青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/5）

2014関西大　理系（2月5日）　数学１

第1問

　　$\small\sf{0\leqq x\leqq 2\pi}$ で定義された関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}\end{align*}}$ に対して、
　　$\small\sf{0\leqq t\leqq \pi}$ で定義された関数g(t)を$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\int_t^{t+\pi}f(x)dx\end{align*}}$　と定める。

　(1) f’(x)を求めよ。

　(2) f(x)の増減表を示し、極値を求めよ。

　(3) g(t)の増減を調べて、g(t)が極小となるときのtの値を求めよ。

　(4) g(t)の極小値を求めよ。

解答はこちら↓

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【解答】

　(1)
　　　商の微分法を用いて、　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x) =\frac{-\sin x\left(2+\sin x\right)-\cos^2x}{\left(2+\sin x \right)^2}=\underline{\ -\frac{1+2\sin x}{\left(2+\sin x\right)^2}}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、0≦x≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ の範囲でf’(x)となるのは、
　　　　　　　　1+2sinx=0　すなわち　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6} \pi\ ,\ \frac{1}{6}\pi\end{align*}}$
　　　のときなので、f(x)の増減表は下のようになる。

　　　　　　　

　　　よって、f(x)は、
　　　　　　　　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{6}\pi\end{align*}}$ で極小$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
　　　　　　　　x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{6}\pi\end{align*}}$ で極大$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\sqrt3}{3}\end{align*}}$
　　　となる。

　(3)
　　　f(x)の不定積分をF(x)とおくと、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\bigg[F(x)\bigg]_t^{t+\pi}=F(t+\pi)-F(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(t)=F \ '(t+\pi)-F\ '(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =f(t+\pi) -f(t)\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\cos(t+\pi)}{2+\sin (t+\pi)}-\frac{\cos t}{2+\sin t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{-\cos t }{2-\sin t}-\frac{\cos t}{2+\sin t}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{4\cos t }{4-\sin^2t}\end{align*}}$
　　　となるので、g(t)の増減は次のようになる。

　　　　　　　　

　　　よって、g(t)が極小となるのは、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときである。

　(4)
　　　(3)より、g(t)の極小値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\left( \frac{\pi}{2}\right)=\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\frac{\cos x}{2+\sin x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi} \frac{\left(2+\sin x\right)'}{2+\sin x}dx\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\log\left|2+ \sin x\right|\bigg]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3}{2}\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \log 1-\log 3\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\log 3 }\end{align*}}$

　　(4)の積分で、cosx=(2+sinx)’というのは、
　　よくある考え方ですが、気づかなかったとしても
　　s=2+sinxと置換すれば同じことです。　　

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2018/11/29(木) 01:05:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/5）

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2014関西大　理系（2月5日）　数学２

第2問

　　自然数の列を次のように奇数個ずつの群に分ける。
　　　｜1，2，3｜4，5，6，7，8｜9，10，11，12，13，14，15｜16，…
　　　　第1群　　　　第2群　　　　　　　　第3群
　　このとき、次の　　　をうめよ。

　(1) 第n群（n=1，2，3，…）の最初の自然数は　①　であり、第n群の
　　　最後の自然数は　②　である。

　(2) 第n群に含まれるすべての数の和をS_nとすると、S_n=　③　であり、
　　　不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_{n+1}}{S_n}< \frac{3}{2}\end{align*}}$ を満たす最小の自然数nは　④　である。

　(3) 2014は第　⑤　群の　⑥　番目の自然数である。

　(4) 自然数kの平方根$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt k\end{align*}}$ の整数部分をa_kとする。このとき、
　　　 a₃=　⑦　、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{15} a_k\end{align*}}$ =　⑧　、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{2014} a_k\end{align*}}$ =　⑨　である。

解答はこちら↓

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【解答】

　　① n²　　　　② n²+2n　　　　③ n(n+1)(2n+1)　　　　④ 7

　　⑤ 44　　　　⑥ 79　　　　⑦ 1　　　　⑧ 34　　　　⑨ 59290　　　　

【解説】

　(1)
　　　各群の最初には、1，4，9，16，25，…と、平方数が順に並ぶので、
　　　第n群の最初の数はn²である。
　　　よって、第n+1群の最初の数は(n+1)²なので、第n群の最後の数は、
　　　　　　　(n+1)²－1=n²+2n
　　　である。

