第1問
次の に適する数または式を、解答用紙の同じ記号の付いた
の中に記入せよ。
袋の中に1から9までの数字が1つずつ書かれた9個の球が入っている。
この袋の中から球を1個取り出し、取り出した球の数字を調べて袋に戻す
ことを2回行うとき、取り出した球に書かれた数字のうちの最大値をXとす
る。Xが3以下となる場合の数は ア 通りである。また、Xが4以下とな
る場合の数は イ 通りである。Xが3となる場合の数は ウ 通りで
あるので、Xが3と等しくなる確率は エ である。したがって、i=1，2，
3，…，9に対して、Xがiと等しくなる確率は オ であり、Xの期待値は
カ である。
次に、この袋から球を1個取り出し、取り出した球の数字を調べて袋に戻す
ことをk回行うとき（kは自然数）、取り出した球に書かれた数字のうちの最
大値をYとする。Yがj（j=1，2，3，…，9）以下となる場合の数は キ
通りであり、Yがjと等しくなる場合の数は ク 通りである。したがって、
Yがjと等しくなる確率は ケ であり、Yの期待値は $\small\sf{\begin{align*} \sf 9-\frac{1}{9^k}\sum_{j=1}^8\end{align*}}$ コ で
ある。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア 9 イ 16 ウ 5 エ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{81}\end{align*}}$ オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2i-1}{81}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{175}{27}\end{align*}}$ キ jk ク jk－(j－1)k ケ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{j^k-(j-1)^k}{9^k}\end{align*}}$ コ jk
【解説】
(ア) 2回とも3以下であればよいので、32=9通り
(イ) 2回とも4以下であればよいので、42=16通り
(ウ) 2回とも2以下になるのは、22=4通りあり、
これと(ア)より、X=3となるのは、9－4=5通り
(エ) 取り出し方は全部で 92=81通りあるので、(ウ)より
X=3となる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{5}{81}}\end{align*}}$
(オ) 2回ともj以下になるのは、j2通りあり、
このうち、2回ともj－1以下になるのは、(j－1)2通りなので、
X=jとなる場合の数は、j2－(j－1)2通りである。
よって、X=jとなる確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{j^2-(j-1)^2}{81}=\underline{\ \frac{2j-1}{81}}\end{align*}}$
(キ) k回すべてj以下であればよいので、jk通り
(ク) k回すべてj－1以下になるのは、(j－1)k通りあり、
これと(キ)より、Y=jとなるのは、jk－(j－1)k通り
(ケ) 取り出し方は全部で 9k通りあるので、(ク)より
Y=jとなる確率は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{j^k-(j-1)^k}{9^k}}\end{align*}}$
(コ)
j=1，2，3，…，9なので、Yの期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{j=1}^9\ j\cdot\frac{j^k-(j-1)^k}{9^k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1^k-0^k)+2(2^k-1^k)+3(3^k-2^k)+\ldots\ldots+8(8^k-7^k)+9(9^k-8^k)}{9^k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(1-2)\cdot 1^k+(2-3)\cdot 2^k+(3-4)\cdot 3^k+\ldots\ldots+(8-9)\cdot 8^k+9\cdot 9^k}{9^k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =9-(1^k+2^k+3^k+\ldots\ldots +8^k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =9-\sum_{j=1}^8\ j^k\end{align*}}$
(コ)が少し難しいかもしれませんね。Σをバラバラにすると見えると思います。
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第2問
座標空間内の球面x2+y2+z2=9上に3点A(3，0，0)、B(2，1，2)、
C(1，－2，2)を取る。次の問いに答えよ。
(1) △ABCの面積を求めよ。
(2) 3点A，B，Cを通る平面に、原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を
求めよ。
(3) 球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え、その体積をVと
する。Vの最大値と、そのときの点Pの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
3点A(3，0，0)、B(2，1，2)、C(1，－2，2)に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}=\left(-1,1,2 \right)\ \ ,\ \ \overrightarrow{\sf AC}=\left(-2,-2,2\right)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AB}|^2=(-1)^2+1^2+2^2=6\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AC}|^2=(-2)^2+(-2)^2+2^2=12\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=2-2+4=4\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle ABC=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf AB}|^2|\overrightarrow{\sf AC}|^2-\left(\overrightarrow{\sf AB}\cdot\overrightarrow{\sf AC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{6\times 12-4^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \sqrt{14}}\end{align*}}$
(2)
Hの座標を(X，Y，Z)とおくと、Hは平面ABC上の点なので、
実数s、tを用いて、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AH}=s\ \overrightarrow{\sf AB}+t\ \overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X-3,Y,Z \right)=s\left(-1,1,2 \right)+t\left(-2,-2,2 \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(X,Y,Z \right)=\left(-s-2t+3,s-2t,2s+2t \right)\end{align*}}$
と表すことができる。
また、OH⊥平面ABCより、OH⊥AB、OH⊥ACとなるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AB}=-(-s-2t+3)+(s-2t)+2(2s+2t)=0 \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\cdot\overrightarrow{\sf AC}=-2(-s-2t+3)-2(s-2t)+2(2s+2t)=0 \end{align*}}$ ．
