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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013大阪教育大 後期数学1



第1問

  aを正の実数とする。点Pが放物線
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y=\frac{x^2}{4}\end{align*}}$
  上を動くとき、点A(0,a)と点Pの距離APの最小値をr(a)とおく。
  このとき、次の問いに答えよ。

 (1) r(a)を求めよ。

 (2) a=5のとき、AP=r(5)となるような点Pのy座標をbとする。
   (ⅰ) bを求めよ。
   (ⅱ) Dを
        $\small\sf{\begin{align*} \sf y\geqq\frac{x^2}{4}\ \ ,\ \ x^2+(y-5)^2\geqq \left( r(5)\right)^2\ \ ,\ \ y\leqq b\end{align*}}$
      をみたす点(x,y)全体の集合とする。Dを図示せよ。
   (ⅲ) Dをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。




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  1. 2014/02/01(土) 23:57:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2013
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2013大阪教育大 後期数学2



第2問

  零行列でない行列 $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対して、次の命題を与える。
    命題1 行列Xに対して、X=kA+LEとなる実数k、Lが
        存在すれば、AX=XAである。
  ただし、Eは2次の単位行列である。

 (1) 命題1が正しいことを示せ。

  次に、命題2を命題1の逆とする。

 (2) a≠dとし、$\small\sf{\begin{align*} \sf X=\begin{pmatrix} \sf x&\sf y \\ \sf z & \sf w \end{pmatrix}\end{align*}}$ に対し、AX=XAが成り立つとする。
   (ⅰ) yとzをそれぞれa、b、c、d、x、wを用いて表せ。

   (ⅱ) $\small\sf{\begin{align*} \sf X-\frac{x-w}{a-d}A\end{align*}}$ を計算し,a≠dのとき命題2が正しいことを示せ。

 (3) a=dかつb≠0のとき、命題2が正しいことを示せ。

 (4) 命題2の反例をあげ、それが反例である理由を述べよ。



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  1. 2014/02/02(日) 23:57:00|
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2013大阪教育大 後期数学3



第3問

  半径aの円Oの外に点Sをとる。点Sを通る直線Lは中心Oを通らず、
  円Oと2点(Sに近い方からA、B)で交わるとする。直径AA’と直径
  BB’を考え、直線AB’と直線SOの交点をS’とする。

 (1) SA=SA’であることを示せ。

  直線SA上に点H(≠A)をSA=AHであるようにとる。直線AB’と直線
  S’Hの交点をPとする。

 (2) S’P-SP=2aであることを示せ。

 (3) 直線Lが動くとき、点Pはどのような曲線を描くか図示せよ。

  点Aでの円Oの接線と点B’での円Oの接線の交点をQとする。

 (4) 三角形PSAと三角形QOAは相似であることを示せ。




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  1. 2014/02/03(月) 12:00:00|
  2. 大学入試(数学) .関西の国立大学 .大阪教育大 後期 2013
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2013大阪教育大 後期数学4



第4問

  さいころを繰り返し投げるとする。自然数nに対して、n回目に出た目が
  3の倍数であれば、an=1、そうでなければan=0と定める。X0=0とし、
  さらに、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf X_n=\frac{a_1}{2}+\frac{a_2}{2^2}+\ldots\ldots +\frac{a_n}{2^n}\end{align*}}$
  とする。qnを、Xn-1≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ かつXn>$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ となる確率とし、pnをX2n-1>$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$
  となる確率とする。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{0}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{0}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{0}{2^5}+\frac{1}{2^6}+\ldots\ldots\end{align*}}$ を求めよ。

 (2) q1、q2、q3、q4、q5を求めよ。

 (3) q2n-1をnを用いて表せ。

 (4) $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ p_n\end{align*}}$ を求めよ。




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  1. 2014/02/03(月) 12:03:00|
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