第1問
方程式
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{ax}{ax+a+1}=(a+1)x+1\end{align*}}$
の解を求めよ。ただしaは－1でない定数とする。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
与式の分母を払うと、
ax=(ax+a+1){(a+1)X+1}
⇔ a(a+1)x2+(a+1)2x+a+1=0
となり、a≠－1より、両辺をa+1で割ると、
ax2+(a+1)x+1=0
⇔ (ax+1)(x+1)=0
なので、この方程式の解は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\underline{\ -\frac{1}{a}\ ,\ -1\ }\end{align*}}$
両辺をa+1で割るところが味噌です。
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- 2014/01/28(火) 23:57:00|
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第2問
次の問いに答えよ。
(1) 正の実数xに対し、log(1+x)＜xが成り立つことを示せ。
(2) 正の実数a、bが $\small\sf{\begin{align*} \sf 0\lt a\lt b<-\frac{11}{10}a\end{align*}}$ をみたすとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf 0<\log b-\log a<\frac{1}{10}\end{align*}}$
を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
x＞0の範囲で関数f(x)を
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=x-\log (1+x)\end{align*}}$
と定義すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ '(x)=1-\frac{1}{a+x}=\frac{x}{1+x}>0\ \ \ \ (\because x>0)\end{align*}}$
なので、f(x)は単調に増加する。
また、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{x\rightarrow +0}\ f\ (x)=0-\log 1=0\end{align*}}$
なので、x＞0でつねに f(x)＞0となる。
よって、正の数xに対して不等式log(1+x)＜xが成り立つ。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log b-\log a=\log\frac{b}{a}\end{align*}}$ ……(*)
0＜a＜bより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}>1\end{align*}}$
であり、底e＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\frac{b}{a}>\log 1=0\end{align*}}$
一方、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt b<\frac{11}{10}a\end{align*}}$ より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{b}{a}<\frac{11}{10}=1+\frac{1}{10}\end{align*}}$
であり、底e＞1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \log\frac{b}{a}<\log\left(1+\frac{1}{10} \right)<\frac{1}{10}\end{align*}}$ ←(1)より
これらと(*)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0<\log b-\log a<\frac{1}{10}\end{align*}}$
が成り立つ。
(2)は、(1)の結果が使える形に上手く変形しましょう
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- 2014/01/29(水) 23:57:00|
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第3問
三角形ABCに対し、$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}=\overrightarrow{\sf AB}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}=\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$ とおく。また、点Pは
$\small\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AP}=\overrightarrow{\sf PB}+3\overrightarrow{\sf CP}\end{align*}}$
をみたしているとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(2) 直線ACと直線PBの交点をDとする。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}\end{align*}}$ を$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ を用いて表せ。
(3) 三角形ABCの面積をS、三角形PBCの面積をTとする。比S：Tを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 4\overrightarrow{\sf AP}=\left(\overrightarrow{\sf AB}-\overrightarrow{\sf AP}\right)+3\left(\overrightarrow{\sf AP}-\overrightarrow{\sf AC}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ 2\overrightarrow{\sf AP}=\overrightarrow{\sf AB}-3\overrightarrow{\sf AC}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \overrightarrow{\sf AP}=\frac{\overrightarrow{\sf AB}-3\overrightarrow{\sf AC}}{2}=\underline{\ \frac{\overrightarrow{\sf b}-3\overrightarrow{\sf c}}{2}\ }\end{align*}}$
(2)
Dは直線AC上にあるので、実数kを用いて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=k\ \overrightarrow{\sf AC}=k\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ……①
と表すことができる。
また、DはPB上にあるので、BD：PD=t：1－tとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=(1-t)\overrightarrow{\sf AB}+t\overrightarrow{\sf AP}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =(1-t)\overrightarrow{\sf b}+\frac{t\overrightarrow{\sf b}-3t\overrightarrow{\sf c}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left( \frac{2-t}{2}\right)\overrightarrow{\sf b}-\frac{3t}{2}\overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ ……②
と表すことができる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf b}\ ,\ \overrightarrow{\sf c}\end{align*}}$ は一次独立なので、①、②の係数を比較すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2-t}{2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ t=2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=-\frac{3t}{2}=-3\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf AD}=\underline{\ -3\overrightarrow{\sf c}\ }\end{align*}}$
(3)
(2)でt=2より、DはBPを2：1に外分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T=\triangle PBC=\frac{1}{2}\triangle DBC\end{align*}}$ ……③
また、k=－3より、CD=4ACなので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle DBC=4\triangle ABC=4S\end{align*}}$ ……④
③、④より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf T:S=\frac{1}{2}\triangle DBC:\frac{1}{4}\triangle DBC=\underline{\ 2:1\ }\end{align*}}$
(3)は、(2)の結果を利用して図形的に処理しましょう。
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第4問
数直線上を動く点P、Qが原点の位置にある。硬貨を投げて、
表が出たらPを正の向きに1進めてQは動かさないものとし、
裏が出たらQを負の向きに2進めてPは動かさないものとする。
このとき次の問いに答えよ。
(1) PとQの距離が10となったとき、表が出た回数と裏が出た
回数の組をすべて求めよ。
(2) 硬貨を7回投げる。7回進めたとき、PとQの距離が10となる
確率を求めよ。
(3) 硬貨を7回投げる。7回進める間に、PとQの距離が10となる
確率を求めよ。
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【解答】
(1)
x、yを0以上の整数とし、表の回数をx、裏の回数をyとすると、
PおよびQの位置はそれぞれ、x、－2yとなる。
PQ間の距離が10なので、
x+2y=10
となり、これを満たすような整数x、yの組は、
(x，y)=(0，5)、(2，4)、(4，3)、(6，2)、(8，1)、(10，0)
である。
(2)
(1)より、ちょうど7回目にPQ間の距離が10になるのは、
x=4、y=3のときである。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf _7C_4\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^3=\underline{\ \frac{35}{128}\ }\end{align*}}$
(3)
(1)より、7回目までにPQ間の距離が10になるのは、
(x，y)=(0，5)、(2，4)、(4，3)のときである。
よって、その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^5+_6C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^4+\frac{35}{128}=\underline{\ \frac{69}{128}\ }\end{align*}}$
確実にゲットです！
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- 2014/01/31(金) 23:57:00|
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