第１問
座標空間において、3点A(0，0，2)、B(2，0，0)、C(0，4，0)をとる。
点(0，0，1)を中心とする半径1の球面をSとする。球面Sと直線ABとの
交点のうちAでないものをDとし、球面Sと直線ACとの交点のうちAでない
ものをEとする。∠AEDを$\small\sf{\alpha}$ とするとき、$\small\sf{\sin\alpha}$ を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
△ABCにおいて
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AB=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AC=BC=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5\end{align*}}$
より、△ABCは二等辺三角形である。
ABの中点をM、∠BAC＝$\scriptsize\sf{\theta}$ とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf CM=\sqrt{\left(2\sqrt5\right)^2-\left(\sqrt2\right)^2}=3\sqrt2\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\theta=\frac{CM}{AC}=\frac{3\sqrt2}{2\sqrt5}=\frac{3}{\sqrt{10}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\theta=\frac{AM}{AC}=\frac{\sqrt2}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt{10}}\end{align*}}$
3点A、B、Oを通る平面（xz平面）によるSの断面円を
考えると、BOはこの円の接線であり、この円とABの
交点がDなので、方べきの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 2^2=BD\cdot 2\sqrt2\ \ \Leftrightarrow\ \ BD=\sqrt2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AD=2\sqrt2-\sqrt2=\sqrt2\end{align*}}$
また、3点A、C、Oを通る平面（yz平面）によるSの
断面円を考えると、COはこの円の接線であり、この円と
ACの交点がEなので、方べきの定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 4^2=CE\cdot 2\sqrt5\ \ \Leftrightarrow\ \ BD=\frac{8\sqrt5}{5}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf AE=2\sqrt5-\frac{8\sqrt5}{5}=\frac{2\sqrt5}{5}\end{align*}}$
これらより、△ADEに余弦定理を適用すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf DE^2=\left(\sqrt2\right)^2+\left(\frac{2\sqrt5}{5}\right)^2-2\cdot \sqrt2\cdot\frac{2\sqrt5}{5}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ DE=\sqrt2\end{align*}}$
となるので、△ADEはAD＝DEの二等辺三角形となる。
よって、∠AED＝∠DAEなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\alpha=\sin\theta=\underline{\ \frac{3}{\sqrt{10}}\ }\end{align*}}$
である。
D、Eの座標を求めて、内積$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \overrightarrow{\sf EA}\cdot\overrightarrow{\sf ED}\end{align*}}$ から求める手もあります。
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第２問
$\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{0\lt \theta\lt\pi}$ の範囲にある実数とする。 xy平面上の
点$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(2\cos\frac{\theta+\pi}{2}\ ,\ 2\sin\frac{\theta+\pi}{2}\right)\end{align*}}$ を中心とする半径2の円をC1
とし、点 $\small\sf{(\cos\theta,\sin\theta)}$ を中心とする半径1の円をC2
とする。 円C1とx軸の2つの交点および円C1の中心が
なす三角形の面積をS1とする。円C2とx軸の2つの交
点および円C2の中心がなす三角形の面積をS2とする。
ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときはS2＝0とする。$\small\sf{\theta}$ を動かしたとき、
S1＋S2の最大値を求めよ。また、そのときの$\small\sf{\cos\theta}$ の値
を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
円C1の中心をA1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf A_1\left(2\cos\frac{\theta+\pi}{2}\ ,\ 2\sin\frac{\theta+\pi}{2}\right)=\left(-2\sin\frac{\theta}{2}\ ,\ 2\cos\frac{\theta}{2}\right)\end{align*}}$
であり、円C1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x+2\sin\frac{\theta}{2}\right)^2+\left(y-2\cos\frac{\theta}{2}\right)^2=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+4\left(\sin\frac{\theta}{2}\right)x+y^2-4\left(\cos\frac{\theta}{2}\right)y=0\end{align*}}$
と表すことができる。
C1とx軸との交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2+4\left(\sin\frac{\theta}{2}\right)x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ -4\sin\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(0\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(-4\sin\frac{\theta}{2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ ．
このうち原点と異なる方をB1とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_1=\triangle OA_1B_1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left|-4\sin\frac{\theta}{2}\right|\left|2\cos\frac{\theta}{2}\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\left|\sin\theta\right|\end{align*}}$ ←倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2\sin\theta\end{align*}}$ ←0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ よりsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0
一方、円C2の中心をA2とおくと、円C1の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(x-\cos\theta\right)^2+\left(y-\sin\theta\right)^2=1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-2\left(\cos\theta\right)x+y^2-2\left(\cos\theta\right)y=0\end{align*}}$
と表すことができる。
C2とx軸との交点は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf x^2-2\left(\cos\theta\right)x=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ ,\ 2\cos\theta\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(0\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(2\cos\theta\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ ．
