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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014立命館大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  4次関数f(x)=x4+ax2+bx+12はx=1で極値13をとる。ただし、
  a、bは実数とする。

 (1) a= ア  、b= イ  である。また、f(x)はx=1以外では、
    x= ウ  で極小値 エ  、x= オ  で極大値 カ  をとる。

 (2) 直線Lが曲線y=f(x)と異なる2点で接しているとする。このとき、
    直線Lの方程式は、y= キ  であり、2つの接点のx座標は
     ク  ケ  である。また、直線Lと曲線y=f(x)で囲まれた
    部分の面積は コ  である。



2014立命館大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf f(t)=t\cos t\ \ ,\ \ g(t)=t\sin t\end{align*}}$ とする。

 (1)    $\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ (t)\}^2+\{g\ (t)\}^2=\end{align*}}$  サ 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2=\end{align*}}$  シ 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2=\end{align*}}$  ス 
    である。また、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{f\ '(t)\ f\ ''(t)+g\ '(t)\ g\ ''(t)}{\sqrt{\{f\ '(t)\}^2+\{g\ '(t)\}^2}\sqrt{\{f\ ''(t)\}^2+\{g\ ''(t)\}^2}}\end{align*}}$
    は、t= セ  のとき、最大値 ソ をとる。

 (2)    $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt+\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt=\end{align*}}$  タ 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt-\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ '(t)\ g\ (t)\ dt=\end{align*}}$  チ 
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\ (t)\ g\ '(t)\ dt=\end{align*}}$  ツ     
    である。



2014立命館大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  Eを2次の単位行列とする、

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf P=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
        P3= テ  、P+P2+P3+P4+P5= ト 
    である。自然数nに対して、$\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_n}{y_n}\end{align*}}$ を次のように定める。

        $\small\sf{\begin{align*} \sf \binom{x_1}{y_1}=\binom{1}{0}\ \ ,\ \ \binom{x_n}{y_n}=\binom{x_{n-1}}{y_{n-1}}+P^{n-1}\binom{1}{0}\ \ \ \ (n\geqq 2)\end{align*}}$
    このとき、
        図09図08
    である。(注: ヒ  には行列ではなくrとnを用いた式を入れること。)
    数列[un}、{vn}がともに収束するのは、rが0<r< フ  を満たすとき
    であり、このとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} u_n\end{align*}}$ = ヘ   、 $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty} v_n\end{align*}}$ = ホ 
    である。




2014立命館大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  平面上に2本の平行な直線g、hがある。直線g上に互いに異なる6点、
  直線h上に互いに異なる3点をそれぞれとる。直線g上にとった6点それ
  ぞれに対して、直線h上にとった3点のいずれか1点を選んでそれらを
  線分で結ぶ。(合計6本の線分を引く。)

      図06

 (1) 6本の線分の引き方は マ  通りである。

 (2) 直線h上の2点のみがg上の点と結ばれるような6本の線分の引き方
    は ミ  通りである。

 (3) 直線h上の2点のみがg上の点と結ばれ、かつ6本の線分が途中で
    公差しないような線分の引き方は ム  通りである。

 (4) 直線h上の3点がg上の点と結ばれるような6本の線分の引き方は
     メ  通りである。

 (5) 直線h上の3点がg上の点と結ばれ、かつ6本の線分が途中で交差
    しないような線分の引き方は モ  通りである。

 (6) 途中で交差する線分が存在するような6本の線分の引き方は ヤ 
    通りである。