第1問
次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{\log x}{x^2}dx=-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}+C\end{align*}}$ を利用して、不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$
を求めよ。ただし、Cは積分定数とする。
(2) x＞0のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
を示せ。ただし、eは自然対数の底である。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int\left(-\frac{1}{x}\right)'\left(\log x\right)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{1}{x}\left(\log x\right)^2-\int\left(-\frac{1}{x}\right)\cdot 2\left(\log x\right)\cdot \frac{1}{x}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left(\log x\right)^2}{x}+2\int\frac{\left(\log x\right)^2}{x}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -\frac{\left(\log x\right)^2}{x}-\frac{2\log x}{x}-\frac{2}{x}+C}\end{align*}}$ ←題意より
(2)
xの関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\frac{4}{e}\ x^{\frac{1}{4}}-\log x\ \ \ \ (x>0)\end{align*}}$
とおくと、導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\frac{1}{e}\ x^{-\frac{3}{4}}-\frac{1}{x}=\frac{1}{e\ x}\left(x^{\frac{1}{4}}-e\right)\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、x＞0でつねにf(x)≧0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
は成り立つ。（等号成立は、x=e4のとき）
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx=\left[-\frac{\left(\log x\right)^2}{x}-\frac{2\log x}{x}-\frac{2}{x} \right]_1^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-\frac{\left(\log n\right)^2}{n}-\frac{2\log n}{n}-\frac{2}{x}+2\end{align*}}$ ……①
n→∞よりlogn＞0としてよいので、(2)の結果を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\left(\log n\right)^2}{n}\leqq \frac{1}{n}\left(\frac{4}{e}\ n^{\frac{1}{4}}\right)^2=\frac{16}{e\ n^{\frac{1}{2}}} \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\frac{\log n}{n}\leqq \frac{1}{n}\cdot\frac{4}{e}\ n^{\frac{1}{4}}=\frac{4}{e\ n^{\frac{3}{4}}} \end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{16}{e\ n^{\frac{1}{2}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{4}{e\ n^{\frac{3}{4}}} =0\end{align*}}$
なので、はさみうちの原理より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(\log n\right)^2}{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log n}{n}=0\end{align*}}$ ．
よって、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx=\underline{\ 2\ }\end{align*}}$
(3)は、(1)(2)の結果をうまく使いましょう。
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第2問
第1象限において動点Qを、原点を中心とする半径1の円の内部にとり、
O(0，0)、P(1，0)とする。∠OPQ=$\small\sf{\theta}$ 、r=$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$ とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を成分表示
すると、( ① ， ② )となる。k=$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$ とおくと、rと$\small\sf{\theta}$ を用いて、
k= ③ と表される。1－k2=( ④ )rであるから、点Qが角$\small\sf{\theta}$ を
一定に保ったままPに近づくときの比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{1-k}\end{align*}}$ の極限は$\small\sf{\theta}$ の関数として、
f($\small\sf{\theta}$ )= ⑤ と表される。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ f\ (\theta)\end{align*}}$ = ⑥ であり、
f($\small\sf{\theta}$ )＜$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の範囲は ⑦ である。
注意：③と⑤は の形を改題しています。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① 1－rcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ② rsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ③ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{1+r^2-2r\cos\theta}\end{align*}}$
④ r+2cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\cos\theta}\end{align*}}$ ⑥ 1 ⑦ 0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12} \end{align*}}$
【解説】
Qからx軸に垂線QHを下ろすと、△PQHにおいて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QH=r\sin\theta\ \ ,\ \ PH=r\cos\theta\end{align*}}$
なので、 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\underline{\ \left(1-r\cos\theta\ ,\ r\sin\theta\right)}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=|\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left(1-r\cos\theta\right)^2+\left(r\sin\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{1+r^2-2r\cos\theta}}\end{align*}}$ ．
両辺＞0より、両辺を2乗すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k^2=1+r^2-2r\cos\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1-k^2=\underline{\ \left(2\cos\theta-r\right) r}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (1-k)(1+k)=\left(2\cos\theta-r\right) r\end{align*}}$ ……(ア)
点Qが角$\scriptsize\sf{\theta}$ を一定に保ったままPに近づくとき、
OQ→OP より k→1
PQ→0 より r→0
なので、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\lim_{k\rightarrow 1}\frac{r}{1-k}=\lim_{k\rightarrow 1}\frac{1+k}{2\cos\theta-r}=\frac{1+1}{2\cos\theta-0}=\underline{\ \frac{1}{\cos\theta}} \end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}f\ (\theta)=\lim_{\theta\rightarrow +0}\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{\cos 0}=\underline{\ 1} \end{align*}}$ ．