このうち原点と異なる方をB2とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf S_2=\triangle OA_2B_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left|2\cos\theta\right|\left|\sin\theta\right|\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left|\sin 2\theta\right|\end{align*}}$ ←倍角公式
S1＋S2を$\scriptsize\sf{\theta}$ についての関数とみなして
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\theta)=S_1+S_2=2\sin\theta+\frac{1}{2}\left|\sin 2\theta\right|\ \ \ \ (0<\theta <\pi)\end{align*}}$
とおく。
(ⅰ) 0＜$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2のとき
sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＞0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\theta)=2\sin\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(\theta)=2\cos\theta+\cos 2\theta=2\cos^2\theta+2\cos\theta-1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\alpha=\frac{-1+\sqrt3}{2}\ \ \ \left(0<\alpha <\frac{\pi}{2}\right)\end{align*}}$
とおくと、f(x)の増減は次のようになる。
よって、この範囲において、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\alpha}$ のときf($\scriptsize\sf{\theta}$ )は最大となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{-1+\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}\ (>0)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\alpha)=2\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}\cdot\frac{-1+\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt{2\sqrt3}+\sqrt{6\sqrt3}}{4}\end{align*}}$
(ⅱ) $\scriptsize\sf{\pi}$ /2≦$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ のとき
sin2$\scriptsize\sf{\theta}$ ＜0より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\theta)=2\sin\theta-\frac{1}{2}\sin 2\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ '(\theta)=2\cos\theta-\cos 2\theta=-2\cos^2\theta+2\cos\theta+1\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \cos\beta=\frac{1-\sqrt3}{2}\ \ \ \left(\frac{\pi}{2}<\beta <\pi\right)\end{align*}}$
とおくと、f(x)の増減は次のようになる。
よって、この範囲において、$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝$\scriptsize\sf{\beta}$ のときf($\scriptsize\sf{\theta}$ )は最大となり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}\ (>0)\end{align*}}$
より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f\ (\beta)=2\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}-\sqrt{\frac{\sqrt3}{2}}\cdot\frac{1-\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt{2\sqrt3}+\sqrt{6\sqrt3}}{4}\end{align*}}$
(ⅰ)、(ⅱ)よりS1＋S2の最大値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{3\sqrt{2\sqrt3}+\sqrt{6\sqrt3}}{4}\ }\end{align*}}$
であり、そのときのcos$\scriptsize\sf{\theta}$ の値は
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \cos\theta=\pm\frac{-1+\sqrt3}{2}\ }\end{align*}}$
である。
数値が汚くなるので、なんとなく不安ですが……
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第３問
nを4以上の自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{1}{3(n-3)}\end{align*}}$ のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n-1}\lt 1+(n-1)x+\frac{3(n-1)(n-2)}{4}x^2\end{align*}}$
を示せ。必要なら
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{L}\right)^L\lt\left(\frac{3}{2}\right)^3\ \ \ (L=1,2,3,\ldots\ldots)\end{align*}}$
であることを証明なしに用いてよい。
(２) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{1}{3(n-3)}\end{align*}}$ のとき、不等式
$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n}\lt 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{4}x^3\end{align*}}$
を示せ。
(３) 1.0135を小数で表したときの小数第2位までを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
区間$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{1}{3(n-3)}\end{align*}}$ ……(A) 内において関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f (x)=1+(n-1)x+\frac{3(n-1)(n-2)}{4}x^2-\left(1+x\right)^{n-1}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '(x)=(n-1)+\frac{3(n-1)(n-2)}{2}x-(n-1)\left(1+x\right)^{n-2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f ''(x)=\frac{3(n-1)(n-2)}{2}-(n-1)(n-2)\left(1+x\right)^{n-3}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(n-1)(n-2)\left\{\frac{3}{2}-(1+x)^{n-3}\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf f '''(x)=-(n-1)(n-2)(n-3)\left(1+x\right)^{n-4}\lt 0\ \ \ \ (\because n\geqq 4)\end{align*}}$ ．
より、区間(A)で常にf”(x)は単調に減少する。 ……①
ここで、L＝3(n－3)とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{L}\right)^L\lt\left(\frac{3}{2}\right)^3\ \ \Leftrightarrow\ \ \left\{1+\frac{1}{3(n-3)}\right\}^{3(n-3)}\lt\left(\frac{3}{2}\right)^3\end{align*}}$
となり、両辺の3乗根をとると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left\{1+\frac{1}{3(n-3)}\right\}^{(n-3)}\lt\frac{3}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \lim_{x\rightarrow\frac{1}{3(n-3)}}\ f\left(x\right)=(n-1)(n-2)\left[\frac{3}{2}-\left\{1+\frac{1}{3(n-3)}\right\}^{(n-3)}\right]\gt 0\end{align*}}$ .
