第1問
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf -1 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 2次正方行列X、Yがともに逆行列をもてば、積XYも逆行列をもつことを示せ。
(2) すべての実数sに対して、A+sEは逆行列をもつことを示せ。
(3) すべての実数ｔに対して、A2+3ｔA+2ｔ2Eは逆行列をもつことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
X、Yはともに逆行列をもつので
XX-1=X-1X=E
YY-1=Y-1Y=E
となるX-1、Y-1が存在する。
これより、
XY(Y-1X-1)=X(YY-1)X-1
=XX-1
=E
(Y-1X-1)XY=Y-1(X-1X)Y
=Y-1Y
=E
が成り立つので、Y-1X-1はXYの逆行列となり、題意は示された。
成分計算なんてしちゃダメですよ！
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A+sE=\begin{pmatrix}\sf 1+s&\sf 1\\ \sf -1 &\sf 1+s\end{pmatrix}\end{align*}}$
より、デターミナントを計算すると、
det(A－sE)=(1+s)2+1＞0．
よって、A+sEの逆行列は存在する。
逆行列の存在条件は知ってますよね！
(3)
AとEは可換なので、
A2+3ｔA+2ｔ2E=(A+ｔE)(A+2ｔE)
(2)で、s=ｔ、s=2ｔとすると、
A+ｔE、A+2ｔE はそれぞれ逆行列をもつ。
(1)より、その積(A+ｔE)(A+2ｔE)も逆行列をもつので、
題意は示された。
うまく(1)、(2)を使いましょう！
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- 2011/10/21(金) 23:57:00|
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第2問
確率pで表が出るコインが2枚ある。それらをA、Bとする。Xさんは表が2回出る
までコインAを投げ続け、Yさんは表が3回出るまでコインBを投げ続ける。
次の問いに答えよ。
(1) Aの裏がちょうどｋ回出る確率akをpとｋを用いて表せ。
(2) Bの裏がちょうどｋ回出る確率bkをpとｋを用いて表せ。
(3) Aの裏が出る回数とBの裏が出る回数の和が3である確率cをpを用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
1回目～ｋ+1回目･･･裏がｋ回、表が1回
ｋ+2回目･･･表
aｋ=(1－p)ｋ･p・k+1C1×p
=(ｋ+1)(1－p)ｋp2
(2)
1回目～ｋ+2回目･･･裏がｋ回、表が2回
ｋ+3回目･･･表
bｋ=(1－p)ｋ･p2・k+2C2×p
= $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ (ｋ+2)(ｋ+1)(1－p)ｋp3
(3)
(Aの裏の枚数，Bの裏の枚数)=(0，3)、(1，2)、(2，1)、(3，0)
なので、
c=a0b3+a1b2+a2b1+a3b0 ････①
ここで、(1)より
a0=p2、 a1=2(1-p)p2、 a2=3(1-p)2p2、 a3=4(1-p)3p2
(2)より
b0=p3、 b1=3(1-p)p3、 b2=6(1-p)2p3、 b3=10(1-p)3p3
これらより①を計算すると、
c=10(1-p)3p5+12(1-p)3p5+9(1-p)3p5+4(1-p)3p5
=35(1-p)3p5
同じ年の神戸大にも似たような問題が出題されています。
神戸大の方は反復試行ではないので、少し難しいですが。
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- 2011/10/22(土) 23:57:00|
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第3問
関数ｆ(x)=sin2x+3sinxについて、次の問いに答えよ。
(1) 導関数ｆ’(x)の最大値、最小値を求めよ。
(2) aを定数としてｇ(x)=ｆ(x)－axと定義するとき、ｇ(x)が極値をもつような
aの値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
ｆ’(x)=2cos2x+3cosx
=4cos2x+3cosx－2 ←cosの倍角公式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =4\left(\cos x+\frac{3}{8}\right)^2-\frac{41}{16}\end{align*}}$
－1≦cosx≦1より
cosx=1のとき、ｆ’(x)は最大値5、
cosx=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{3}{8}\end{align*}}$ のとき、ｆ’(x)は最小値 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{41}{16}\end{align*}}$ をとる。
(2)
ｇ’(x)=ｆ’(x)－aなので、
ｇ(x)が極値をもたない
⇔ 常にｇ’(x)≧0 または 常にｇ’(x)≦0
⇔ 常にｆ'(x)≧a または 常にｆ’(x)≦a
⇔ ｆ’(x)の最小値≧a または ｆ'(x)の最大値≦a
逆に、
ｆ’(x)の最小値＜a＜ｆ’(x)の最大値
であれば、ｇ(x)は極値をもつので、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{-\frac{41}{16}
う～ん、どうでしょう？ 高校生は、ここまでスマートな答案書けますかね？
普通に増減表を書いてグラフから考える方が、とっつきやすいかもしれませんね。
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- 2011/10/23(日) 23:57:00|
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第4問
a、bはa＜bをみたす実数とする。ｆ(x)、ｇ(x)は閉区間[a，b]で定義された連続関数
で、ｇ(x)≦ｆ(x)をみたすとする。座標平面上、不等式a≦x≦b、ｇ(x)≦y≦ｆ(x)をみ
たす点(x，y)全体からなる図形をAとする。Aの面積Sが正のとき、Aの重心のy座標
は、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s}\int_a^b\ \frac{\begin{Bmatrix} \sf \ f (x)\ \end{Bmatrix}^2-\begin{Bmatrix} \sf \ g (x)\ \end{Bmatrix}^2}{2}\ dx\end{align*}}$
で与えられる。この事実を用いて、次の問いに答えよ。
(1) rは0＜r＜1をみたす実数とする。不等式r2≦x2+y2≦1 、 y≧0をみたす点
(x，y)全体からなる図形をBとおく。Bの重心のy座標Y(r)をrを用いて表せ。
(2) ｔは正の実数とする。不等式
