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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014関西大 理系(2月2日) 数学1



第1問

  pを2以上の整数とする。次の問いに答えよ。

 (1) x>0のとき、不等式
         xp+p-1≧px
    が成り立つことを示せ。

 (2) a>0、b>0のとき、不等式
         $\small\sf{\begin{align*} \sf a^p+\left(p-1\right)b^{\frac{p}{p-1}}\geqq pab\end{align*}}$
    が成り立つことを示せ。

 (3) p=3とする。(2)の不等式において等号が成立するとき、
    aをbを用いて表せ。




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2014関西大 理系(2月2日) 数学2



第2問

  aを正の定数とする。中心の座標が(1,a,-a2)の球面が
  xy平面に接しているとする。次の    をうめよ。

 (1) この球面の方程式をaを用いて表すと、
         (x-1)2+(y-a)2+( ①  )2= ② 
    である。

 (2) この球面がさらにxz平面と共有点をもつためのaの値の範囲は
     ③  である。

 (3) xy平面と接しているこの球面がさらにxz平面と共有点をもち、
    その共有点の全体が半径$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2" alt="\end{align*}}$ の円になっているとする。このとき、
    この球面の方程式は
         (x-1)2+(y- ④  )2+( ⑤  )2= ⑥ 
    となる。
    この球面の内部も含めた球の体積は ⑦  である。また、
    この球がxz平面で切り取られる小さい方の部分の体積は
     ⑧  である。




  (注)⑧は、    の形を変えてあります。



2014関西大 理系(2月2日) 数学3



第3問

  座標平面上の曲線Cが媒介変数tを用いて、
       x=1-cost、 y=2-sin2t、 0≦t≦$\small\sf{\pi}$
  と表示されている。次の問いに答えよ。

 (1) 0<t<$\small\sf{\pi}$ の範囲で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ をtの関数として表せ。

 (2) 0<t<$\small\sf{\pi}$ の範囲で、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\end{align*}}$ =0を満たすtの値をすべて求めよ。
    また、そのときのxの値を求めよ。

 (3) 曲線Cの概形を解答欄の座標平面上にかけ。ただし、曲線の凹凸は
    調べなくてよい。

 (4) 曲線Cと直線x=2、x軸、およびy軸とで囲まれた図形の面積を求めよ。





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2014関西大 理系(2月2日) 数学4



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 条件
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=1\ \ ,\ \ \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}+1}=\frac{a_n}{1+4na_n}\ \ \ \ (n=1,2,3,\ldots)\end{align*}}$
    によって定められる数列{an}の一般項はan= ①  である。
    また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ n^2a_n\end{align*}}$ = ②  である。

 (2) 座標空間において、実数tを用いて座標が
        (cos($\small\sf{\pi}$ t2),sin($\small\sf{\pi}$ t2),t)
    と表される点で、球面x2+y2+z2=4上にあるものは2点ある。
    tが小さい方の点をP、tが大きい方の点をQとする。 $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\end{align*}}$ と$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ の
    なす角を$\small\sf{\theta}$ とするとき、cos$\small\sf{\theta}$ = ③  である。

 (3) TAKOYAKIの8文字を1列に並べるとき、すべての並び方は ④ 
    通りある。また、同じ文字が隣り合わない並べ方は ⑤  通りある。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf E=\begin{pmatrix} \sf 1&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 1 \end{pmatrix}\ ,\ J=\begin{pmatrix} \sf 0&\sf 1 \\ \sf 1 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$ とおく。A=aE+bJとするとき、
              $\small\sf{\begin{align*} \sf A^2=\begin{pmatrix} \sf 13&\sf 12 \\ \sf 12 & \sf 13 \end{pmatrix}\end{align*}}$
    を満たす正の整数の組(a,b)を求めると、(a,b)= ⑥  である。

 (5) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\sin\frac{x}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(kx)\sin\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\sin\end{align*}}$( ⑦  )である。