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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013立命館大 理系(2月7日) 数学1



第1問

  平面上に中心O、半径が1の円を考え、その円に三角形△ABCが内接
  しているとする。さらに、点Oから辺AB、BC、CAに下ろした垂線の足を
  それぞれL、M、Nとするとき、ある実数s、t、uによって、以下の等式が
  成り立っているものとする。
        $\small\sf{\begin{align*} \sf s\overrightarrow{\sf OL}+t\overrightarrow{\sf OM}+u\overrightarrow{\sf ON}=\overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$  ……(*)

 (1) 等式(*)を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\ ,\ \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ および $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ を使った等式に書き直すと
        (s+u)$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ + ア  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ + イ  $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ =$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf 0}\end{align*}}$
    となる。いま、 ア  イ  も正の実数である場合を考えよう。
    辺BCを イ  ア  に内分する点をDとすると、
        図02
    となる。このことから、点Oが三角形△ABCの内部にあるためには
    s+uが エ  であることが必要十分条件である。

 (2) とくに、s=10、u=3、t>-3としてみよう、このとき、内積$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\cdot\overrightarrow{\sf OC}\end{align*}}$ は
    tを使って オ  と書き表せ、t= カ  のときに0となって、
    ∠BOC= キ  、さらに、∠BAC= ク  となる。




2013立命館大 理系(2月7日) 数学2



第2問

  sを実数とし、座標平面において点P$\small\sf{\begin{align*} \sf \left(s\ ,\ -\frac{1}{4}\right)\end{align*}}$ から放物線
         C1: y=x2
  に引いた2本の接線をL1、L2とし、その接点をそれぞれQ(t,t2)、
  R(u,u2)とする。

 (1) このとき、t+uはsを使ってt+u= ケ  と書ける。
    また tu= コ  となる。

 (2) 点Qを通り直線L1と直交する直線をm1、また、点Rを通り直線L2
    直交する直線をm2とすると、tとuを使って
         m1: y= サ  x+ シ 
    および
         m2: y= ス  x+ セ 
    と表せる。m1とm2の交点をSとすると、その座標はsのみを使って
    S( ソ  タ  )と書き表すことができる。従って、sが実数の
    範囲で変化するとき、点Sの軌跡は曲線
         C2: y= チ  x2+ ツ 
    を描く。

 (3) いまsがs>0の範囲で変化するとしよう。曲線C2の点Sにおける
    接線とx軸との交点をTとすると、 T( テ  ,0)である。d=PTと
    すると、d2はsのみを使って d2= ト と表せる。したがって、dは
    s= ナ のときに最小値 ニ  をとる。





2013立命館大 理系(2月7日) 数学3



第3問

  1から15までの数字が1つずつ書かれた玉が入った袋を考える。袋から
  1個ずつ玉を取り出し、取り出した玉は袋に戻さないとする。これを3回
  くり返して3つの玉を取り出し、そこに書かれている数字が、取り出した
  順にa、b、cであるとする。

 (1) a、b、cを順番に並べて3桁から6桁の数字を作る。たとえば、a=3、
    b=13、c=5であるとき、4桁の数3135が作れるものとする。このとき、
    作られた数字が5桁以下の数字となる確率は ヌ  であり、作られた
    数字が5で割り切れる確率は ネ  となる。

 (2) a+b>16かつc=5となるように3つの玉を取り出す場合は、全部で
     ノ  通りある。

 (3) xについての関数
         f(x)=ax2+bx+c
    を考える。f(x)はx= ハ  のときに最小値 ヒ  をとる。
     ハ  <-1となるような確率は フ  である。さらに、xについての関数
         g(x)=-cx2-bx+c
    を考える。g(x)はx= ヘ  のとき最大値 ホ  をとる。  ヘ  <-1
    となる確率は マ  である。また  ヒ  ホ  となる確率は ミ 
    である.



2013立命館大 理系(2月7日) 数学4



第4問

  空間の4点A(2,1,0)、B(2,-1,0)、C(0,-1,0)、D(0,1,0)、
  および、方程式z=2で表される平面上の4点A’(4,1,2)、B’(4,-1,2)、
  C’(2,-1,2)、D’(2,1,2)を頂点とする角柱をSとする。このとき、正方形
  A’B’C’D’ は、正方形ABCDをベクトル(2,0,2)分だけ移動したものに
  なっている。また、点E(4,0,0)およびQ(0,0,2)をとり、底面がxy平面上の
  三角形△ABE、頂点がQの三角錐をTとする。

 (1) tを0≦t≦2なる実数とする。方程式z=tで表される平面とS、および、Tとの
    共通部分を考える。その共通部分の任意の点P(x,y,t)に対して、xy平面上
    の点P’(x,y,0)を考え、点P’の全体をそれぞれSt、Ttとする。このとき、
    Stは不等式t≦x≦+2、|y|≦1で表される領域である。また、Tt
       A”( ム  メ  ,0)、 B”( ム  ,- メ  ,0 )、
       E”( モ  ,0,0)
    を頂点とする三角形で囲まれる領域を含む領域で、その面積は ヤ  である。
    ただし、 メ  ≧0 であるとする。

 (2) StとTtの共通部分をVtとする。まず、0≦t< ユ  のとき、頂点E”は
    正方形Stの外部にあり、したがってVtは台形となり、その面積は  ヨ 
    である。次に ユ  ≦t≦1のとき、三角形TtはStの内部と境界に含まれて
    おり、Vt=Ttとなる。したがってその面積は ヤ  である。1<t≦ ラ 
    のとき辺A”B”はStの外部にあり、VtはTtのx≦ リ  の部分のなす三角形
    となるので、その面積は ル  となる。最後に、 ラ  <t≦2のとき、St
    Ttは共通部分をもたない。

 (3) 以上の考察から、SとTの共通部分Vの体積は レ  となる。