第1問
次の文章中の に適する数値を、解答用紙の同じ記号のついた
の中に記入せよ。途中の計算を書く必要はない。
(1) 関数y=2sin2x+2cosx+1 （0≦x≦$\small\sf{\pi}$ ）はx= ア のとき
最大値 イ をとり、x= ウ のとき最小値 エ をとる。
(2) 10本のくじがある。そのうち当たりくじは1等が1本、2等が3本であり、
残りははずれくじである。これらのくじから同時に3本引く。当たりくじを
少なくとも1本引く確率は オ である。1等、2等、はずれくじをそれ
ぞれ1本ずつ引く確率は カ である。引いた3本の中に2等が2本以上
ある確率は キ である。
(3) 整数a、bを係数とする2次式
P(x)=x2+ax+b
がx+2+$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt2\end{align*}}$ で割り切れるとすると、a= ク 、b= ケ である。
さらに、
Q(x)=(x－c)P(x)
をx+1で割ったときの余りが2であるとすると、定数cの値はc= コ
である。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
ア $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{3}\end{align*}}$ イ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{2}\end{align*}}$ ウ $\scriptsize\sf{\pi}$ エ －1 オ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{5}{6}\end{align*}}$
カ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{20}\end{align*}}$ キ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{11}{60}\end{align*}}$ ク 4 ケ 2 コ 1
とりあえず答えだけです。
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第2問
座標空間内に3点
$\small\sf{\begin{align*} \sf A\left(1,1,0 \right)\ \ ,\ \ B\left(0,2,0 \right)\ \ ,\ \ C\left(0,0,\frac{1}{2}\right)\end{align*}}$
がある。線分BCを1：3に内分する点をDとする。点P(x，y，z)が
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4(1-t)\ \overrightarrow{\sf AP}+3t\ \overrightarrow{\sf BP}+t\ \overrightarrow{\sf CP}=\overrightarrow{\sf 0}\ \ ,\ \ 0\leqq t\leqq 1\end{align*}}$
を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Dの座標を求めよ。
(2) x、y、zをそれぞれtの式で表せ。
(3) $\small\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2\end{align*}}$ と内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を、それぞれtの式で表せ。
(4) △OPCの面積Sをtの式で表せ。また、Sの最小値とそのときのtの
値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D\left( \frac{0+0}{1+3}\ ,\ \frac{6+0}{1+3}\ ,\ \frac{0+\frac{1}{2}}{1+3}\right)=\underline{\ \left( 0\ ,\ \frac{3}{2}\ ,\ \frac{1}{8}\right)\ }\end{align*}}$
(2)
与式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4(1-t)\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OA}\right)+3t\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OB}\right)+t\left(\overrightarrow{\sf OP}-\overrightarrow{\sf OC}\right)=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{4(1-t)+3t+t\right\}\ \overrightarrow{\sf OP}=4(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+3t\ \overrightarrow{\sf OB}+t\ \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf OP}=(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+t\cdot\frac{3\overrightarrow{\sf OB}+\overrightarrow{\sf OC}}{4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-t)\overrightarrow{\sf OA}+t\ \overrightarrow{\sf OD}\end{align*}}$ ←DはBCを1：3に内分する点
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t\ ,\ 1-t\ ,\ 0 \right)+\left(0\ ,\ \frac{3t}{2}\ ,\ \frac{t}{8}\right)\end{align*}}$ ←(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(1-t\ ,\ 1+\frac{t}{2}\ ,\ \frac{t}{8}\right)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ x=1-t\ \ ,\ \ y=1+\frac{t}{2}\ \ ,\ \ z=\frac{t}{8}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf |\overrightarrow{\sf OP}|^2=\left(1-t\right)^2+\left(1+\frac{t}{2} \right)^2+\left(\frac{t}{8} \right)^2=\underline{\ \frac{81}{64}t^2-t+2\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}=0+0+\frac{t}{8}\cdot\frac{1}{2}=\underline{\ \frac{t}{16}\ }\end{align*}}$
(4)
(3)より、△OPCの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\sf OP}|^2|\overrightarrow{\sf OC}|^2-\left( \overrightarrow{\sf OP}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{81}{64}t^2-t+2\right)\cdot\left( \frac{1}{2}\right)^2-\left( \frac{t}{16}\right)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{8}\sqrt{5t^2-4t+8}\ }\end{align*}}$
となり、ルートの中を平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{8}\sqrt{5\left(t-\frac{2}{5}\right)^2+\frac{36}{5}}\end{align*}}$
なので、Sの最小値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_{min}=\frac{1}{8}\sqrt{\frac{36}{5}}=\underline{\ \frac{3\sqrt5}{20}\ \ \ \ \ \left(t=\frac{2}{5}\right)}\end{align*}}$
流れのまま計算していきましょう。
(2)でDが登場することに気づかなくても、そのまま計算すればOKです。
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第3問
rを1でない定数とする。漸化式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_1=0\ \ ,\ \ a_2=1\ \ ,\ \ a_{n+2}=(r+1)\ a_{n+1}-r\ a_n+1\ \ \ \ (n\geqq 1)\end{align*}}$
で定義される数列{an}の階差数列を{bn}とするとき、次の問いに
答えよ。
(1) b1を求めよ。またbn+1とbnの関係式を求めよ。
(2) 数列{bn}の一般項を求めよ。
(3) r=2のとき、数列{an}の一般項を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+2}=(r+1)\ a_{n+1}-r\ a_n+1\end{align*}}$ ……①