　(2)
　　　(1)より、第n群は、初項n²、末項n²+2n、項数2n+1の等差数列を
　　　なすので、その和は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(2n+1\right)\left\{n^2+(n^2+2n) \right\}=\underline{\ n(n+1)(2n+1)\ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_{n+1}}{S_n}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{n(n+1)(2n+1)}=\frac{(n+2)(2n+3)}{n(2n+1)}<\frac{3}{2}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2(n+2)(2n+3)<3n(2n+1)\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2n^2-11n-12<0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ n<\frac{11-\sqrt{217}}{4}\ ,\ \frac{11+\sqrt{217}}{4}\lt n\end{align*}}$
　　　となり、n＞0および$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 14\lt\sqrt{217}\lt 15\end{align*}}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 6.25<\frac{11+\sqrt{217}}{4}<6.5\end{align*}}$
　　　なので、題意を満たす最小の自然数nは、n=7である。

　(3)
　　　2014が第k群に属するとすると、
　　　　　　　　k²≦2014＜(k+1)² ．
　　　これを満たす自然数はk=44なので、2014は第44群に属する。
　　　第44群の最初の数は44²=1936なので、2014は
　　　　　　　　2014－1936+1=79番目
　　　である。

　(4)
　　　まず、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1\lt \sqrt3\lt 2\end{align*}}$ より、a₃=1
　　　第n群に属する数をNとすると、(1)より、Nはn²≦N＜(n+1)²を
　　　満たすため、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{N}\end{align*}}$ の整数部分はすべてnになる。
　　　よって、数列a_nの項は
　　　　　　|1，1，1｜2，2，2，2，2｜3，3，3，3，3，3，3｜4，…
　　　となる。
　　　よって、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{15}a_k=1\cdot3 +2\cdot 5+3\cdot 7=\underline{\ 34}\end{align*}}$ ．
　　　また(3)より、もとの数列において2014は第44群の79番目の数
　　　なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{2014}a_k=\left(1\cdot3 +2\cdot 5+3\cdot 7+\ldots 43\cdot 87\right)+44\cdot 79\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{K=1}{43}K(2K+1)+3476\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{6}\cdot 43\cdot 44\cdot 87+\frac{1}{2}\cdot 43\cdot 44+3476\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 59290}\end{align*}}$

　　(4)は、a₁、a₂、a₃、……と、項を具体的に求めていくと、
　　(1)～(4)との関係が見えてくると思います。　　

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2018/11/29(木) 01:06:00|

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2014関西大　理系（2月5日）　数学３

第3問

　　Oを原点とする座標平面上において、点(4$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ，0)、(0，4)を、
　　それぞれ点($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ，3)、(－$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ，1)に移す1次変換を表す行列Aを
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A=r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta &\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　とする。ただし、r＞0、0≦$\small\sf{\theta}$ ＜2$\small\sf{\pi}$ である。このとき、次の　　　
　　をうめよ。

　(1) r=　①　、$\small\sf{\theta}$ =　②　である。

　(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
　　　 Aⁿ=kE（kは実数）を満たす最小の自然数nはn=　③　である。
　　　また、A²=sA+tEを満たす実数s、tの値はs=　④　、t=　⑤　
　　　である。

　(3) 点列P_n(x_n，y_n) （n=1，2，3，…）に対して、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1 }\end{align*}}$ を
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1 }=\binom{2}{0}\end{align*}}$ 、n≧2のときベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n }\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= A^{n-1} \binom{2}{0}\end{align*}}$ によって
　　　定める。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ の長さはnを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf OP_n}|\end{align*}}$ =　⑥　
　　　と表されるから、△OP_nP_n+1の面積をS_nとすると、S_n=　⑦　、
　　　 $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty} S_n\end{align*}}$ =　⑧　である。

解答はこちら↓

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【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$　　　　③ 6　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$　　　　

　　⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{n-2}}\end{align*}}$　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{4^n}\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\sqrt3}{3}\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　題意より　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A\begin{pmatrix} \sf 4\sqrt3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A=\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4\sqrt3&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{16\sqrt3}\begin{pmatrix} \sf \sqrt3&\sf 3 \\ \sf 3 & \sf 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4\sqrt3 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf -\sqrt3 \\ \sf \sqrt3 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{\pi}{3}&\sf -\sin\frac{\pi}{3} \\ \sf \sin\frac{\pi}{3} & \sf \cos\frac{\pi}{3} \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ r=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ \theta=\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$

