第4問
空間の4点A(2，1，0)、B(2，－1，0)、C(0，－1，0)、D(0，1，0)、
および、方程式z=2で表される平面上の4点A’(4，1，2)、B’(4，－1，2)、
C’(2，－1，2)、D’(2，1，2)を頂点とする角柱をSとする。このとき、正方形
A’B’C’D’ は、正方形ABCDをベクトル(2，0，2)分だけ移動したものに
なっている。また、点E(4，0，0)およびQ(0，0，2)をとり、底面がxy平面上の
三角形△ABE、頂点がQの三角錐をTとする。
(1) tを0≦t≦2なる実数とする。方程式z=tで表される平面とS、および、Tとの
共通部分を考える。その共通部分の任意の点P(x，y，t)に対して、xy平面上
の点P’(x，y，0)を考え、点P’の全体をそれぞれSt、Ttとする。このとき、
Stは不等式t≦x≦+2、|y|≦1で表される領域である。また、Ttは
A”( ム ， メ ，0)、 B”( ム ，－ メ ，0 )、
E”( モ ，0，0)
を頂点とする三角形で囲まれる領域を含む領域で、その面積は ヤ である。
ただし、 メ ≧0 であるとする。
(2) StとTtの共通部分をVtとする。まず、0≦t＜ ユ のとき、頂点E”は
正方形Stの外部にあり、したがってVtは台形となり、その面積は ヨ
である。次に ユ ≦t≦1のとき、三角形TtはStの内部と境界に含まれて
おり、Vt=Ttとなる。したがってその面積は ヤ である。1＜t≦ ラ
のとき辺A”B”はStの外部にあり、VtはTtのx≦ リ の部分のなす三角形
となるので、その面積は ル となる。最後に、 ラ ＜t≦2のとき、Stと
Ttは共通部分をもたない。
(3) 以上の考察から、SとTの共通部分Vの体積は レ となる。
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【解答】
ム 2－t メ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{t}{2}\end{align*}}$ モ 4－2t ヤ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(2-t\right)^2\end{align*}}$ ユ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{2}{3}\end{align*}}$
ヨ 4t－4t2 ラ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{3}\end{align*}}$ リ t ル $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\left(4-3t\right)^2\end{align*}}$ レ $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{7}{9}\end{align*}}$
【解説】
(1)
平面z=tとQA、QB、QEの交点をそれぞれAt、Bt、Etとおくと、
At、Bt、EtはQA、QB、QEをそれぞれ2－t：tに内分する点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A_t\left(2-t\ ,\ 1-\frac{t}{2}\ ,\ t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B_t\left(2-t\ ,\ -1+\frac{t}{2}\ ,\ t\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_t\left(4-2t\ ,\ 0\ ,\ t\right)\end{align*}}$ ．
A”、B”、E”はこれらをxy平面に投影した点なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A''\left(\underline{2-t\ ,\ 1-\frac{t}{2}}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf B''\left(\underline{2-t\ ,\ -1+\frac{t}{2}}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E''\left(\underline{4-2t}\ ,\ 0\ ,\ 0\right)\end{align*}}$ ．
よって、△A”B”E”の面積は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\cdot 2\left(1-\frac{t}{2}\right)\cdot\left\{(4-2t)-(2-t)\right\}=\underline{\ \frac{1}{2}\left(2-t\right)\ } \end{align*}}$
となる。
(2)
(ⅰ) 辺A”B”がStの内部にあり、頂点E”が外部にあるとき
tの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t+2\leqq 4-2t\ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ 0\leqq t <\frac{2}{3}\ }\end{align*}}$
である。また、線分A”E”の方程式は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1-\frac{t}{2}}{(4-2t)-(2-t)}\left\{x-(4-2t)\right\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{1}{2}\left(x+2t-4\right)\end{align*}}$
より、A”E”と直線x=t+2の交点のy座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}\left\{(t+2)+2t-4\right\}=\frac{1}{2}\left(2-3t\right)\end{align*}}$ ．
よって、Vtの面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_t=\frac{1}{2}\left\{(2-3t)+(2-t)\right\}\cdot\left\{(t+2)-(2-t)\right\}=\underline{\ 4t-4t^2\ }\end{align*}}$
(ⅱ) 3頂点A”、B”、E”すべてがStに含まれるとき
tの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t\leqq 2-t<4-2t\leqq t+2\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{2}{3}\leqq t\leqq 1\end{align*}}$
であり、Vt=Ttとなる。
(ⅲ) 頂点E”がStの内部にあり、辺A”B”が外部にあるとき
tの範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 2-t
であり、VtはTtのx≧tの部分となる。
A”E”と直線x=tの交点のy座標は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf y=-\frac{1}{2}\left\{t+2t-4\right\}=\frac{1}{2}\left(4-3t\right)\end{align*}}$
となるので、Vtの面積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V_t=\frac{1}{2}\left(4-3t\right)\cdot\left\{(4-2t)-t\right\}=\underline{\ \frac{1}{2}\left(4-3t\right)^2\ }\end{align*}}$
(3)
SとTの共通部分Vを平面z=tで切った断面は、Vtに等しいので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V=\int_0^{\frac{2}{3}}\left(4t-4t^2\right)dt+\int_{\frac{2}{3}}^1\frac{1}{2}\left(2-t\right)^2dt+\int_1^{\frac{4}{3}}\frac{1}{2}\left(4-3t\right)^2dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[2t^2-\frac{4}{3}t^3\bigg]_0^{\frac{2}{3}}-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}\left(2-t\right)^3\right]_{\frac{2}{3}}^1-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3\cdot 3}\left(4-3t\right)^3\right]_1^{\frac{4}{3}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{7}{9}\ }\end{align*}}$
図を描いて丁寧に考えましょう。
しかし、立命館の問題文は長い・・・・＾＾；；
テーマ:数学 - ジャンル:学問・文化・芸術
- 2018/12/03(月) 02:04:00|
- 大学入試(数学) .関西の私立大学 .立命館大 理系 2013(2/7)
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