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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014京都薬科大 数学1



第1問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。

 (1) aを実数の定数として、放物線y=2x2-(a+3)x+a+1のグラフの
    頂点は( ア  イ  )で、この点はaの値にかかわらず、放物線
    y= ウ  x2+ エ  x- オ  上にある。

 (2) 平面上の直線y=2x+1と点(0,1)において45°の角度で交わる
    直線は2つあり、これらの直線の方程式は、 カ  キ  である。

 (3) 5つの数
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt[3]4\ \ ,\ \ 1\ \ ,\ \ 16^{\frac{1}{5}}\ \,\ \ \log_43\ \ ,\ \ \log_32\end{align*}}$
    を小さい方から順に並べると、
         ク  ケ  コ  サ  シ 
    となる。

 (4) 方程式7x+19y=2014を満たす自然数の組(x,y)は ス  組ある。




2014京都薬科大 数学2



第2問

  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
  分数形で解答する場合は、既約分数にしなさい。

   △ABCにおいて、頂点A、B、Cに向かい合う辺BC、CA、ACの長さを、
   それぞれa、b、cで表し、∠A、∠B、∠Cの大きさを、それぞれA、B、C
   で表す。cosA=$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{24}{25}\end{align*}}$ 、cosB= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{20}{29}\end{align*}}$ 、c=92のとき、sinA= ア  であり、
   sinB= イ  である。したがって、sinC= ウ  、cosC= エ  となる。
   これよりa= オ  、b= カ  である。



2014京都薬科大 数学3



第3問
  
  △ABCにおいて、OA=1、OB=2、∠AOB=$\small\sf{\theta}$ とする。∠AOBの
  二等分線と辺ABとの交点をCとする。
  次の    にあてはまる数または式を解答欄に記入せよ。ただし、
   ク  サ  には整数を記入しなさい。また、分数形で解答する
  場合は、既約分数にしなさい。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ = ア  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + イ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。

 (2) 直線OC上に点Pをとり、さらに点Pが辺ABの垂直二等分線上にある
    とき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ およびcos$\small\sf{\theta}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ = ウ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + エ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。このとき、OC:CP=3:1となるならば、cos$\small\sf{\theta}$ = オ  である。

 (3) 辺OB上に点DをOD:DB=1:3となるようにとる。線分ADと線分OCの
    交点をQとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \ OQ}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を用いて表すと、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf \ OQ}\end{align*}}$ = カ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + キ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$
    となる。このとき、△OAQ、△QAC、△OQDおよび四角形QCBDの面積
    をそれぞれS1、S2、S3、S4とすると、S1:S2:S3:S4= ク  ケ 
    :  コ  サ  となる。




2014京都薬科大 数学4



第4問

  実数xに対して、xを越えない最大整数を[x]で表すとする。たとえば、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf [2]=2\ \ ,\ \ \left[\frac{10}{3}\right]=3\end{align*}}$
  である。次の    のうち、 オ  カ  には式を、その他には
  整数を、解答欄に記入せよ。

 (1) [-5.2]= ア  となる。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}\right]\end{align*}}$ = イ 
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}\right]\end{align*}}$ = ウ 
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}\right]\end{align*}}$ = エ  となる。

 (3) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
    の各辺をk=2からk=nまで、それぞれ加え合わせると、
         オ  <$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ < カ 
    が得られる。これにより、
      キ  ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ - ク -1<$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ < キ  ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ - ク 
    となる。よって、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = ケ  である。

 (4) 同様にして、
       $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = コ 
    となる。

        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$