(1)
まず、{bn}は{an}の階差数列なので、任意の自然数nに対して
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=a_{n+1}-a_n\end{align*}}$ ……②
が成り立つので、n=1のとき
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=a_2-a_1=\underline{\ 1\ }\end{align*}}$ ．
また、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+3}=(r+1)\ a_{n+2}-r\ a_{n+1}+1\end{align*}}$ ……③
となり、③から①を辺々引くと
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{n+3}-a_{n+2}=(r+1)\left( a_{n+2}-a_{n+1}\right)-r\left( a_{n+1}-a_{n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}=(r+1)\ b_{n+1}-r\ b_n\end{align*}}$ ←②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=r\ \left( b_{n+1}-b_n\right)\end{align*}}$
と変形できるので、数列{bn+1－bn}は、公比rの等比数列をなす。
ここで、①より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_3=(r+1)\cdot 1-r\cdot 0+1=r+2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=a_3-a_2=(r+2)-1=r+1\end{align*}}$ ←②より
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{n+1}-b_n=r^{n-1}\cdot \left(b_2-b_1\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ b_{n+1}-b_n=r^n\ }\end{align*}}$
(2)
数列{bn+1－bn}は数列{bn}の階差数列なので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=b_1+\sum_{k=1}^{n-1}\left(b_{k+1}-b_k \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\sum_{k=1}^{n-1}r^k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =1+\frac{r\left(r^{n-1}-1 \right)}{r-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{r^{n}-1}{r-1}\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(3)
数列{bn}は数列{an}の階差数列なので、
n≧2のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\ b_k\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{r^{k}-1}{r-1}\end{align*}}$ ←(2)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{n-1}\left(2^{k}-1\right)\end{align*}}$ ←r=2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2\left(2^{n-1}-1 \right)}{2-1}-(n-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ 2^n-n-1\ }\end{align*}}$
となり、これはn=1のときも成り立つ。
(1)で、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}b_{n+2}=(r+1)\ b_{n+1}-r\ b_n\ \ \Leftrightarrow\ \ b_{n+2}-b_{n+1}=r\ \left( b_{n+1}-b_n\right)}\end{align*}}$
の変形に気づけば、あとは流れのままです。
気づかなかったとしても、隣接3項間の漸化式を解くだけです。
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第4問
f(x)=－xlogx (x＞0)とおき、曲線y=f(x)をCとする。このとき、
次の問いに答えよ。
(1) f’(x)を求めよ。また、f(x)の極値とそのときのxの値を求めよ。
(2) C上の点P(t，f(t))における接線Lの方程式を求めよ。
(3) Lとy軸との交点Qと点R(0，f(t))を考える。QとRが一致するような
tの値をaとするとき、aを求めよ。
(4) 0＜t＜aのとき、△PQRを直線PRの周りに1回転してできる立体の
体積をV(t)とする。このとき、V(t)の極値とそのときのtの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
f(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=-1\cdot\log x-x\cdot\frac{1}{x}=\underline{\ -\left(1+\log x \right)\ }\end{align*}}$
なので、f(x)の増減表は次のようになる。
よって、x=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{e}\end{align*}}$ で極大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}\log\frac{1}{e}=\underline{\ \frac{1}{e}\ }\end{align*}}$
(2)
Pにおける接線Lは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-\left(-t\log t \right)=-\left(1+\log t \right)\left(x-t \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ y=-\left(1+\log t \right)x+t\ }\end{align*}}$
(3)
Lとy軸の交点はQ(0，t)であり、
t=aのときQとRが一致するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=-a\log a\ \ \Leftrightarrow\ \ \log a=-1\ \ (\because a\ne 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ a=\frac{1}{e}\ }\end{align*}}$
(4)
0＜t＜aのとき、3点P、Q、Rの位置関係は右図のようになる
ので、△PQRを直線PRの周りに1回転してできる立体は、
底面が半径がQR、高さがPRである円錐となる。
よっって、その体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (t)=\frac{\pi}{3}\left(-t\log t-t \right)^2\cdot t=\underline{\ \frac{\pi}{3}t^3\left(1+\log t \right)^2\ }\end{align*}}$ ．
tで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ '(t)=\pi\ t^2\left(1+\log t \right)^2+\frac{\pi}{3}t^3\cdot 2\left(1+\log t \right)\cdot\frac{1}{t}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi\ t^2\left(1+\log t \right)\left\{\left(1+\log t \right)+\frac{2}{3}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\pi t^2\left(1+\log t \right)\left(\log t +\frac{5}{3}\right)\end{align*}}$
となるので、V(t)の増減は次のようになる。
よって、t=$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf e^{-\frac{5}{3}}\end{align*}}$ で極大となり、その値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\left(e^{-\frac{5}{3}}\right)=\frac{\pi}{3}\left(e^{-\frac{5}{3}}\right)^3\left(1-\frac{5}{3}\right)^2=\underline{\ \frac{4\pi}{27e^5}\ }\end{align*}}$
とりあえず急いで解答を作ってみました。
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