$\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq x\leqq 1\ \ ,\ \ \sqrt{1-x^2}-t\leqq y \leqq\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
をみたす点(x，y)全体からなる図形をCとおく。Cの重心のy座標Z(ｔ)をｔを用い
て表せ。
(3) (1)で得られたY(r)と(2)で得られたZ(ｔ)について、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{r\rightarrow1-0}\end{align*}}$ Y(r)と $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow+0}\end{align*}}$ Z(ｔ)
の大小を比較せよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
Bを図示すると、右の図のようになる。
その面積S1は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_1=1^2\cdot\pi\times\frac{1}{2}-r^2\cdot\pi\times\frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}(1-r^2)\end{align*}}$
また、
r2≦x2+y2≦1 ⇔ r2－x2≦y2≦1－x2
ここで、y≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sqrt{r^2-x^2}\leqq y\leqq \sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
領域の上側の境界(青線)をy=ｆ(x)、下側の境界(ピンク)をy=ｇ(x)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \sqrt{r^2-x^2} & (\sf -r\leqq x\leqq r) \\ 0 & (\sf -1\leqq x<-r\ ,\ r\lt x\leqq 1) \\\end{array} \right.\end{align*}}$
図の対称性を考慮に入れてY(r)を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y(r)=\frac{1}{S_1}\int_0^1 \{f(x)\}^2\ dx\ -\frac{1}{S_1}\int_0^1 \{g(x)\}^2\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{S_1}\int_0^1 (1-x^2)\ dx\ -\frac{1}{S_1}\int_0^r (r^2-x^2)\ dx\end{align*}}$
これを計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Y\ (r)=\underline{\ \frac{4(1+r+r^2)}{3\pi(1+r)}\ \ }\end{align*}}$
なにやら初めて見る難しそうな式が問題文に書かれていますが、
(1)は関数ｇ(x)の取り方さえ間違わなければ、あとは計算だけです。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h\ (x)=\sqrt{1-x^2}-t\end{align*}}$
とおくと、
(1)と同様にy=ｆ(x)は半円(青線)を
表し、y=ｇ(x)のグラフは、
y=ｆ(x)をy軸方向に－ｔだけ平行移動した
半円(ピンク)を表す。
よって、Cは右の図のようになり、
その面積S2は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_2=\int_{-1}^{1}\ \{f(x)-g(x) \}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{-1}^{1}\ t\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2t\end{align*}}$
図の対称性を考慮に入れて、Z(ｔ)を求めると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Z(t)=\frac{1}{S_2}\int_0^1 \left(\{f(x)\}^2\ -\{g(x)\}^2\right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2t}\int_0^1 \begin{Bmatrix}\left( \sf 1-x^2 \right)-\left(\sf 1-x^2-2t\sqrt{1-x^2}+t^2\right) \end{Bmatrix} dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\ \sqrt{1-x^2}\ dx-\frac{1}{2}\int_0^1\ t\ dx\end{align*}}$
1つ目の積分を、x=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換して、上式を計算すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Z\ (t)=\underline{\ \frac{\pi}{4}-\frac{t}{2}\ \ }\end{align*}}$
x=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換しなくても、扇形の面積ととらえれば暗算ですね。
(3)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{r\rightarrow1-0}\ Y\ (r)=\frac{4\cdot(1+1+1^2)}{3\pi\cdot(1+1)}=\frac{2}{\pi}\end{align*}}$
一方、(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow +0}\ Z\ (t)=\frac{\pi}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{4}-\frac{2}{\pi}=\frac{\pi^2-8}{4\pi}>0\ \ (\because\ \ \pi>3\ )\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \lim_{r\rightarrow1-0}\ Y\ (r)<\lim_{t\rightarrow +0}\ Z\ (t)\ \ }\end{align*}}$
(1)、(2)さえできれば問題ないと思います。
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- 2011/10/24(月) 23:57:00|
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