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (\theta)=\frac{1}{\cos\theta}<2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos\theta>\frac{1}{2\sqrt{2-\sqrt3}}\end{align*}}$ ……(イ)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos^2\theta>\frac{1}{4\left(2-\sqrt3\right)}=\frac{2+\sqrt3}{4}\end{align*}}$ ←(イ)の両辺＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1+\cos2\theta}{2}>\frac{2+\sqrt3}{4}\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \cos2\theta>\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$ ……(ウ)
0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、(ウ)を満たす$\scriptsize\sf{\theta}$ の範囲は、
0≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{12} \end{align*}}$
である。
「点Qが角$\scriptsize\sf{\theta}$ を一定に保ったままPに近づける」の意味わかります？？
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第3問
g(x)をxの多項式とし、
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\left( 3t^2-4t+1\right)e^{g(t)}dt\end{align*}}$
とする。次の問いに答えよ。
(1) f(x)の導関数f’(x)をg(x)を用いて表せ。
(2) すべてのxについて
$\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+e^{-\frac{1}{27}}=e^{g(x)}\end{align*}}$
が成り立つとき、g(x)を求めよ。
(3) (2)の条件が成り立つとき、関数f(x)の極値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\left( 3t^2-4t+1\right)e^{g(t)}dt\end{align*}}$ ……(ア)
(1)
(ア)の右辺の被積分関数をh(t)とおく。すなわち、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (t)=\left( 3t^2-4t+1\right)e^{g(t)}\end{align*}}$
とおき、さらに h(t)の不定積分をH(t)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x) =\int_0^xh(t)\ dt=\bigg[H(t)\bigg]_0^x=H(x)-H(0)\end{align*}}$ ．
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=H\ '(x)-0=h(x)=\underline{\ \left( 3x^2-4x+1\right)e^{g(x)}}\end{align*}}$
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+e^{-\frac{1}{27}}=e^{g(x)}\end{align*}}$ ……(イ)
の両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=g\ '(x)\ e^{g(x)}\end{align*}}$
となり、これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=g\ '(x)\ e^{g(x)}=\left( 3x^2-4x+1\right)e^{g(x)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ g\ '(x)=3x^2-4x+1\end{align*}}$ ．
両辺をxで積分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int\left(3x^2-4x+1\right)dx=x^3-2x^2+x+C\end{align*}}$ ……(ウ)
ただし、Cは積分定数である。
ここで、(ア)、(ウ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)=\int_0^0\left( 3t^2-4t+1\right)e^{g(t)}dt=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (0)=C\end{align*}}$
となり、(イ)にx=0を代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (0)+e^{-\frac{1}{27}}=e^{g(0)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 0+e^{-\frac{1}{27}}=e^{C}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ C=-\frac{1}{27}\end{align*}}$ ．
よって、(ウ)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\underline{\ x^3-2x^2+x-\frac{1}{27}}\end{align*}}$
を得る。
(3)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=\left( 3x-1\right)\left(x-1 \right)e^{g(x)}\end{align*}}$
なので、f(x)の増減は次のようになる。
よって、(イ)および(2)より
極大値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left( \frac{1}{3}\right)=e^{g\left( \frac{1}{3}\right)}-e^{-\frac{1}{27}}=\underline{\ e^{\frac{1}{9}}-e^{-\frac{1}{27}}}\end{align*}}$
極小値
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(1\right)=e^{g(1)}-e^{-\frac{1}{27}}=e^{-\frac{1}{27}}-e^{-\frac{1}{27}}=\underline{\ 0}\end{align*}}$
(ア)、(イ)、(ウ)の式を行ったり来たりしますが、
なんとなく適当にいじっていたら出ますね。
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第4問
次の をうめよ。
(1) 方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 81\sqrt3\times 9^{x^2}-3^{6x}\end{align*}}$ の解はx= ① である。
(2) 連立方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf x\left(x-2y-1 \right)=0 \\ \sf y\left(2x-y-1\right)=0 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
の解(x，y)の個数は ② 個である。
(3) a、bを正の数とするとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \log\left(1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}\right)^{2n}\end{align*}}$ = ③
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
① $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{2}\end{align*}}$ ② 4 ③ a+b
【解説】
(1)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 81\sqrt3\times 9^{x^2}=3^{6x}\end{align*}}$
と変形でき、両辺は正なので底3の対数をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log_3\left(81\sqrt3\times 9^{x^2}\right)=\log_33^{6x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_381+\log_3\sqrt3+\log_39^{x^2}=6x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log_3 3^4+\log_3 3^{\frac{1}{2}}+\log_3 3^{2x^2}=6x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4+\frac{1}{2}+2x^2=6x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 4x^2-12x+9=\left(2x-3\right)^2=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \frac{3}{2}}\end{align*}}$ ．
