第1問
a、bは実数であり、a≠0とする。P(x)=ax+bに対して、
次の問いに答えよ。
(1) 等式x=aP(x)+bが、どのようなxの値に対しても成り立つとする。
このとき、a、bの満たす条件を求めよ。
(2) Q(x)=aP(x)+bとおく。等式P(x)=aQ(x)+bがどのようなxの値に
対しても成り立つとする。このとき、a、bの満たす条件を求めよ。
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【解答】
(1)
題意より
x=aP(x)+b
⇔ x=a(ax+b)+b
⇔ (a2－1)x=－b(a+1) ……①
となり、①が任意のxに対して成り立つので、係数を比較すると、
a2－1=0 すなわち a=±1 かつ
b(a+1)=0 ……②
(ⅰ) a=1のとき
②は、2b=0 となり、b=0 のとき成り立つ。
(ⅱ) a=－1のとき
②は、0=0 となるので、常に成り立つ。
以上より、a、bの満たす条件は、
「a=1 かつb=0」 または 「a=－1」
である。
(2)
題意より
P(x)=aQ(x)+b
⇔ P(x)=a{aP(x)+b}+b
⇔ ax+b=a{a(ax+b)+b}+b
⇔ (a3－a)x=－ab(a+1) ……③
a≠0より、③の両辺をaで割ると、
(a2－1)x=－b(a+1)
となり、①と一致する。
これが任意のxに対して成り立つための条件は、
(1)と同様、
「a=1 かつb=0」 または 「a=－1」
である。
普通に恒等式です。
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- 2014/01/25(土) 23:54:00|
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第2問
a、bを実数とする。座標平面上の放物線y=x2+ax+bをG、
直線y=－x+1をLとする。次の問いに答えよ。
(1) GとLが異なる2点で交わるとき、a、bの満たす条件を求めよ。
(2) どのようなaの値に対しても、GとLが異なる2点で交わるとする。
このとき、bの値の範囲を求めよ。
(3) Gの頂点の座標を(p，q)とする。どのようなaの値に対しても、
点(p，q)が直線Lおよびその下側の部分にあるとする。このとき、
bの値の範囲を求めよ。
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【解答】
(1)
2式を連立させると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x^2+ax+b=-x+1\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2+(a+1)x+b-1=0\end{align*}}$
となり、これが異なる2つの実数解をもてばよいので、
判別式Dを考えると、a、bの満たすべき条件は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf D=\underline{\ \left(a+1\right)^2-4\left(b-1 \right)>0\ }\end{align*}}$ ……①
である。
(2)
①において、(a+1)2≧0なので、
－4(b－1)＞0
であれば、常に①は成り立つ。
よって、求める条件は、b＜1 である。
(3)
Gの式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=\left(x+\frac{a}{2}\right)^2+b-\frac{a^2}{4}\end{align*}}$
と変形できるので、Gの頂点は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(p\ ,\ q\right)=\left(-\frac{a}{2}\ ,\ b-\frac{a^2}{4}\right)\end{align*}}$
となる。これが、直線Lおよびその下側の部分、
すなわち領域y≦－x+1内にあればよいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b-\frac{a^2}{4}\leqq -\left(\frac{a}{2}\right)+1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{a^2}{4}+\frac{a}{2}+1-b\geqq 0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{4}\left(a+1\right)^2+\frac{3}{4}-b\geqq 0\end{align*}}$ ……②
この式において、(a+1)2≧0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{3}{4}-b\geqq 0\end{align*}}$
であれば、常に②は成り立つ。
よって、求める条件は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ b\leqq \frac{3}{4}\ }\end{align*}}$
である。
これも特に問題なしですね！
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- 2014/01/25(土) 23:57:00|
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第3問
kを正の実数とする。座標平面において、2つの曲線y=ktanxと
y=cosxの0≦x≦$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ をそれぞれC1とC2とする。C1とC2の交点
をPとし、そのx座標を$\small\sf{\alpha}$ とする。次の問いに答えよ。
(1) sin$\small\sf{\alpha}$ をkを用いて表せ。
(2) 点PにおけるC1の接線とx軸との交点をQとする。次の(ⅰ)、(ⅱ)
に答えよ。
(ⅰ) 点Qのx座標を$\small\sf{\alpha}$ を用いて表せ。
(ⅱ) 点R($\small\sf{\alpha}$ ，0)をとり、三角形PQRの面積をSとおく。k→0のときの
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{S}{k}\end{align*}}$ の極限値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
C1とC2の交点のx座標が$\scriptsize\sf{\alpha}$ なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\tan\alpha=\cos\alpha\end{align*}}$
であり、両辺にcos$\scriptsize\sf{\alpha}$ をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\tan\alpha\cos\alpha=\cos^2\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\sin\alpha=1-\sin^2\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin^2\alpha+k\sin\alpha-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \sin\alpha=\frac{-k\pm\sqrt{k^2+4}}{2}\end{align*}}$ ．
