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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2009和歌山県立医科大 数学1



第1問

  座標空間において、3点A(0,0,2)、B(2,0,0)、C(0,4,0)をとる。
  点(0,0,1)を中心とする半径1の球面をSとする。球面Sと直線ABとの
  交点のうちAでないものをDとし、球面Sと直線ACとの交点のうちAでない
  ものをEとする。∠AEDを$\small\sf{\alpha}$ とするとき、$\small\sf{\sin\alpha}$ を求めよ。



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  2. 大学入試(数学) .関西の公立大学 .和歌山県立医大 2009
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2009和歌山県立医科大 数学2



第2問

  $\small\sf{\theta}$ を$\small\sf{0\lt \theta\lt\pi}$ の範囲にある実数とする。 xy平面上の
  点$\small\sf{\begin{align*}\sf \left(2\cos\frac{\theta+\pi}{2}\ ,\ 2\sin\frac{\theta+\pi}{2}\right)\end{align*}}$ を中心とする半径2の円をC1
  とし、点 $\small\sf{(\cos\theta,\sin\theta)}$ を中心とする半径1の円をC2
  とする。 円C1とx軸の2つの交点および円C1の中心が
  なす三角形の面積をS1とする。円C2とx軸の2つの交
  点および円C2の中心がなす三角形の面積をS2とする。
  ただし、$\small\sf{\begin{align*}\sf \theta=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のときはS2=0とする。$\small\sf{\theta}$ を動かしたとき、
  S1+S2の最大値を求めよ。また、そのときの$\small\sf{\cos\theta}$ の値
  を求めよ。



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2009和歌山県立医科大 数学3



第3問

  nを4以上の自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{1}{3(n-3)}\end{align*}}$ のとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n-1}\lt 1+(n-1)x+\frac{3(n-1)(n-2)}{4}x^2\end{align*}}$
    を示せ。必要なら
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+\frac{1}{L}\right)^L\lt\left(\frac{3}{2}\right)^3\ \ \ (L=1,2,3,\ldots\ldots)\end{align*}}$
    であることを証明なしに用いてよい。

 (2) $\small\sf{\begin{align*}\sf 0\lt x\lt\frac{1}{3(n-3)}\end{align*}}$ のとき、不等式
        $\small\sf{\begin{align*}\sf \left(1+x\right)^{n}\lt 1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{4}x^3\end{align*}}$
    を示せ。

 (3) 1.0135を小数で表したときの小数第2位までを求めよ。




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2009和歌山県立医科大 数学4



第4問

  正方形の頂点を順にA、B、C、Dとし、この順を正の向きとし、
  逆を負の向きとする。 動点 P は常に頂点にあり、1秒ごとに
  次の頂点に移っていく。このとき、正の向きに次の頂点に移る
  確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{2}{3}\end{align*}}$ で、逆の負の向きに次の頂点に移る確率は$\small\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ とする。
  また、動点Pは最初頂点Aにあるものとする。

 (1) 2秒後に動点Pが頂点A、Cにある確率をそれぞれ求めよ。

 (2) 3秒後に動点Pが頂点B、Dにある確率をそれぞれ求めよ。

 (3) 4以上の自然数nに対して、n秒後に動点Pが各頂点にある
    確率をそれぞれ求めよ。




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