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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010大阪市立大 理系数学1




第1問

  $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 1\\ \sf -1 &\sf 1\end{pmatrix}\ \ ,\ \ E=\begin{pmatrix}\sf 1 &\sf 0\\ \sf 0 &\sf 1\end{pmatrix}\end{align*}}$ とする。次の問いに答えよ。

 (1) 2次正方行列X、Yがともに逆行列をもてば、積XYも逆行列をもつことを示せ。

 (2) すべての実数sに対して、A+sEは逆行列をもつことを示せ。

 (3) すべての実数tに対して、A2+3tA+2t2Eは逆行列をもつことを示せ。




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  1. 2011/10/21(金) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2010
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2010大阪市立大 理系数学2




第2問

  確率pで表が出るコインが2枚ある。それらをA、Bとする。Xさんは表が2回出る
  までコインAを投げ続け、Yさんは表が3回出るまでコインBを投げ続ける。
  次の問いに答えよ。

 (1) Aの裏がちょうどk回出る確率akをpとkを用いて表せ。

 (2) Bの裏がちょうどk回出る確率bkをpとkを用いて表せ。

 (3) Aの裏が出る回数とBの裏が出る回数の和が3である確率cをpを用いて表せ。




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  1. 2011/10/22(土) 23:57:00|
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2010大阪市立大 理系数学3



第3問

  関数f(x)=sin2x+3sinxについて、次の問いに答えよ。

 (1) 導関数f’(x)の最大値、最小値を求めよ。

 (2) aを定数としてg(x)=f(x)-axと定義するとき、g(x)が極値をもつような
    aの値の範囲を求めよ。




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  1. 2011/10/23(日) 23:57:00|
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2010大阪市立大 理系数学4




第4問

  a、bはa<bをみたす実数とする。f(x)、g(x)は閉区間[a,b]で定義された連続関数
  で、g(x)≦f(x)をみたすとする。座標平面上、不等式a≦x≦b、g(x)≦y≦f(x)をみ
  たす点(x,y)全体からなる図形をAとする。Aの面積Sが正のとき、Aの重心のy座標
  は、
      $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{s}\int_a^b\ \frac{\begin{Bmatrix} \sf \ f (x)\ \end{Bmatrix}^2-\begin{Bmatrix} \sf \ g (x)\ \end{Bmatrix}^2}{2}\ dx\end{align*}}$

  で与えられる。この事実を用いて、次の問いに答えよ。

 (1) rは0<r<1をみたす実数とする。不等式r2≦x2+y2≦1 、 y≧0をみたす点
    (x,y)全体からなる図形をBとおく。Bの重心のy座標Y(r)をrを用いて表せ。

 (2) tは正の実数とする。不等式
      $\small\sf{\begin{align*} \sf -1\leqq x\leqq 1\ \ ,\ \ \sqrt{1-x^2}-t\leqq y \leqq\sqrt{1-x^2}\end{align*}}$
    をみたす点(x,y)全体からなる図形をCとおく。Cの重心のy座標Z(t)をtを用い
    て表せ。

 (3) (1)で得られたY(r)と(2)で得られたZ(t)について、$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{r\rightarrow1-0}\end{align*}}$ Y(r)と $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{t\rightarrow+0}\end{align*}}$ Z(t)
    の大小を比較せよ。



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  1. 2011/10/24(月) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .大阪市立大 理系 2010
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