第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。
(2) 座標平面において1次変換fによる点A(2，0)の像は点C(4，0)であり、
点B(0，4)の像も点C(4，0)であるとする。このとき、fによる点D(3，2)
の像は( キ ， ク )である。次に、放物線上を動く点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(t\ ,\ -\frac{1}{2}t^2+1\right)\end{align*}}$
（0≦t≦4）のfによる像を点Qとする。点Qのx座標の最大値は ケ で
あり、そのときの点Pのx座標は コ である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
キ 8 ク 0 ケ 3 コ 2
【解説】
一次変換fによって、点A、BがともにCに移るので、
fを表す行列をXとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf X\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 4 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ X=\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 4 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 4 \end{pmatrix}^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8}\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 4 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sf 4&\sf 0 \\ \sf 0 & \sf 2 \end{pmatrix}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\begin{pmatrix} \sf 2&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{3}{2}=\binom{8}{0}\end{align*}}$
より、点Dの像は点(8，0)である。
また、点Pのfによる像は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf 2&\sf 1 \\ \sf 0 & \sf 0 \end{pmatrix}\binom{2}{-\frac{1}{2}t^2+1}=\binom{-\frac{1}{2}t^2+2t+1}{0}\end{align*}}$
となるので、点Qのx座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{1}{2}t^2+2t+1=-\frac{1}{2}\left(t-2\right)^2+3\end{align*}}$
より、t=2のとき最大値3をとる。
これは基本的な問題ですね。
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- 2014/02/17(月) 23:56:00|
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第２問
座標空間において原点O(0，0，0)と、3点A(a，a，b)、B(a，b，a)、
C(b，a，a)（b＞a≧0）を頂点とする四面体OABCを考える。次の問い
に答えよ。
(１) △ABCの面積Sを求めよ。
(２) 四面体OABCの体積Vを求めよ。
(３) 四面体OABCが正四面体となる条件を、aとbを用いて表せ。
(４) a、bがともに自然数のとき、(３)の条件を満たすbの最小値と、
そのときのaの値をそれぞれ求めよ。また、そのときのSとVを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(0,b-a,-(b-a)\right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(b-a,0,-(b-a)\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=|\overrightarrow{\sf AC}|^2=2\left(b-a\right)^2\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\left(b-a\right)^2\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{4\left(b-a\right)^4-\left(b-a\right)^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right)^2\ \ (>0)}\end{align*}}$
(2)
△ABCの重心をGとすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}=\left(\frac{2a+b}{3},\frac{2a+b}{3},\frac{2a+b}{3}\right)\end{align*}}$
となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=0+\frac{2a+b}{3}(b-a)-\frac{2a+b}{3}(b-a)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OG}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=\frac{2a+b}{3}(b-a)+0-\frac{2a+b}{3}(b-a)=0\end{align*}}$
なので、OG⊥AB かつ OG⊥ACとなる。
すなわち、OG⊥平面ABCなので、△ABCを底面としたときの
四面体OABCの高さは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OG}|=\frac{\sqrt3}{3}\left(2a+b\right)\end{align*}}$
となる。
よって、四面体OABCの体積Vは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{3}\triangle ABC\times OG\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt3}{2}\left(b-a\right)^2\cdot \frac{\sqrt3}{3}\left(2a+b\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{6}\left(b-a\right)^2\left(2a+b\right)}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OA}|^2=|\overrightarrow{\sf OB}|^2=|\overrightarrow{\sf OC}|^2=2a^2+b^2\end{align*}}$ ……②
四面体OABCが正四面体となるためには、①と②が一致する
必要があるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2\left(b-a\right)^2=2a^2+b^2\ \ \Leftrightarrow\ \ b^2-4b=0\ \ \Leftrightarrow\ \ b=4a\ \ (\because b\ne 0)\end{align*}}$ ．
逆にこのとき、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BC}|^2\end{align*}}$ の値も等しくなり、6辺がすべて等しくなる。
よって、求める条件は、b=4aである。
(4)
(3)の条件を満たす自然数a、bのうちで最小のものは、
a=1、 b=4
である。このとき、(1)、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{\sqrt3}{2}\left(4-1\right)^2=\underline{\ \frac{9}{2}\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\frac{1}{6}\left(4-1\right)^2\cdot \left(2\cdot 1+4\right)=\underline{\ 9}\end{align*}}$