0≦$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜$\scriptsize\sf{\pi}$ /2より、0≦sin$\scriptsize\sf{\alpha}$ ＜1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \sin\alpha=\frac{-k+\sqrt{k^2+4}}{2}\ }\end{align*}}$
(2)(ⅰ)
C1に対して、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y'=\frac{k}{\cos^2x}\end{align*}}$
なので、Pにおける接線の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y-k\tan\alpha=\frac{k}{\cos^2\alpha}\left(x-\alpha \right)\end{align*}}$ ．
これとx軸との交点Qのx座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0-k\tan\alpha=\frac{k}{\cos^2\alpha}\left(x-\alpha \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}\left(x-\alpha \right)\ \ \ \ (\because k\ne 0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ -\sin\alpha\cos\alpha=x-\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ x=\underline{\ \alpha-\sin\alpha\cos\alpha\ }\end{align*}}$
(2)(ⅱ)
P、Q、Rの位置関係は右図のようになり、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf PR=k\tan\alpha=\frac{k\sin\alpha}{\cos\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf QR=\left|\alpha-\left(\alpha-\sin\alpha\cos\alpha\right)\right|=\sin\alpha\cos\alpha\end{align*}}$
なので、△PQRの面積Sは
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\frac{1}{2}\cdot\sin\alpha\cos\alpha\cdot\frac{k\sin\alpha}{\cos\alpha}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k}{2}\sin^2\alpha\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k}{2}\left( \frac{-k+\sqrt{k^2+4}}{2}\right)^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{k}{4}\left(k^2+2-k\sqrt{k^2+4} \right)\end{align*}}$
となる。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{k\rightarrow 0}\frac{S}{k}=\lim_{k\rightarrow 0}\frac{1}{4}\left(k^2+2-k\sqrt{k^2+4} \right) \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{4}\cdot\left(0+2-0\cdot\sqrt{0+4} \right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{2}\ } \end{align*}}$
そのまま計算しましょう。
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- 2014/01/26(日) 23:57:00|
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第4問
2つの関数f(x)、g(x)が、
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\int_0^x\left(x-t\right)\ f\ (t)\ dt\end{align*}}$
をみたすとする。次の問いに答えよ。
(1) g(x)の導関数g’(x)に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\int_0^xf\ (t)\ dt\end{align*}}$
が成り立つことを示せ。
(2) $\small\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=\sin x\cos x-x\end{align*}}$ のとき、f(x)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
g(x)は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ (x)=x\int_0^xf\ (t)\ dt-\int_0^xf\ (t)\ dt\end{align*}}$
と変形できるので、両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\int_0^xf\ (t)\ dt+x\ f\ (x)-x\ f\ (x)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_0^xf\ (t)\ dt\end{align*}}$
となるので、題意は示された。
(2)
g(x)の導関数は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf g\ '(x)=\cos^2x-\sin^2x-1=\cos2x-1\end{align*}}$
なので、これと(1)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xf\ (t)\ dt=\cos2x-1\end{align*}}$
となる。
両辺をxで微分すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f\ (x)=\underline{\ -2\sin2x\ }\end{align*}}$
を得る。
微積分の基本定理
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{d}{dx}\int_a^xf\ (t)\ dt=f\ (x)\end{align*}}$ (a：実定数)
は大丈夫ですか？
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- 2014/01/27(月) 23:57:00|
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