青木ゼミ青木大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/2）

2014関西大　理系（2月2日）　数学１

第1問

　　pを2以上の整数とする。次の問いに答えよ。

　(1) x＞0のとき、不等式
　　　　　　　　　x^p+p－1≧px
　　　が成り立つことを示せ。

　(2) a＞0、b＞0のとき、不等式
　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a^p+\left(p-1\right)b^{\frac{p}{p-1}}\geqq pab\end{align*}}$
　　　が成り立つことを示せ。

　(3) p=3とする。(2)の不等式において等号が成立するとき、
　　　 aをbを用いて表せ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(1)
　　　関数f(x)を
　　　　　　　　f(x)=x^p+p－1－px　（x＞0)
　　　とおく。導関数は
　　　　　　　　f’(x)=px^p-1－p=p(x^p-1－1)
　　　なので、f(x)の増減は次のようになる。
　　

x	0	・・・	1	・・・
ｆ’(x)		－	0	+
f(x)		↘	0	↗

　　　よって、x＞0でつねにf(x)≧0なので、不等式
　　　　　　　　　x^p+p－1≧px
　　　が成り立つ。（等号成立は、f(x)=0 すなわち x=1のときである。）
　

　(2)
　　　与式は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a^p+\left(p-1\right)b^{\frac{p}{p-1}}\geqq pab" alt="\end{align*}}$　　……①
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^pb^{-\frac{p}{p-1}}+\left(p-1\right)b^{\frac{p}{p-1}}b^{-\frac{p}{p-1}}\geqq pab\cdot b^{-\frac{p}{p-1}}\end{align*}}$　←両辺×$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b^{-\frac{p}{p-1}}\ \ (>0)" alt="\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ a^p\left(b^{-\frac{1}{p-1}}\right)^p+p-1\geqq pab^{1-\frac{p}{p-1}}" alt="\end{align*}}$
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(ab^{-\frac{1}{p-1}}\right)^p+p-1\geqq p\left(ab^{-\frac{1}{p-1}}\right)" alt="\end{align*}}$　……②
　　　と変形できる。
　　　(1)で、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=ab^{-\frac{1}{p-1}}\ \ (>0)" alt="\end{align*}}$ とおくと、②が成り立つので、
　　　①も成り立つことになる。よって、題意は示された。
　　　等号成立は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab^{-\frac{1}{p-1}}=1" alt="\end{align*}}$
　　　のときである。

　(3)
　　　p=3のとき、(2)の等号が成立するのは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf ab^{-\frac{1}{3-1}}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=b^{\frac{1}{2}}}" alt="\end{align*}}$
　　　のときである。

　　(2)は、(1)が使えるように上手く変形しましょう。　　

解答を閉じる↑

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2014関西大　理系（2月2日）　数学２

第2問

　　aを正の定数とする。中心の座標が(1，a，－a²)の球面が
　　xy平面に接しているとする。次の　　　をうめよ。

　(1) この球面の方程式をaを用いて表すと、
　　　　　　　　　(x－1)²+(y－a)²+(　①　 )²=　②　
　　　である。

　(2) この球面がさらにxz平面と共有点をもつためのaの値の範囲は
　　　　③　である。

　(3) xy平面と接しているこの球面がさらにxz平面と共有点をもち、
　　　その共有点の全体が半径$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2" alt="\end{align*}}$ の円になっているとする。このとき、
　　　この球面の方程式は
　　　　　　　　　(x－1)²+(y－　④　 )²+(　⑤　 )²=　⑥　
　　　となる。
　　　この球面の内部も含めた球の体積は　⑦　である。また、
　　　この球がxz平面で切り取られる小さい方の部分の体積は
　　　　⑧　である。

　　（注）⑧は、　　　の形を変えてあります。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① z+a²　　　　② a⁴　　　　③ a≧1　　　　④ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　　　　⑤ z+2　　　　

　　⑥ 4　　　　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{32}{3}\pi\end{align*}}$　　　　⑧ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{16-10\sqrt2}{3}\pi\end{align*}}$

【解説】

　　　この球をSとし、中心をAとする。

　(1)
　　　Sはxy平面に接するので、
　　　　　　　　Sの半径=Aのz座標の絶対値=a²
　　　となる。よって、Sの方程式は
　　　　　　　　(x－1)²+(y－a)²+(z+a)²=a⁴　
　　　である。