これと①より、区間(A)で常につねにf”(x)＞0となるので、
f’(x)は単調に増加する。 ……②
また、②と
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f '(x)=(n-1)-(n-1)=0\end{align*}}$
より、区間(A)で常につねにf’(x)＞0となるので、
f(x)は単調に増加する。 ……③
さらに、③と
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f (x)=1-1=0\end{align*}}$
より、区間(A)でつねにf(x)＞0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n-1}\lt 1+(n-1)x+\frac{3(n-1)(n-2)}{4}x^2\end{align*}}$
は成り立ち、題意は示された。
(２)
区間(A)内において、関数g(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g (x)=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{4}x^3-\left(1+x\right)^{n}\end{align*}}$
とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf g '(x)=n+n(n-1)x+\frac{3n(n-1)(n-2)}{4}x^2-n\left(1+x\right)^{n-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =n\left\{1+(n-1)x+\frac{3(n-1)(n-2)}{4}x^2-\left(1+x\right)^{n-1} \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =n\ f (x)\gt 0\end{align*}}$ ←(１)より
となり、区間(A)内でg(x)は単調に増加する。
これと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow +0}\ g (x)=1-1=0\end{align*}}$
より、区間(A)内でつねにg(x)＞0となるので、不等式
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n}\lt 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{4}x^3\end{align*}}$
は成り立ち、題意は示された。
(３)
x＝0.01、n＝35とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 0\lt 0.01\lt\frac{1}{35\cdot (35-3)}\end{align*}}$
が成り立つので、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+0.01\right)^{35}\lt 1+35\times 0.01+\frac{35\cdot 34}{2}\times 0.01^2+\frac{35\cdot 34\cdot 33}{4}\times 0.01^3\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 1.01^{35}\lt 1.4193175\end{align*}}$ ……③
一方、二項定理より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(1+0.01\right)^{35}=\sum_{k=0}^{35}\ _{35}C_k\cdot 1^{35-k}\cdot 0.01^{k}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf 1.01^{35}\gt _{35}C_0+_{35}C_1\cdot 0.01+_{35}C_2\cdot 0.01^2+_{35}C_3\cdot 0.01^3=1.416045\end{align*}}$ ……④
③、④より、
1.0135≒1.41
となる。
面倒くさいので省略していますが、(１)は増減表を3つ書けば終わりです。
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第４問
正方形の頂点を順にA、B、C、Dとし、この順を正の向きとし、
逆を負の向きとする。 動点 P は常に頂点にあり、1秒ごとに
次の頂点に移っていく。このとき、正の向きに次の頂点に移る
確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ で、逆の負の向きに次の頂点に移る確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ とする。
また、動点Pは最初頂点Aにあるものとする。
(１) 2秒後に動点Pが頂点A、Cにある確率をそれぞれ求めよ。
(２) 3秒後に動点Pが頂点B、Dにある確率をそれぞれ求めよ。
(３) 4以上の自然数nに対して、n秒後に動点Pが各頂点にある
確率をそれぞれ求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
正の向きに次の頂点に移動する確率をp
負の向きに次の頂点に移動する確率をq とおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf p=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ q=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ……(*)
また、nを0以上の整数とし、n秒後に動点Pが頂点A、B、C、Dに
ある確率をそれぞれan、bn、cn、dnとすると、
nが偶数のとき、動点Pは頂点AかCにあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n+c_n=1\ \ ,\ \ b_0=d_0=0\end{align*}}$ ．
nが奇数のとき、動点Pは頂点BかDにあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n+d_n=1\ \ ,\ \ a_0=c_0=0\end{align*}}$ ．
(１)
まず、最初はAにあるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_0=1\ \ ,\ \ b_0=c_0=d_0=0\end{align*}}$ ．
n＝0からn＝1の移動は、
A→B（確率p） または A→D（確率q）
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_1=\frac{2}{3}\ \ ,\ \ d_1=\frac{1}{3}\end{align*}}$ ．
n＝1からn＝2の移動は、
B→C（確率p） B→A（確率q）
D→C（確率q） D→A（確率p）
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_2=qb_1+pd_1=\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{4}{9}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_2=pb_1+qd_1=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot\frac{2}{3}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$
(２)
n＝2からn＝3の移動は、
A→B（確率p） A→D（確率q）
C→B（確率q） C→D（確率p）
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_3=pa_2+qc_2=\frac{2}{3}\cdot\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\cdot\frac{5}{9}=\underline{\ \frac{13}{27}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_3=qa_2+pc_2=\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{9}+\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{9}=\underline{\ \frac{14}{27}\ }\end{align*}}$
