第2問
座標空間内に3点O(0，0，0)、A(0，2，0)、B(0，－2，0)があり、
点P(x，y，z)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\cdot\overrightarrow{\sf BP}+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
を満たしながら動いている。このとき、次の問いに答えよ。
(1) x、y、zが満たす方程式を求めよ。また、yの取り得る値の範囲を
求めよ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|^2\end{align*}}$ をyのみの式で表せ。
(3) 2つのベクトルの大きさの積 $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}||\overrightarrow{\sf BP}|\end{align*}}$ の最大値と最小値を求めよ。
また、最小値をとるときの点Pの座標を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
与式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OB}\right)+2\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ |\overrightarrow{\sf OP}|^2-\left(\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}\right)\cdot\overrightarrow{\sf OP}+3\overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=x^2+y^2+z^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf OB}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\cdot\overrightarrow{\sf OB}=0-4+0=-4\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x^2+y^2+z^2-12=0\ }\end{align*}}$ ……①
また、x、zは実数なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+z^2=12-y^2\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ -2\sqrt3\leqq y\leqq 2\sqrt3\ }\end{align*}}$ ……②
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf AP}|=\sqrt{x^2+(y-2)^2+z^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{x^2+y^2+z^2+4-4y}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sqrt{16-4y}\end{align*}}$ ←①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2\sqrt{4-y}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)と同様に
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf BP}|=\sqrt{x^2+(y+2)^2+z^2}=2\sqrt{4+y}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=|\overrightarrow{\sf AP}||\overrightarrow{\sf BP}|\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=4\sqrt{(4-y)(4+y)}=4\sqrt{16-y^2}\end{align*}}$ ．
②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\leqq 16-y^2\leqq 16\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=16\ \ ,\ \ S_{min}=8\ }\end{align*}}$ ．
Sが最小になるのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 16-y^2=4\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm 2\sqrt3\end{align*}}$
のときであり、これと①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+z^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=z=0\end{align*}}$
となるので、点Pの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(0\ ,\ \pm 2\sqrt3\ ,0\right)\ }\end{align*}}$
である。
上から順に計算していけば大丈夫ですね。
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第3問
Oを原点とする座標平面上に点A(－2，0)、B(0，2)、C(0，3)をとり、
$\small\sf{\theta}$ を0＜$\small\sf{\theta}$ ＜$\small\sf{\pi}$ を満たす実数とする。AP=1、∠OAP=$\small\sf{\theta}$ を満たす第2
象限内の点をPとし、BQ=1、∠QBC=$\small\sf{\theta}$ を満たす第1象限内の点をQ
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) 点P、Qの座標をcos$\small\sf{\theta}$ 、sin$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。
(2) 2点P、Q間の距離の最大値･最小値およびそのときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
(3) △OPQの面積Sをcos$\small\sf{\theta}$ を用いて表せ。また、Sの最大値およびその
ときの$\small\sf{\theta}$ の値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
右図より、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\ ,\ \overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$ はそれぞれx軸正方向とそれぞれ
$\scriptsize\sf{\theta}$ 、$\scriptsize\sf{\pi}$ /2－$\scriptsize\sf{\theta}$ の角をなすので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}=\overrightarrow{\sf OA}+\overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(-2\ ,\ 0\right)+\left(\cos\theta\ ,\ \sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\cos\theta-2\ ,\ \sin\theta\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OQ}=\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf BQ}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(0\ ,\ 2\right)+\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\ ,\ \sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\sin\theta\ ,\ \cos\theta+2\right)\end{align*}}$
よって、P、Qの座標は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P\left(\cos\theta-2\ ,\ \sin\theta\right)\ \ ,\ \ Q\left(\sin\theta\ ,\ \cos\theta+2\right)\ }\end{align*}}$ ．
(2)
(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf PQ}|=\sqrt{\left(\cos\theta-2-\sin\theta\right)^2+\left(\cos\theta+2-\sin\theta\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \ \ =\sqrt{2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)+8-4\sin\theta\cos\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \ \ =\sqrt{10-2\sin2\theta}\end{align*}}$ ←倍角公式
0＜2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ =1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ PQ_{min}=2\sqrt2\ \ \ \ \left(\theta=\frac{\pi}{4}\right)\ }\end{align*}}$
sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ =－1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ PQ_{max}=2\sqrt3\ \ \ \ \left(\theta=\frac{3\pi}{4}\right)\ }\end{align*}}$
(3)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\left|\left(\cos\theta-2\right)\left(\cos\theta+2\right)-\sin^2\theta\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left|2\cos^2\theta-5\right|\end{align*}}$ ←sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ =1－cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{5}{2}-\cos^2\theta\ }\end{align*}}$ ←cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ≦1より
0＜2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜2$\scriptsize\sf{\pi}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ S_{max}=\frac{5}{2}\ \ \ \ \left(\theta=\frac{\pi}{2}\right)\ }\end{align*}}$
(1)ができれば、あとはそのままです。
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第4問
1以上の整数nに対して、
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\ \ ,\ \ J_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx\ \ ,\ \ K_n=a_nJ_n\end{align*}}$
とおく。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{a_n}\end{align*}}$ をnの式で表せ。
(2) K1、K2を求めよ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$ をJn+1とJnを用いて表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1(x)'\cdot(1-x^2)^{n+1}dx\end{align*}}$ に部分積分法を適用して、Jn+1をJnを用い
て表せ。また、$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{K_{n+1}}{K_n}\end{align*}}$ を求めよ。
(4) $\small\sf{\begin{align*} \sf L_n=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\ _nC_k=_nC_0-\frac{1}{3}_nC_1+\frac{1}{5}_nC_2-\frac{1}{7}_nC_3+\ldots\ldots +\frac{(-1)^n}{2n+1}\ _nC_n\end{align*}}$ とおく。
このとき、LnがJnに等しいことを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+3)!}{\{(n+1)!\}^2}\cdot\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left\{\frac{n!}{(n+1) !}\right\}^2\cdot\frac{(2n+3)!}{(2n+1)!}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+1)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2(2n+3)}{n+1}\ }\end{align*}}$ ．
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_1=\frac{3!}{(1!)^2}\int_0^1(1-x^2)dx=6\left[x-\frac{1}{3}x^3\right]_0^1=\underline{\ 4\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_2=\frac{5!}{(2!)^2}\int_0^1(1-x^2)^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =30\int_0^1(1-2x^2+x^4)dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =30\left[x-\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5\right]_0^1=\underline{\ 16\ }\end{align*}}$
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1\left(1-x^2\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1(1-x^2)\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx-\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =J_n-\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^ndx=\underline{\ J_{n}-J_{n+1}\ }\end{align*}}$ .
(3)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_{n+1}=\int_0^1(x)'\cdot\left(1-x^2\right)^{n+1}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[x\left(1-x^2\right)^{n+1}\bigg]_0^1-\int_0^1x\cdot(n+1)\left(1-x^2\right)^{n}\cdot (-2x)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(n+1)\int_0^1x^2\left(1-x^2\right)^{n}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2(n+1)\left(J_n-J_{n+1}\right)^{n}dx\end{align*}}$ ←(3)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ (2n+3)J_{n+1}= 2(n+1)\ J_n\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ J_{n+1}=\underline{\ \frac{2(n+1)}{2n+3}\ J_n\ }\end{align*}}$
これと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{K_{n+1}}{K_n}=\frac{a_{n+1}J_{n+1}}{a_nJ_n}=\frac{2(2n+3)}{2n+1}\cdot\frac{2(n+1)}{2n+3}=\underline{\ 4}\end{align*}}$
(4)
(3)より、Kn+1=4Knとなるので、{Kn}は公比4の等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf K_n=4^{n-1}K_1=\underline{\ 4^n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\frac{K_n}{a_n}=\underline{\ \frac{4^n\cdot (n!)^2}{(2n+1)!}}\end{align*}}$
(5)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf J_n=\int_0^1\left(1-x^2\right)^ndx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \int_0^1\left\{\sum_{k=0}^n\ _nC_k\left(-x^2\right)^k\right\}dx\end{align*}}$ ←二項定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\left\{ _nC_k\cdot (-1)^k\int_0^1x^{2k}dx\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\left\{ _nC_k\cdot (-1)^k\left[\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\right]_0^1\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = \sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{2k+1}\ _nC_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf = L_n\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
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