　(2)
　　　Sの直径のうち、y軸に平行なものの端点のうちでy座標が
　　　小さい方をBとすると、B(1，a－a²，－a²)なので、
　　　Sがxz平面と共有点をもつとき
　　　　　　　　a－a²≦0　⇔　a≦0， 1≦a
　　　である。
　　　a＞0なので、求めるaの値の範囲は、a≧1である。

　(3)
　　　線分ABとxz平面との交点をC(1，0，－a²)とし、
　　　Sとxz平面との共有点が作る円の周上の点をDとすると、
　　　CDがこの円の半径になる。
　　　よって、△ACDに三平方の定理を用いると、
　　　　　　　　CD²+AC²=AD²
　　　　　　⇔　($\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )²+a²=(a²)²
　　　　　　⇔　a²=－1，2
　　　　　　⇔　a=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$　（＞0）
　　　となるので、Sの方程式は
　　　　　　　　(x－1)²+(y－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ )²+(z+2)²=4
　　　である。

　　　線分BC上の点Pのy座標をtとおくと、AP=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －tなので、
　　　Pを通りxz平面に平行な平面とSとの共有点が作る円の半径rは、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r=\sqrt{2^2-\left( \sqrt2-t\right)^2}\end{align*}}$
　　　となる。tの範囲は、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ －2≦t≦0
　　　なので、Sがxz平面で切り取られる小さい方の部分の
　　　体積をVとすると、
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_{\sqrt2-2}^0\pi\ r^2\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{\sqrt2-2}^0\left\{2^2-\left( \sqrt2-t\right)^2\right\}dt\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\int_{-2}^{-\sqrt2}\left(4-s^2\right)ds\end{align*}}$　　←$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=t-\sqrt2\end{align*}}$ と置換
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\left[4s- \frac{1}{3}s^3\right]_{-2}^{-\sqrt2}\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{16-10\sqrt2}{3}\pi\ }\end{align*}}$
　　　　　　　　

　　①～⑦まではスラスラといきましょう。
　　それほど難しくはありませんが、とりあえず⑧は後回しでしょうか。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/29(木) 01:02:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2014関西大　理系（2月2日）　数学３

第3問

　　座標平面上の曲線Cが媒介変数tを用いて、
　　　　　　　x=1－cost、　y=2－sin2t、　0≦t≦$\small\sf{\pi}$
　　と表示されている。次の問いに答えよ。

　(1) 0＜t＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をtの関数として表せ。

　(2) 0＜t＜$\small\sf{\pi}$ の範囲で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ =0を満たすtの値をすべて求めよ。
　　　また、そのときのxの値を求めよ。

　(3) 曲線Cの概形を解答欄の座標平面上にかけ。ただし、曲線の凹凸は
　　　調べなくてよい。

　(4) 曲線Cと直線x=2、x軸、およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　　　　　x=1－cost、　y=2－sin2t　　……(*)

　(1)
　　　(*)より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\bigg/\frac{dx}{dt}=\underline{\ \frac{-2\cos 2t}{\sin t}\ }\end{align*}}$

　(2)
　　　0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ より
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{-2\cos 2t}{\sin t}\ \ \Leftrightarrow\ \ \cos 2t=0\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2t=\frac{\pi}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\pi\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ t=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{3}{4}\pi\ }\end{align*}}$
　　　t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1-\cos\frac{\pi}{4}=\underline{\ 1-\frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$
　　　t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}\pi\end{align*}}$ のとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=1-\cos\frac{3}{4}\pi=\underline{\ 1+\frac{1}{\sqrt2}\ }\end{align*}}$

　(3)
　　　0＜t＜$\scriptsize\sf{\pi}$ におけるx、yの増減は次のようになる。

　　　