(３)
以下、mは2以上の整数とする。
n＝2mからn＝2m＋1の移動は、
A→B（確率p） A→D（確率q）
C→B（確率q） C→D（確率p）
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{2m+1}=pa_{2m}+qc_{2m}\end{align*}}$ ……①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_{2m+1}=qa_{2m}+pc_{2m}\end{align*}}$ ……②
n＝2m＋1からn＝2m＋2の移動は、
B→C（確率p） B→A（確率q）
D→C（確率q） D→A（確率p）
のいずれかなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2m+2}=qb_{2m+1}+pd_{2m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =q\left(pa_{2m}+qc_{2m}\right)+p\left(qa_{2m}+pc_{2m}\right)\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =2pqa_{2m}+(p^2+q^2)c_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{4}{9}a_{2m}+\frac{5}{9}c_{2m}\end{align*}}$ ……③
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_{2m+2}=pb_{2m+1}+qd_{2m+1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =p\left(pa_{2m}+qc_{2m}\right)+q\left(qa_{2m}+pc_{2m}\right)\end{align*}}$ ←①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =(p^2+q^2)a_{2m}+2pqc_{2m}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{5}{9}a_{2m}+\frac{4}{9}c_{2m}\end{align*}}$ ……④
③、④を辺々引くと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2m+2}-c_{2m+2}=-\frac{1}{9}\left(a_{2m}-c_{2m} \right)\end{align*}}$
となり、数列{a2m－c2m}は等比数列をなす。
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2m}-c_{2m}=\left( -\frac{1}{9}\right)^m\left(a_0-c_0 \right)=\left( -\frac{1}{9}\right)^m\end{align*}}$ ……⑤
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2m}+c_{2m}=1\end{align*}}$ ……⑥
なので、(⑤＋⑥)÷2および(⑥－⑤)÷2より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_{2m}=\frac{1}{2}\left\{1+\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf c_{2m}=\frac{1}{2}\left\{1-\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
これらと①、②より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_{2m+1}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left\{1+\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\left\{1-\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left\{1+\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf d_{2m+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\left\{1+\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\left\{1-\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{1}{2}\left\{1-\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{9}\right)^m \right\}\end{align*}}$
anについて
・n＝2mのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=\frac{1}{2}\left\{1+\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n}{2}} \right\}\end{align*}}$
・n＝2m＋1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf a_n=0\end{align*}}$
これらをまとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ a_n=\frac{1+(-1)^n}{4}\left\{1+\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n}{2}} \right\}\ }\end{align*}}$ ．
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ c_n=\frac{1+(-1)^n}{4}\left\{1-\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n}{2}} \right\}\ }\end{align*}}$ ．
bnについて
・n＝2mのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=0\end{align*}}$
・n＝2m＋1のとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf b_n=\frac{1}{2}\left\{1+\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n-1}{2}} \right\}\end{align*}}$
これらをまとめると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ b_n=\frac{1-(-1)^n}{4}\left\{1+\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n-1}{2}}\right\}\ }\end{align*}}$ ．
同様に、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ d_n=\frac{1-(-1)^n}{4}\left\{1-\frac{1}{3}\left( -\frac{1}{9}\right)^{\frac{n-1}{2}}\right\}\ }\end{align*}}$ ．
最後は(－1)nを用いてまとめていますが、
偶数の時と奇数の時を場合分けして書いておくだけでも十分だと思います。
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/10/05(金) 05:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2009
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