(2)
x(x－2y－1)=0 ……(ⅰ)
y(2x－y－1)=0 ……(ⅱ)
・x=0のとき
(ⅱ)より、y(－y－1)=0 ⇔ y=0 または y=－1
・y=0のとき
(ⅰ)より、x(x－1)=0 ⇔ x=0 または x=1
・x≠0 かつ y≠0のとき
(ⅰ)、(ⅱ)より、x－2y－1=2x－y－1=0
より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{3}\ \ ,\ \ y=-\frac{1}{3}\end{align*}}$
以上より、(ⅰ)、(ⅱ)を同時に満たすx、yの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (x,y)=(0,0)\ ,\ (0,-1)\ ,\ (1,0)\ ,\ \left( \frac{1}{3}\ ,\ -\frac{1}{3}\right)\end{align*}}$
の4個である。
(3）
求める極限をLとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf L=\lim_{n\rightarrow\infty}\log\left\{\left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{b}{n}\right)\right\}^n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{a}{n}\right)^n+\lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{b}{n}\right)^n\end{align*}}$ ．
ここで、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf N=\frac{n}{a}\end{align*}}$ とおくと、n→∞のときN→∞なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{a}{n}\right)^n=\lim_{N\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{1}{N}\right)^{aN}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{N\rightarrow\infty}\log\left\{\left(1+\frac{1}{N}\right)^{N}\right\}^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log e^a\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =a\end{align*}}$
となり、同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\log\left(1+\frac{b}{n}\right)^n=b\end{align*}}$
なので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ L=a+b}\end{align*}}$ ．
(3)で、ネイピア数の定義を用いますが大丈夫ですか？
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第4問
次の をうめよ。
(4) 不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \tan^3\frac{\pi}{n+2}-\frac{7}{3}\tan\frac{\pi}{n+2}+\frac{2}{3}\sqrt3<0\end{align*}}$
を満たす自然数nをすべて求めると、 ④ である。
(5) 原点を中心とする半径1の円Cと直線L：y=mx+2がある。CとLが
共有点をもたない条件はmを用いて ⑤ と表される。このとき、
C上に動点P、L上に動点Qをとったとき、距離PQの最小値をmを用いて
表すと ⑥ である。
(6) mを2以上の整数とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$ = ⑦ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
④ 2、3 ⑤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\sqrt3\lt m<\sqrt3\end{align*}}$ ⑥ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}-1\end{align*}}$ ⑦ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m}{2m-1}\end{align*}}$
【解説】
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\tan\frac{\pi}{n+2}\end{align*}}$ とおくと、n＞0よりt＞0である。
このとき、与式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t^3-\frac{7}{3}t+\frac{2}{3}\sqrt3<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 3t^3-7t+2\sqrt3<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(t+\sqrt3 \right)\left(\sqrt3t-1 \right)\left(\sqrt3t-2 \right)<0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}\lt t<\frac{2}{\sqrt3}\ \ \ \ \left(\because t>0 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{\sqrt3}<\tan\frac{\pi}{n+2}<\frac{2}{\sqrt3}\end{align*}}$ ．
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{\sqrt3}=\tan\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ および
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1<\frac{2}{\sqrt3}<\sqrt3\ \ \Leftrightarrow\ \ \tan\frac{\pi}{4}<\frac{2}{\sqrt3}<\frac{\pi}{3}\end{align*}}$
より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{n+2}=\frac{\pi}{4}\ ,\ \frac{\pi}{5}\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ n=2\ ,\ 3}\end{align*}}$
となる。
(5)
円Cの中心OからL：mx－y+2=0まで距離をdとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d=\frac{|0-0+2|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{m^2+1}}\end{align*}}$
であり、CとLが共有点を持たないとき、 d＞Cの半径 となるので
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}>1\ \ \Leftrightarrow\ \ 2^2>m^2+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -\sqrt3\lt m<\sqrt3}\end{align*}}$ ．
となる。
また、右図より、
PQ≧OQ－OP=OQ－1≧d－1
なので、PQの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf d-1=\underline{\ \frac{2}{\sqrt{m^2+1}}-1}\end{align*}}$
である。
(6)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{1+\frac{m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}\right)^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1x^{\frac{m-1}{m}}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{m}{2m-1}x^{\frac{2m-1}{m}} \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{m}{2m-1}}\end{align*}}$
(6)、は区分求積法ですね。
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プロフィール
Author:シケタキオア
橿原市の個別指導塾
青木ゼミの塾長ブログです。
毎日、大学入試数学を解いて
いきますので、どうぞよろしく
お願いします。
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