(2)は、Gに気づくと楽ですが、気づかない場合は、
同じ同志社大の2014年全学部日程の大問2
http://aozemi.blog.fc2.com/blog-entry-1248.html
と同じ手法で求めていきましょう。
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第4問
Oを原点とする座標平面において、曲線C1：y=logx+logtと
曲線C2：y=ax2を考える。ただしaとtは正の実数である。曲線
C1とC2は共有点Pを持ち、また、PにおけるC1とC2の接線が
一致するものとする。次の問いに答えよ。
(1) Pのx座標をx0とする。x0、a、tの間に成立する関係式を書け。
(2) x0とaをtを用いて表せ。
(3) PにおけるC2の法線をLとする。また、Lとx軸の交点をQ、Lと
y軸の交点をRとする。△OQRの面積S(t)を求め、また、S(t)を
最小とするtの値を求めよ。
(4) tが(3)で求めた値のとき、曲線C1、C2とx軸が囲む図形の面積
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1とC2は共有点Pを持つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \log x_0+\log t=ax_0^2}\end{align*}}$ ……①
また、PにおけるC1とC2の接線が一致し、
C1、C2の導関数はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=\frac{1}{x}\ \ ,\ \ y'=2ax\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x_0}=2ax_0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{2x_0^2}}\end{align*}}$ ……②
よって、求める関係式は①、②である。
(2)
②を①に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log x_0+\log t=\frac{1}{2x_0^2}\cdot x^2=\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x_0=\frac{1}{2}-\log t=\log\frac{\sqrt{e}}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x_0=\underline{\ \frac{\sqrt{e}}{t}}\end{align*}}$
②に代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=\frac{1}{2\left(\frac{\sqrt{e}}{t}\right)^2}=\underline{\ \frac{t^2}{2e}}\end{align*}}$
(3)
Lの方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-ax_0^2=-\frac{1}{2ax_0}\left(x-x_0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2ax_0} x+\frac{1}{2a}+ax_0^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{\sqrt{e}}{t}x+\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$ ←(2)より
Qのx座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=-\frac{\sqrt{e}}{t}x+\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{t}{\sqrt{e}}\left(\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
Rのy座標
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\end{align*}}$
よって、△OQRの面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ (t)=\frac{1}{2}\cdot\frac{t}{\sqrt{e}}\left(\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\frac{e}{t^2}+\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2\sqrt{e}}\left(\frac{1}{4}t+\frac{e}{t}+\frac{e^2}{t^3}\right)}\end{align*}}$
tで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S\ '(t)=\frac{1}{2\sqrt{e}}\left(\frac{1}{4}-\frac{e}{t^2}-\frac{3e^2}{t^4}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8\sqrt{e}\ t^4}\left(t^4-4et^2-12e^2\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{8\sqrt{e}\ t^4}\left(t^2-6e\right)\left(t^2+2e\right)\end{align*}}$ ．
S(t)の増減は次のようになる。
よって、S(t)を最小にするtの値は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ t=\sqrt{6e}}\end{align*}}$ である。
(4)
曲線C1とx切片は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0=\log x+\log t\ \ \Leftrightarrow\ \ x=\frac{1}{t}\end{align*}}$
であり、曲線C1、C2とx軸が囲む図形は
右図のようになるので、その面積をTとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\int_0^{x_0}ax^2\ dx-\int_{\frac{1}{t}}^{x_0}\left(\log x+\log t\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{ax^3}{3}\right]_0^{x_0}-\bigg[x\log x-x+\left(\log t\right)x\bigg]_{\frac{1}{t}}^{x_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{ax^3}{3}\right]_0^{x_0}-\bigg[x\log\frac{xt}{e}\bigg]_{\frac{1}{t}}^{x_0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ax_0^3}{3}-x_0\log\frac{ x_0\ t}{e}+\frac{1}{t}\log\frac{\frac{1}{t}\cdot t}{e}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{ax_0^3}{3}-x_0\log\frac{ x_0\ t}{e}-\frac{1}{t}\end{align*}}$
(2)、(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\sqrt{6e}\ \ ,\ \ x_0=\frac{1}{\sqrt6}\ \ ,\ \ a=3\end{align*}}$
なので、これを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\frac{1}{6\sqrt6}-\frac{1}{\sqrt6}\log\frac{\sqrt{6e}\cdot\frac{1}{\sqrt6}}{e}-\frac{1}{\sqrt{6e}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3\sqrt6}-\frac{1}{\sqrt{6e}}}\end{align*}}$
上から順に計算していきましょう！
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