これら2式を連立させて解くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf s=\frac{3}{14}\ \ ,\ \ t=\frac{3}{7}\end{align*}}$
となるので、Hの座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ H\left( \frac{27}{14}\ ,\ -\frac{9}{14}\ ,\ \frac{9}{7}\right)}\end{align*}}$
である。
(3)
球面上のPと平面ABCとの距離をhとおくと、
H、O、Pがこの順で一直線上にあるときhは
最大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf h_{max}=OH+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{\left( \frac{27}{14}\right)^2+\left( -\frac{9}{14}\right)^2+\left( \frac{9}{7}\right)^2}+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{14}\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}+3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{\sqrt{14}}+3\end{align*}}$ ．
よって、Vの最大値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_{max}=\frac{1}{3}\sqrt{14}\times\left(\frac{9}{\sqrt{14}}+3\right)=\underline{\ 3+\sqrt{14}}\end{align*}}$
H、O、Pがこの順で一直線上にあるので、負の実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=k\ \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$
と表すことができ、Pは球面上にあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|=|k\ \overrightarrow{\sf OH}|=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{9}{\sqrt{14}}\ k=3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=-\frac{\sqrt{14}}{3}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=-\frac{\sqrt{14}}{3}\left( \frac{27}{14}\ ,\ -\frac{9}{14}\ ,\ \frac{9}{7}\right)=\left( -\frac{9}{\sqrt{14}}\ ,\ \frac{3}{\sqrt{14}}\ ,\ -\frac{6}{\sqrt{14}}\right)\end{align*}}$
より、Vを最大にするような点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{P\left( -\frac{9}{\sqrt{14}}\ ,\ \frac{3}{\sqrt{14}}\ ,\ -\frac{6}{\sqrt{14}}\right)}\end{align*}}$
となる。
(3)は図を描けば気がつくと思います。
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第3問
曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\left(\log x\right)^2+\frac{3}{4}\ \ \ (x>0)\end{align*}}$
について、以下の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}\ ,\ \frac{d^2y}{dx^2}\end{align*}}$ を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}>0\end{align*}}$ となるxの範囲を求めよ。
(2) 曲線Cの接線で原点(0，0)を通るものを求めよ。
(3) 曲線Cの概形と(2)で求めた接線を描け。
(4) (2)で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線Cとの接点をPと
する。点Pの座標を求めよ。
(5) (4)で求めた点Pを通りx軸に平行な直線と曲線Cで囲まれた図形
の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
yの第1次および第2次導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=2\left( \log x\right)\cdot\frac{1}{x}=\underline{\ \frac{2\log x}{x}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{2}{x}\cdot x-2\log x\cdot 1}{x^2}=\underline{\ \frac{2\left(1-\log x\right)}{x^2}}\end{align*}}$
なので、x＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dy}{dx}=\frac{2\log x}{x}>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \log x>0\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ x>1}\end{align*}}$
(2)
接点のx座標をtとおくと、接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left\{\left( \log t\right)^2+\frac{3}{4} \right\}=\frac{2\log t}{t}\left(x-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{2\log t}{t}\ x+\left( \log t\right)^2-2\log t +\frac{3}{4}\end{align*}}$
で表すことができ、これが(0，0)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \log t\right)^2-2\log t +\frac{3}{4}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(2\log t-1 \right)\left(2\log t-3 \right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log t=\frac{1}{2}\ ,\ \frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ t=e^{\frac{1}{2}}\ ,\ e^{\frac{3}{2}}\end{align*}}$ ．
よって、接線の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{e^{\frac{1}{2}}}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=e^{-\frac{1}{2}}\ x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{2\cdot \frac{3}{2}}{e^{\frac{3}{2}}}\ x\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=3e^{-\frac{3}{2}}\ x}\end{align*}}$
(3)
(1)より、Cの増減表およびグラフの概形は下のようになる。
(4)
(2)で求めた接線のうち、傾きが大きいのは $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=3e^{-\frac{3}{2}}\ x\end{align*}}$ なので、
