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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014関西大 理系(2月5日) 数学1



第1問

  $\small\sf{0\leqq x\leqq 2\pi}$ で定義された関数 $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}\end{align*}}$ に対して、
  $\small\sf{0\leqq t\leqq \pi}$ で定義された関数g(t)を$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (t)=\int_t^{t+\pi}f(x)dx\end{align*}}$ と定める。

 (1) f’(x)を求めよ。

 (2) f(x)の増減表を示し、極値を求めよ。

 (3) g(t)の増減を調べて、g(t)が極小となるときのtの値を求めよ。

 (4) g(t)の極小値を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/29(木) 01:05:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の私立大学 .関西大 理系 2014(2/5)
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2014関西大 理系(2月5日) 数学2



第2問

  自然数の列を次のように奇数個ずつの群に分ける。
   |1,2,3|4,5,6,7,8|9,10,11,12,13,14,15|16,…
    第1群    第2群        第3群
  このとき、次の    をうめよ。

 (1) 第n群(n=1,2,3,…)の最初の自然数は ①  であり、第n群の
    最後の自然数は ②  である。

 (2) 第n群に含まれるすべての数の和をSnとすると、Sn= ③  であり、
    不等式 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S_{n+1}}{S_n}< \frac{3}{2}\end{align*}}$ を満たす最小の自然数nは ④  である。

 (3) 2014は第 ⑤  群の ⑥  番目の自然数である。

 (4) 自然数kの平方根$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt k\end{align*}}$ の整数部分をakとする。このとき、
    a3= ⑦  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{15} a_k\end{align*}}$ = ⑧  、$\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{2014} a_k\end{align*}}$ = ⑨  である。



2014関西大 理系(2月5日) 数学3



第3問

  Oを原点とする座標平面上において、点(4$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,0)、(0,4)を、
  それぞれ点($\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,3)、(-$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$ ,1)に移す1次変換を表す行列Aを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf A=r\begin{pmatrix} \sf \cos\theta &\sf -\sin\theta \\ \sf \sin\theta & \sf \cos\theta \end{pmatrix}\end{align*}}$
  とする。ただし、r>0、0≦$\small\sf{\theta}$ <2$\small\sf{\pi}$ である。このとき、次の   
  をうめよ。

 (1) r= ①  、$\small\sf{\theta}$ = ②  である。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。
    An=kE(kは実数)を満たす最小の自然数nはn= ③  である。
    また、A2=sA+tEを満たす実数s、tの値はs= ④  、t= ⑤ 
    である。

 (3) 点列Pn(xn,yn) (n=1,2,3,…)に対して、ベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1 }\end{align*}}$ を
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_1 }=\binom{2}{0}\end{align*}}$ 、n≧2のときベクトル$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n }\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}= A^{n-1} \binom{2}{0}\end{align*}}$ によって
    定める。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP_n}\end{align*}}$ の長さはnを用いて $\small\sf{\begin{align*} \sf | \overrightarrow{\sf OP_n}|\end{align*}}$ = ⑥ 
    と表されるから、△OPnPn+1の面積をSnとすると、Sn= ⑦ 
    $\small\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=1}^{\infty} S_n\end{align*}}$ = ⑧  である。


2014関西大 理系(2月5日) 数学4



第4問

  次の    を埋めよ。

 (1) 1から6までの自然数から異なる4個の数を無作為に選ぶとき、
    2番目に小さい数字をXとする。X=2となる確率は ①  であり、
   の Xの期待値は ②  である。

 (2) 9n<250を満たす自然数nのうち、最大のものをNとすると、
    N= ③  であり、15N ④  桁の自然数である。ただし、
    log102=0.3010、log103=0.4771とする。

 (3) △ABCとその内部にある点Pが、$\small\sf{\begin{align*} \sf 7\overrightarrow{\sf PA}+2\overrightarrow{\sf PB}+3\overrightarrow{\sf PC}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$ を満たしている。
    このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ は$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\end{align*}}$ 、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ を用いて、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ = ⑤  と表される。また、
    △PAB、△PBC、△PCAの面積をそれぞれS1、S2、S3とすると、
    S1:S2:S3= ⑥  である。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ ≦$\small\sf{\theta}$ ≦$\small\sf{\pi}$ とする。方程式2sin$\small\sf{\theta}$ cos$\small\sf{\theta}$ +2sin$\small\sf{\theta}$ -cos$\small\sf{\theta}$ -1=0
    の解は、$\small\sf{\theta}$ =$\small\sf{\pi}$ と$\small\sf{\theta}$ = ⑦  である。

 (5) 楕円x2+4y2+6x-40y+101=0上の点(-1,6)における接線L
    の方程式はx+ ⑧  y= ⑨  である。また、この楕円の2つの
    焦点とLとの距離の積は ⑩  である。