　(2)
　　　(1)より、行列Aは、
　　　　　　「原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ 倍に縮小する移動」
　　　を表すので、行列Aⁿは
　　　　　　「原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{3}\pi\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^n}\end{align*}}$ 倍に縮小する移動」　……(*)
　　　を表す。よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^n=kE\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2^n}\begin{pmatrix} \sf \cos\frac{n}{3}\pi&\sf -\sin\frac{n}{3}\pi \\ \sf \sin\frac{n}{3}\pi & \sf \cos\frac{n}{3}\pi \end{pmatrix}=k\begin{pmatrix} \sf \cos 0&\sf -\sin 0 \\ \sf \sin 0 & \sf \cos 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となる。成分を比較するとき、一般角で考えると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n}{3}\pi=2m\pi\end{align*}}$　（m：整数）
　　　なので、これを満たすような最小の自然数nは、n=6である。

　　　一方、Aについてハミルトン・ケーリ－の定理より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \right)A+\left(\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}-\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sqrt3}{4}\right)=O\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ A^2=\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}E\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ s=\frac{1}{2}\ \ ,\ \ t=\frac{1}{4}}\end{align*}}$

　(3)
　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= A^{n-1} \binom{2}{0}\end{align*}}$ によって定められる点P_nは、(*)より、
　　　点P₁を原点中心に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{n-1}{3}\pi\end{align*}}$ だけ回転し、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ 倍に縮小した点なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP_n}|=\frac{1}{2^{n-1}}|\overrightarrow{\sf OP_1}|=\underline{\ \frac{1}{2^{n-2}}\ }\end{align*}}$ ．
　　　よって、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP_{n+1}}|=\frac{1}{2^{n-1}}\end{align*}}$ であり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ と$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_{n+1}}\end{align*}}$ のなす角は $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ なので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2^{n-2}}\cdot\frac{1}{2^{n-1}}\cdot\sin\frac{\pi}{3}=\underline{\ \frac{2\sqrt3}{4}}\end{align*}}$
　　　となる。さらに、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{n=1}^{\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^nS_k= \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{2\sqrt3}{4}\cdot\frac{1-\left( \frac{1}{4}\right)^n}{1-\frac{1}{4}}=\underline{\ \frac{2\sqrt3}{3}}\end{align*}}$
　　　である。

　　行列Aが、「原点中心の回転+拡大」を表すことに気づきましょう。　　

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2018/11/29(木) 01:07:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/5）

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2014関西大　理系（2月5日）　数学４

第4問

　　次の　　　を埋めよ。

　(1) 1から6までの自然数から異なる4個の数を無作為に選ぶとき、
　　　 2番目に小さい数字をXとする。X=2となる確率は　①　であり、
　　　の Xの期待値は　②　である。

　(2) 9ⁿ＜2⁵⁰を満たす自然数nのうち、最大のものをNとすると、
　　　 N=　③　であり、15^Nは　④　桁の自然数である。ただし、
　　　 log₁₀2=0.3010、log₁₀3=0.4771とする。

　(3) △ABCとその内部にある点Pが、$\small\sf{\begin{align*} \sf 7\overrightarrow{\sf PA}+2\overrightarrow{\sf PB}+3\overrightarrow{\sf PC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ を満たしている。
　　　このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ =　⑤　と表される。また、
　　　 △PAB、△PBC、△PCAの面積をそれぞれS₁、S₂、S₃とすると、
　　　 S₁：S₂：S₃=　⑥　である。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ とする。方程式2sin$\small\sf{\theta}$ cos$\small\sf{\theta}$ +2sin$\small\sf{\theta}$ －cos$\small\sf{\theta}$ －1=0
　　　の解は、$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\pi}$ と$\small\sf{\theta}$ =　⑦　である。

　(5) 楕円x²+4y²+6x－40y+101=0上の点(－1，6)における接線L
　　　の方程式はx+　⑧　 y=　⑨　である。また、この楕円の2つの
　　　焦点とLとの距離の積は　⑩　である。

解答はこちら↓

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【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{5}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{15}{4}\end{align*}}$　　　　③ 15　　　　④ 18　　　　⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{12}\end{align*}}$　　　　

　　⑥ 3：7：2　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$　　　　⑧ 2　　　　⑨ 11　　　　⑩ 2　　　　