接点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P\left(e^{\frac{3}{2}}\ ,\ \left( \frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right)=\underline{\ \left( e^{\frac{3}{2}}\ ,\ 3\right)}\end{align*}}$
(5)
(4)より、Pを通りx軸に平行な直線はy=3なので、
Cの方程式と連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3=\left(\log x\right)^2+\frac{3}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \log x=\pm\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=e^{\pm\frac{3}{2}}\end{align*}}$ ．
直線y=3とCで囲まれる図形は右図のようになるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}\left\{3-\left(\left(\log x\right)^2+\frac{3}{4}\right) \right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[\frac{9}{4}x\right]_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}-\bigg[x(\log x)^2\bigg]_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}+\int_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}\left(x\cdot 2\log x\cdot\frac{1}{x}\right)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{9}{4}\left(e^{-\frac{3}{2}}-e^{\frac{3}{2}}\right)-\frac{9}{4}e^{-\frac{3}{2}}+\frac{9}{4}e^{\frac{3}{2}}+2\int_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}\log x\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\bigg[x\log x-x\bigg]_{e^{-\frac{3}{2}}}^{e^{\frac{3}{2}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ e^{-\frac{3}{2}}+5e^{\frac{3}{2}}\ }\end{align*}}$
そのまま誘導に乗っていきましょう。
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第4問
曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C_1:\ y=1-\frac{1}{2}x^2\end{align*}}$
上を動く点Pの座標を(x0，y0)とする。点Pにおける曲線C1の法線上に
あり、点Pからの距離が1の点で $\small\sf{\begin{align*} \sf y>1-\frac{1}{2}x^2\end{align*}}$ を満たす点をQ(x1,y1)と
する。また、2点P，Qを通る直線がx軸の正の向きとなす角を$\small\sf{\theta}$
（0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ ）とする。次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\theta}$ ≠$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、tan$\small\sf{\theta}$ をx0を用いて表せ。
(2) x0とy0をcos$\small\sf{\theta}$ とsin$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(3) x1とy1をcos$\small\sf{\theta}$ とsin$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。また、y1=0となるときの$\small\sf{\theta}$ の
値を求めよ。
(4) 曲線C1上を点Pが動くとき、点Qが描く曲線をC2とする。曲線C2とx軸
が囲む図形の面積Sを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
曲線C1に対して、y’=－xなので、Pにおける接線の
傾きは－x0である。よって、Pにおける法線の傾きは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{x_0}\end{align*}}$ となるので、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \tan\theta=\frac{1}{x_0}}\end{align*}}$ である。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_0=\frac{1}{\tan\theta}=\underline{\ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_0=1-\frac{1}{2}\ x_0^2=\underline{\ 1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}}\end{align*}}$
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$ はx軸正方向と角$\scriptsize\sf{\theta}$ をなし、PQ=1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf PQ}=\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta \right)\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OP}+\overrightarrow{\sf PQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(x_1\ ,\ y_1\right)=\left(x_0\ ,\ y_0\right)+\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta \right)\end{align*}}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x_1=\underline{\ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}+\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1=\underline{\ 1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}+\sin\theta}\end{align*}}$ ．
これより、y1=0となるのは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y_1=1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}+\sin\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin^2\theta-\cos\theta+2\sin^3\theta=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\sin^3\theta+3\sin^2\theta-1=0\end{align*}}$ ←sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ +cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ =1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(\sin\theta+1\right)^2\left(2\sin\theta-1\right)=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\theta=-1\ ,\ \frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、題意より、0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \theta=\frac{\pi}{6}\ \ ,\ \ \frac{5}{6}\pi\ }\end{align*}}$
