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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2014関西大 理系(全学部) 数学1



第1問

  次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \int\frac{\log x}{x^2}dx=-\frac{\log x}{x}-\frac{1}{x}+C\end{align*}}$ を利用して、不定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I\sf =\int\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$
    を求めよ。ただし、Cは積分定数とする。

 (2) x>0のとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{4x^{\frac{1}{4}}}{e}-\log x\geqq 0\end{align*}}$
    を示せ。ただし、eは自然対数の底である。

 (3) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\int_1^n\frac{\left(\log x\right)^2}{x^2}dx\end{align*}}$ を求めよ。



テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術

  1. 2018/11/29(木) 02:01:00|
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2014関西大 理系(全学部) 数学2



第2問

  第1象限において動点Qを、原点を中心とする半径1の円の内部にとり、
  O(0,0)、P(1,0)とする。∠OPQ=$\small\sf{\theta}$ 、r=$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|\end{align*}}$ とおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}\end{align*}}$ を成分表示
  すると、( ①  ②  )となる。k=$\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OQ}|\end{align*}}$ とおくと、rと$\small\sf{\theta}$ を用いて、
  k= ③  と表される。1-k2=( ④  )rであるから、点Qが角$\small\sf{\theta}$ を
  一定に保ったままPに近づくときの比 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{r}{1-k}\end{align*}}$ の極限は$\small\sf{\theta}$ の関数として、
  f($\small\sf{\theta}$ )= ⑤  と表される。このとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{\theta\rightarrow +0}\ f\ (\theta)\end{align*}}$ = ⑥  であり、
  f($\small\sf{\theta}$ )<$\small\sf{\begin{align*} \sf 2\sqrt{2-\sqrt3}\end{align*}}$ を満たす$\small\sf{\theta}$ の範囲は ⑦  である。



  注意:③と⑤は    の形を改題しています。



2014関西大 理系(全学部) 数学3



第3問

  g(x)をxの多項式とし、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\int_0^x\left( 3t^2-4t+1\right)e^{g(t)}dt\end{align*}}$
  とする。次の問いに答えよ。

 (1) f(x)の導関数f’(x)をg(x)を用いて表せ。

 (2) すべてのxについて
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)+e^{-\frac{1}{27}}=e^{g(x)}\end{align*}}$
    が成り立つとき、g(x)を求めよ。

 (3) (2)の条件が成り立つとき、関数f(x)の極値を求めよ。




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2014関西大 理系(全学部) 数学4(1)~(3)



第4問

  次の    をうめよ。

 (1) 方程式 $\small\sf{\begin{align*} \sf 81\sqrt3\times 9^{x^2}-3^{6x}\end{align*}}$ の解はx= ①  である。

 (2) 連立方程式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \left\{ \begin{array}{ll}\sf x\left(x-2y-1 \right)=0 \\ \sf y\left(2x-y-1\right)=0 \\\end{array} \right.\end{align*}}$
    の解(x,y)の個数は ②  個である。

 (3) a、bを正の数とするとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \log\left(1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}\right)^{2n}\end{align*}}$ = ③ 
    である。




2014関西大 理系(全学部) 数学4(4)~(6)



第4問

  次の    をうめよ。

 (4) 不等式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \tan^3\frac{\pi}{n+2}-\frac{7}{3}\tan\frac{\pi}{n+2}+\frac{2}{3}\sqrt3<0\end{align*}}$
    を満たす自然数nをすべて求めると、 ④  である。

 (5) 原点を中心とする半径1の円Cと直線L:y=mx+2がある。CとLが
    共有点をもたない条件はmを用いて ⑤  と表される。このとき、
    C上に動点P、L上に動点Qをとったとき、距離PQの最小値をmを用いて
    表すと ⑥  である。

 (6) mを2以上の整数とするとき、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{n^{\frac{2m-1}{m}}}\sum_{k=1}^nk^{\frac{m-1}{m}}\end{align*}}$ = ⑦  である。