【解説】

　(1)
　　　4数の選び方の総数は、₆C₄=15通り
　　　　【X=2】
　　　　　　 1と2が選ばれ、3～6より2つが選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_4C_2}{15}=\underline{\ \frac{2}{5}}\end{align*}}$
　　　　【X=3】
　　　　　　 3が選ばれ、1～2より1つ、4～6より2つ選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_2C_1\cdot _3C_2}{15}=\frac{2}{5}\end{align*}}$
　　　　【X=4】
　　　　　　 4、5、6が選ばれ、1～3より1つ選ばれる
　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{_3C_1}{15}=\frac{1}{5}\end{align*}}$
　　　　X=1、X=5、X=6の場合はあり得ないので、Xの期待値は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\times \frac{2}{5}+3\times\frac{2}{5}+4\times\frac{1}{5}=\underline{\ \frac{14}{5}}\end{align*}}$ ．

　(2)
　　　両辺＞0より、常用対数をとると、
　　　　　　　　log₁₀9^N＜log₁₀2⁵⁰
　　　　　　⇔　2N・log₁₀3＜50log₁₀2
　　　　　　⇔　0.9542N＜15.05
　　　　　　⇔　N＜15.77……
　　　よって、これを満たす最大の自然数Nは15である。
　　　さらに
　　　　　　　　log₁₀15¹⁵
　　　　　　　=15log₁₀15
　　　　　　　=15(log₁₀3+log₁₀10－log₁₀2)
　　　　　　　=15×(0.4771+1－0.3010)
　　　　　　　=17.64……
　　　より、
　　　　　　　　17＜log₁₀15¹⁵＜18
　　　　　　⇔　10¹⁷＜15¹⁵＜10¹⁸
　　　なので、15¹⁵は18桁の自然数である。

　(3)
　　　与式は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 7\overrightarrow{\sf PA}+2\overrightarrow{\sf PB}+3\overrightarrow{\sf PC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -7\overrightarrow{\sf AP}+2\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AP}\right)+3\left(\overrightarrow{\sf AC}-\overrightarrow{\sf AP}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}=\underline{\ \frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{12}}=\frac{5}{12}\cdot\frac{2\overrightarrow{\sf AB}+3\overrightarrow{\sf AC}}{2+3}\end{align*}}$
　　　と変形できるので、BCを3：2に内分する点をDとすると、
　　　PはADを5：7に内分する点である。
　　　よって、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=\triangle PAB=\frac{5}{12}\triangle ABD=\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{5}\triangle ABC=\frac{1}{4}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3=\triangle PCA=\frac{5}{12}\triangle ACD=\frac{5}{12}\cdot\frac{2}{5}\triangle ABC=\frac{1}{6}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_3=\triangle PBC=\triangle ABC-S_1-S_2=\frac{7}{12}\triangle ABC\end{align*}}$
　　　となるので、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1:S_2:S_3=\frac{1}{4}:\frac{7}{12}:\frac{1}{6}=\underline{\ 3:7:2}\end{align*}}$

　(4)
　　　与式は、
　　　　　　　　2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －cos$\scriptsize\sf{\theta}$ －1=0
　　　　　　⇔　(2sin$\scriptsize\sf{\theta}$ －1)(cos$\scriptsize\sf{\theta}$ +1)=0
　　　　　　⇔　sin$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　または　cos$\scriptsize\sf{\theta}$ =－1
　　　となり、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦$\scriptsize\sf{\pi}$ より、$\scriptsize\sf{\theta}$ =$\scriptsize\sf{\pi}$ 、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\pi\end{align*}}$ が解となる。

　(5)
　　　与えられた楕円をEとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+4y^2+6x-40y+101=0\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x+3\right)^2+4\left(y-5\right)^2=8\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{\left(x+3\right)^2}{8}+\frac{\left(y-5\right)^2}{2}=1\end{align*}}$
　　　と変形できるので、E上の点(－1，6)における接線Lの方程式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{(-1+3)\left(x+3\right)}{8}+\frac{(6-5)\left(y-5\right)}{2}=1\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x+2y=11}\end{align*}}$
　　　である。
　　　また、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{8-2}=\sqrt6\end{align*}}$ より、Eの2つの焦点は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(-3+\sqrt6\ ,\ 5\right)\ \ ,\ \ \left(-3-\sqrt6\ ,\ 5\right)\end{align*}}$
　　　である。よって、これらからLのでの距離の積は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{|-3+\sqrt6+10-11\ |}{\sqrt{1+2^2}}\cdot\frac{|-3-\sqrt6+10-11\ |}{\sqrt{1+2^2}}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\left(4-\sqrt6\right)\left(4+\sqrt6\right)}{5}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2}\end{align*}}$

　　どれも基本的な問題ばかりです。落とさないように！　　

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テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/29(木) 01:08:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/5）

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