である。
(4)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left( \frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)'=\frac{-\sin^2\theta-\cos^2\theta}{\sin^2\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}\end{align*}}$ ……(*)
より、(3)で求めたx1に対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dx_1}{d\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}-\sin\theta\end{align*}}$
となるので、y1＞0であるようなx1の増減は次のようになる。
C2はy軸について対称なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\int_0^{\frac{3\sqrt3}{2}}y_1\ dx_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\pi/2}^{\pi/6}\left(1-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}+\sin\theta\right)\left(-\frac{1}{\sin^2\theta}-\sin\theta\right)d\theta\end{align*}}$ ←（3）のように置換
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\frac{1}{\sin^2\theta}-\frac{\cos^2\theta}{2\sin^2\theta}\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}+\frac{1}{\sin\theta}+\sin\theta-\frac{1-\sin^2\theta}{2\sin\theta}+\sin^2\theta\right)d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2\theta}d\theta-\int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}d\theta+\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin\theta}d\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +3\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin\theta\ d\theta+2\int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin^2\theta\ d\theta\end{align*}}$
項ごとに定積分を計算していくと、
【第1項】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin^2\theta}d\theta=\left[-\frac{\cos\theta}{\sin\theta} \right]_{\pi/6}^{\pi/2}=\sqrt3\end{align*}}$ ←(*)より
【第2項】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\end{align*}}$
と置換すると、(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{\sin^2\theta}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\left(\frac{\cos\theta}{\sin\theta}\right)^2\cdot\frac{1}{\sin^2\theta}d\theta=-\int_{\sqrt3}^{0}t^2\ dt=\left[\frac{t^3}{3}\right]_0^{\sqrt3}=\sqrt3\end{align*}}$
【第3項】
c=cos$\scriptsize\sf{\theta}$ と置換すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin\theta}d\theta=\int_{\sqrt3/2}^{0}\frac{1}{\sin\theta}\cdot\frac{dc}{-\sin\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^{\sqrt3/2}\frac{dc}{1-c^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\int_0^{\sqrt3/2}\left(\frac{1}{1-c}+\frac{1}{1+c}\right)dc\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg[-\log |1-c|+\log |1+c|\bigg]_0^{\sqrt3/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\bigg[\log\left| \frac{1+c}{1-c}\right|\bigg]_0^{\sqrt3/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\log\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\log\left(2+\sqrt3\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\left(2+\sqrt3\right)\end{align*}}$
【第4項】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin\theta\ d\theta=\bigg[-\cos\theta\bigg]_{\pi/6}^{\pi/2}=\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
【第5項】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{\pi/6}^{\pi/2}\sin^2\theta\ d\theta=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta\end{align*}}$ ←半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{4}\sin2\theta\bigg]_{\pi/6}^{\pi/2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=2\sqrt3-\sqrt3+\log\left(2+\sqrt3\right)+\frac{3}{2}\sqrt3+2\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{8}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{11}{4}\sqrt3+\log\left(2+\sqrt3\right)+\frac{\pi}{3}}\end{align*}}$
(4)の計算がエグイですね・・・
第1項や第2項のように(*)を用いた積分や、第3項の置換を
知らないと厳しいと思います。
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