第4問
実数xに対して、xを越えない最大整数を[x]で表すとする。たとえば、
$\small\sf{\begin{align*} \sf [2]=2\ \ ,\ \ \left[\frac{10}{3}\right]=3\end{align*}}$
である。次の のうち、 オ と カ には式を、その他には
整数を、解答欄に記入せよ。
(1) [－5.2]= ア となる。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}\right]\end{align*}}$ = イ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}\right]\end{align*}}$ = ウ
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}\right]\end{align*}}$ = エ となる。
(3) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
の各辺をk=2からk=nまで、それぞれ加え合わせると、
オ ＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ ＜ カ
が得られる。これにより、
キ ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ － ク －1＜$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\end{align*}}$ ＜ キ ×$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}\end{align*}}$ － ク
となる。よって、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = ケ である。
(4) 同様にして、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left[ \frac{1}{\sqrt{100}}+\frac{1}{\sqrt{101}}+\frac{1}{\sqrt{102}}+\ldots\ldots+\frac{1}{\sqrt{9999}}+\frac{1}{\sqrt{10000}}\right]\end{align*}}$ = コ
となる。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
$\small\sf{\begin{align*} \sf \end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア －6 イ 1 ウ 2 エ 2 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2\end{align*}}$ キ 2 ク 1 ケ 198 コ 180
【解説】
(1)
－6＜－5.2＜－5 より、[－5.2]=－6
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt1}=1\ \ ,\ \ \frac{1}{\sqrt4}=0.5\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.4^2<2<1.5^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1.4<\sqrt2<1.5\ \ \Leftrightarrow\ \ 0.66<\frac{1}{\sqrt2}<0.72\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.7^2<3<1.8^2\ \ \Leftrightarrow\ \ 1.7<\sqrt3<1.8\ \ \Leftrightarrow\ \ 0.55<\frac{1}{\sqrt3}<0.59\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1.66<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}<1.72\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}\right]=\underline{\ 1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2.21<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}<2.31\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}\right]=\underline{\ 2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2.71<\frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}<2.81\ \ \Leftrightarrow\ \ \left[ \frac{1}{\sqrt1}+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt4}\right]=\underline{\ 2}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
の各辺をk=2からk=nまで、それぞれ加え合わせると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\sum_{k=2}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$ ……①
①の左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sum_{k=2}^n\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt3-\sqrt2 \right)+\left(\sqrt4-\sqrt3 \right)+\ldots +\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{n+1}-\sqrt2\end{align*}}$
①の右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}=\sum_{k=2}^n\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sqrt2-\sqrt1 \right)+\left(\sqrt3-\sqrt2 \right)+\ldots +\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{n}-1\end{align*}}$
これらより①は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n+1}-\sqrt2<\sum_{k=2}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{n}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2<\sum_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-2}\end{align*}}$ ……オカ
と変形でき、各辺に1を加えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n+1}-2\sqrt2+1<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1\end{align*}}$ ……②
を得る。
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{n}<\sqrt{n+1}\ \ ,\ \ 1.4<\sqrt2<1.5\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2<2\sqrt{n+1}-2\sqrt2+1\end{align*}}$
なので、②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{n}-2<\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{n}-1\end{align*}}$ ……キク
と変形できる。これにn=10000を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{10000}-2<\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<2\sqrt{10000}-1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 198<\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<199\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\sum_{k=1}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}\right]=\underline{198}\end{align*}}$ ……ケ
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\frac{1}{2\sqrt{k}}<\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$
の各辺をk=100からk=10000まで、それぞれ加え合わせると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\end{align*}}$ ……③
③の左辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{101}-\sqrt{100} \right)+\left(\sqrt{102}-\sqrt{101} \right)+\ldots +\left(\sqrt{10001}-\sqrt{10000} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{10001}-10\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf >\sqrt{10000}-10=90\end{align*}}$
③の右辺
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\sqrt{100}-\sqrt{99} \right)+\left(\sqrt{101}-\sqrt{100} \right)+\ldots +\left(\sqrt{10000}-\sqrt{9999} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{10000}-\sqrt{99}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <100-\sqrt{98}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =100-7\sqrt{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <100-7\times 1.4=90.2\end{align*}}$
これらより③は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 90<\sqrt{10001}-\sqrt{100}<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{2\sqrt{k}}<\sqrt{10000}-\sqrt{99}<90.2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 180<\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}<180.4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left[\sum_{k=100}^{10000}\frac{1}{\sqrt{k}}\right]=\underline{\ 180}\end{align*}}$ ……コ
細かい部分に気をつけましょう。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/11/25(日) 01:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .京都薬科大 2014
-
| トラックバック:0
-
| コメント:0