　　　よって、曲線Cの概形は上のようになる。

　(4)
　　　求める面積をSとすると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^2y\ dx\end{align*}}$
　　　なので、(*)のように置換すると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_0^{\pi}\left(2-\sin 2t\right)\cdot \sin t\ dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left(2\sin t-\sin 2t\sin t\right)dt\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\pi}\left\{2\sin t-\frac{1}{2}\left(\cos 3t-\cos t\right)\right\}dt\end{align*}}$　　←積・和の公式
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-2\cos t+ \frac{1}{6}\sin 3t-\frac{1}{2}\sin t\right]_0^{\pi}\end{align*}}$
　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 4\ }\end{align*}}$

　　これもよくある問題ですね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/29(木) 01:03:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

2014関西大　理系（2月2日）　数学４

第4問

　　次の　　　をうめよ。

　(1) 条件
　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}=\frac{a_n}{1+4na_n}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
　　　によって定められる数列{a_n}の一般項はa_n=　①　である。
　　　また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2a_n\end{align*}}$ =　②　である。

　(2) 座標空間において、実数tを用いて座標が
　　　　　　　　(cos($\small\sf{\pi}$ t²)，sin($\small\sf{\pi}$ t²)，t)
　　　と表される点で、球面x²+y²+z²=4上にあるものは2点ある。
　　　 tが小さい方の点をP、tが大きい方の点をQとする。　$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ の
　　　なす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ =　③　である。

　(3) TAKOYAKIの8文字を1列に並べるとき、すべての並び方は　④　
　　　通りある。また、同じ文字が隣り合わない並べ方は　⑤　通りある。

　(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ J=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。A=aE+bJとするとき、
　　　　　　　　　　　　　　$\small\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix} \sf 13&\sf 12 \\ \sf 12 & \sf 13 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　を満たす正の整数の組(a，b)を求めると、(a，b)=　⑥　である。

　(5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)\sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin\end{align*}}$(　⑦　 )である。

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2n^2-3n+2}\end{align*}}$　　　　② $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}\end{align*}}$　　　　④ 10080

　　⑤ 5760　　　　⑥ (3，2)　　　　⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2n+1}{2}x\end{align*}}$

【解説】

　(1)
　　　a₁≠0よりa₂≠0、a₂≠0よりa₃≠0、……
　　　以下、帰納的にa_n≠0なので、与式の両辺の逆数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}+1}{a_{n+1}}=\frac{1+4na_n}{a_n}\ \ \Leftrightarrow\ \ 1+\frac{1}{a_{n+1}}=4n+\frac{1}{a_n}\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}=4n-1\end{align*}}$　　……(ア)
　　　となり、(ア)は数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left\{\frac{1}{a_n}\right\}\end{align*}}$ の階差数列を表しているので、
　　　n≧2のとき、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a_1}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(4k-1\right)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+4\cdot\frac{1}{2}(n-1)n-(n-1)\end{align*}}$
　　　　　　　　　 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2n^2-3n+2\end{align*}}$
　　　これはn=1のときも成り立つので、両辺の逆数をとると、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_n=\frac{1}{2n^2-3n+2}}\end{align*}}$
　　　となり、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^2}{2n^2-3n+2}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}=\underline{\ \frac{1}{2}}\end{align*}}$
　　　を得る。

　(2)
　　　与えられた座標を球面の方程式に代入すると、
　　　　　　　　cos²($\scriptsize\sf{\pi}$ t²)+sin²($\scriptsize\sf{\pi}$ t²)+t²=4
　　　　　　⇔　t²=3
　　　　　　⇔　t=±$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$．
　　　このとき、
　　　　　　　　P(cos3$\scriptsize\sf{\pi}$ ，sin3$\scriptsize\sf{\pi}$ ，－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$)=(－1，0，－$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$)
　　　　　　　　Q(cos3$\scriptsize\sf{\pi}$ ，sin3$\scriptsize\sf{\pi}$ ，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$)=(－1，0，$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt3\end{align*}}$)
　　　より、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=|\overrightarrow{\sf OQ}|=\sqrt{1+0+3}=2\end{align*}}$
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OQ}=1+0-3=-2\end{align*}}$
　　　なので、なす角$\scriptsize\sf{\theta}$ に対して、
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\theta=\frac{-2}{2\cdot 2}=\underline{\ -\frac{1}{2}}\end{align*}}$ ．

