ ''(t)+g\ '(t)\ g\ ''(t)}{\sqrt{\{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2}\sqrt{\{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2}}=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}\sqrt{4+t^2}}\end{align*}}$ ……①
であり、これが最大になるのは、t＞0のときと考えられる。
よって、①はさらに
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{t}{\sqrt{t^4+4+5t^2}}=\frac{1}{\sqrt{t^2+\frac{4}{t^2}+5}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \leqq \frac{1}{\sqrt{2\sqrt{t^2\cdot\frac{4}{t^2}}+5}}\end{align*}}$ ←t2＞0より相加・相乗
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\end{align*}}$
となる。等号成立は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^2=\frac{4}{t^2}\ \ \Leftrightarrow\ \ t^4=4\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\sqrt2\ \ (>0)\end{align*}}$
なので、①は、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sqrt2}\end{align*}}$ のとき、最大値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{1}{3}}\end{align*}}$ をとる。 ……セソ
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt+\int_0^{\pi/2}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{f\ (t)\ g\ '(t)+f\ '(t)\ g\ (t)\right\}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{f\ (t)\ g\ (t)\right\}'\ dt\end{align*}}$ ←積の微分
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[f\ (t)\ g\ (t)\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[t^2\sin t\cos t\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 0}\end{align*}}$ ……タ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt-\int_0^{\pi/2}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left\{t\cos t\left( \sin t+t\cos t\right)-t\sin t\left(\cos t-t\sin t \right)\right\}\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\left( t^2\sin^2 t+t^2\cos^2 t\right)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi/2}\ t^2\ dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}t^3\bigg]_0^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\pi}{24}}\end{align*}}$ ……チ
(タ+チ)÷2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\pi/2}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt=\underline{\ \frac{\pi}{48}}\end{align*}}$ ……ツ
まぁそのまま計算するだけなんですが、細かい部分でミスしないように！
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第3問
Eを2次の単位行列とする、
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
P3= テ 、P+P2+P3+P4+P5= ト
である。自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ を次のように定める。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{1}{0}\ \ ,\ \ \binom{x_n}{y_n}=\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+P^{n-1}\binom{1}{0}\ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
このとき、
である。（注： ヒ には行列ではなくrとnを用いた式を入れること。）
数列[un}、{vn}がともに収束するのは、rが0＜r＜ フ を満たすとき
であり、このとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} u_n\end{align*}}$ = ヘ 、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} v_n\end{align*}}$ = ホ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
テ －E ト －E ナ 0 ニ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ヌ 1 ネ 0
ノ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+r-2r^2\end{align*}}$ ハ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3r+2\sqrt3r^2\end{align*}}$ ヒ (－8r3)n-1 フ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$
ヘ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1-r}{1+2r+4r^2}\end{align*}}$ ホ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3r}{1+2r+4r^2}\end{align*}}$
【解説】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^2=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P^3=P^2\ P=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix}\cdot\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf -1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf -1 \end{pmatrix}=\underline{-E}\end{align*}}$ ……テ
これより、
P+P2+P3+P4+P5
=P+P2+(－E)+(－P)+(－P2)
=－E ……ト
また、題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=E\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_2}{y_2}=\binom{x_1}{y_1}+P\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_3}{y_3}=\binom{x_2}{y_2}+P^2\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_4}{y_4}=\binom{x_3}{y_3}+P^3\binom{1}{0}\end{align*}}$
であり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_4}{y_4}=\left(E+P+P^2+P^3\right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(P+P^2\right)\binom{1}{0}\ \ \ \ (\because P^3=-E)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 0&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{1}{0}=\underline{\ \binom{0}{\sqrt3}}\end{align*}}$ ……ナニ
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_7}{y_7}=\left(E+P+P^2+P^3+P^4+P^5+P^6\right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(E+P+P^2-E-P-P^2+E\right)\binom{1}{0}\ \ \ \ (\because P^3=-E)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =E\binom{1}{0}=\underline{\ \binom{1}{0}}\end{align*}}$ ……ヌネ
(2)
Q=2rPなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_1}{v_1}=\left(E+Q+Q^2 \right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(E+2rP+4r^2P^2 \right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} \sf 1 &\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}+2r^2\begin{pmatrix} \sf -1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf -1 \end{pmatrix} \right\}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 1+r-2r^2&\sf -\sqrt3r-2\sqrt3r^2 \\ \sf \sqrt3r+2\sqrt3r^2 & \sf 1+r-2r^2 \end{pmatrix}\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ ｎ\binom{1+r-2r^2}{\sqrt3r+2\sqrt3r^2}}\end{align*}}$ ……ノハ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_n-u_{n-1}}{v_n-v_{n-1}}=\left(Q^{3n-3}+Q^{3n-2}+Q^{3n-1} \right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =Q^{3(n-1)}\left(E+Q+Q^2 \right)\binom{1}{0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\{(2rP)^3\}^{n-1}\binom{u_1}{v_1}\ \ \ \ (\because Q=2rP)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-8r^3E\right)^{n-1}\binom{u_1}{v_1}\ \ \ \ (\because P^3=-E)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(-8r^3\right)^{n-1}\binom{u_1}{v_1}}\end{align*}}$ ……ヒ
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_2}{v_2}=\binom{u_1}{v_1}+\left(-8r^3\right)\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_3}{v_3}=\binom{u_2}{v_2}+\left(-8r^3\right)^{2}\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_4}{v_4}=\binom{u_3}{v_3}+\left(-8r^3\right)^{3}\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_n}{v_n}=\binom{u_{n-1}}{v_{n-1}}+\left(-8r^3\right)^{n-1}\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
となり、これらを辺々加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \binom{u_n}{v_n}=\left\{1+\left(-8r^3\right)+\left(-8r^3\right)^{2}+\left(-8r^3\right)^{3}+\ldots\ldots+\left(-8r^3\right)^{n-1}\right\}\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\left(-8r^3\right)^n}{1-\left(-8r^3\right)}\binom{u_1}{v_1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1-\left(-8r^3\right)^n}{1+8r^3}\binom{1+r-2r^2}{\sqrt3r+2\sqrt3r^2}\end{align*}}$
数列{un}、{vn}がともに収束するためには、
u1=v1=0 または －1＜－8r3≦1
であればよく、r＞0よりこれらを満たすようなrの値の範囲は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt r<\frac{1}{2}}\end{align*}}$ ……フ
となる。
このとき、{un}、{vn}の極限は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}u_n=\frac{1+r-2r^2}{1+8r^3}=\frac{(1-r)(1+2r)}{(1+2r)(1+2r+4r^2)}=\underline{\ \frac{1-r}{1+2r+4r^2}}\end{align*}}$ ……ヘ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}v_n=\frac{\sqrt3r+2\sqrt3r^2}{1+8r^3}=\frac{\sqrt3r(1+2r)}{(1+2r)(1+2r+4r^2)}=\underline{\ \frac{\sqrt3r}{1+2r+4r^2}}\end{align*}}$ ……ホ
最後の方の計算がぐちゃっとしてきますが、途中で集中力を切らさないように!
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第4問
平面上に2本の平行な直線g、hがある。直線g上に互いに異なる6点、
直線h上に互いに異なる3点をそれぞれとる。直線g上にとった6点それ
ぞれに対して、直線h上にとった3点のいずれか1点を選んでそれらを
線分で結ぶ。（合計6本の線分を引く。）
(1) 6本の線分の引き方は マ 通りである。
(2) 直線h上の2点のみがg上の点と結ばれるような6本の線分の引き方
は ミ 通りである。
(3) 直線h上の2点のみがg上の点と結ばれ、かつ6本の線分が途中で
公差しないような線分の引き方は ム 通りである。
(4) 直線h上の3点がg上の点と結ばれるような6本の線分の引き方は
メ 通りである。
(5) 直線h上の3点がg上の点と結ばれ、かつ6本の線分が途中で交差
しないような線分の引き方は モ 通りである。
(6) 途中で交差する線分が存在するような6本の線分の引き方は ヤ
通りである。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
マ 729 ミ 186 ム 15 メ 540 モ 10
ヤ 701
【解説】
直線g上の点を左から順に①、②、・・・、⑥とし、
直線h上の点を左から順にⅠ、Ⅱ、Ⅲとする。
(1)
①と結ぶ点の選び方は、Ⅰ、Ⅱ、Ⅲの3通りあり、他の②～⑥についても
それぞれ3通りずつあるので、線分の引き方の総数は、
36=729通り
(2)
まず、h上のⅠ、Ⅱの2点のみがg上の点と結ばれる場合を考える。
①と結ぶ点の選び方は、Ⅰ、Ⅱの2通りあり、他の②～⑥についても
それぞれ2通りずつある。①～⑥のすべてがⅠと結ばれる場合と
①～⑥のすべてがⅡと結ばれる場合を除くと、線分の引き方の総数は、
26－2=62通り．
h上の2点の選び方は、3C2=3通りあるので、題意を満たすような
線分の引き方は、
62×3=186通り
(3)
まず、h上のⅠ、Ⅱの2点のみがg上の点と結ばれる場合を考える。
6本の線分が交差しないためには、g上の左からn個（1≦n≦5）の
点すべてがⅠと結ばれ、右側にある残りの6－n個がすべてⅡと
結ばれればよい。nの決め方は5通りあり、h上の2点の選び方は、
3C2=3通りあるので、題意を満たすような線分の引き方は、
5×3=15通り
(4)
h上の2点のみがg上の点と結ばれるのは、(2)より186通りあり、
h上の1点のみがg上の点と結ばれるのは、Ⅰ～Ⅲの3通りあるので、
余事象を考えると、h上の3点がg上の点と結ばれるのは
729－186－3=540通り
(5)
6本の線分が交差しないためには、g上の左からm個の点すべてが
Ⅰと結ばれ、g上の右側からn個がすべてⅢと結ばれ、中央に残った
6－m－n個がすべてⅡと結ばれればよい。
m≧1 かつ n≧1 かつ 6－m－n≧1 なので、
これを満たすようなm、nの組は、
(m，n)=(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、
(2，1)、(2，2)、(2，3)、
(3，1)、(3，2)、
(4，1)
の10通りある。
(6)
まず、h上の1点のみがg上の点と結ばれる場合は、6本の線分が
途中で交差しない。
このことと(3)、(5)より、6本の線分が途中で交差しない場合は、
3+15+10=28通り
余事象を考えると、途中で公差する線分が存在するのは
729－28=701通り
どうなれば交差しないかは、具体的に実験してみれば分かると思います。
ちゃんとした答案は書きにくいでしょうが、ここは穴埋めなのでｗｗ
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プロフィール
Author:シケタキオア
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
お願いします。
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