　(3)
　　　AとKがそれぞれ2つずつあるので、8文字の並べ方の総数は
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{8!}{2!\ 2!}=\underline{\ 10080}\end{align*}}$ 通り．
　　　このうちで、
　　　　　　A2つが隣り合うものは、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7!}{2!}\end{align*}}$ =2520通り
　　　　　　K2つが隣り合うものも、2520通り
　　　　　　A2つ、K2つがともにが隣り合うものは、6!=720通り
　　　なので、同じ文字が隣り合わない並べ方は
　　　　　　　　10080－(2520×2－720)=5760通り
　　　である。

　(4)
　　　EとJの成分を代入すると、
　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf b & \sf a \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf a^2+b^2&\sf 2ab \\ \sf 2ab & \sf a^2+b^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 13&\sf 12 \\ \sf 12 & \sf 13 \end{pmatrix}\end{align*}}$
　　　となり、各成分を比較すると、
　　　　　　　　a²+b²=13　かつ　2ab=12 ．
　　　これを満たす正の整数a、b（a＞b）の組は、
　　　　　　　　(a，b)=(3，2)
　　　である。

　(5)　　　
　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)\sin\frac{x}{2}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\left\{\sin\left(kx+\frac{\pi}{2}\right)-\sin\left(kx-\frac{x}{2}\right)\right\}\end{align*}}$　　←積・和の公式
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg\{\sin\frac{x}{2}+ \left(\sin\frac{3}{2}x-\sin\frac{x}{2}\right)+\left(\sin\frac{5}{2}x-\sin\frac{3}{2}x\right)+\ldots\end{align*}}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots+\left(\sin\frac{2n+1}{2}x-\sin\frac{2n-1}{2}x\right)\bigg\}\end{align*}}$
　　　　　　　$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\sin\frac{2n+1}{2}x}\end{align*}}$

　　(1)、(5)あたりが気づきにくいかもしれませんね。　　

解答を閉じる↑

Tweet

テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

2018/11/29(木) 01:04:00|

大学入試(数学)　.関西の私立大学　.関西大　理系　2014（2/2）

| トラックバック:0

| コメント:0

プロフィール

Author:シケタキオア
　
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
お願いします。

カレンダー

09 | 2023/10 | 11
日月火水木金土

1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 - - - -

最新記事

2019大阪大　理系数学3 (06/10)
2019大阪大　理系数学2 (06/09)
2019大阪大　理系数学1 (06/08)
2019東京工業大　数学5 (06/07)
2019東京工業大　数学3 (06/05)
2019東京工業大　数学2 (06/04)
2019東京工業大　数学1 (06/03)
2019大阪大　文系数学3 (06/02)
2019大阪大　文系数学2 (06/01)
2019大阪大　文系数学1 (05/31)
2019大阪教育大　数学4 (05/30)
2019大阪教育大　数学3 (05/29)
2019大阪教育大　数学2 (05/28)
2019大阪教育大　数学1 (05/27)
2019大阪府立大　理系数学4 (05/26)
2019大阪府立大　理系数学3 (05/25)
2019大阪府立大　理系数学2 (05/24)
2019大阪府立大　理系数学1 (05/23)
2019大阪府立大　文系数学4 (05/22)
2019大阪府立大　文系数学3 (05/21)

カテゴリー

△ × カテゴリー内の記事

Now Loading...

Now Loading...

Script by Lc-Factory
(詳細:Lc-Factory/雑記)

カウンター

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

奈良県橿原市木原町165-2
tel 0744-25-6173
url http://www.aozemi.com/
mail aozemi@maia.eonet.ne.jp

Powered By FC2ブログ. Copyright ©青木ゼミ青木 All Rights Reserved

09 | 2023/10 | 11
日	月	火	水	木	金	土
1	2	3	4	5	6	7
8	9	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28
29	30	31	-	-	-	-

青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014関西大 理系（2月2日） 数学１

2014関西大 理系（2月2日） 数学２

2014関西大 理系（2月2日） 数学３

2014関西大 理系（2月2日） 数学４

プロフィール

カレンダー

最新記事

カテゴリー

カウンター

橿原市の個別指導塾　青木ゼミの塾長ブログ

2014関西大　理系（2月2日）　数学１

2014関西大　理系（2月2日）　数学２

2014関西大　理系（2月2日）　数学３

2014関西大　理系（2月2日）　数学４