第２問
|k|＜1またはk＞1を満たす実数kに対し、次の2次曲線C(k)を
考える。
$\small\sf{\begin{align*}\sf C(k):\ \frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1\end{align*}}$
以下の問いに答えよ。
(１) 点(1，1)を通る曲線C(k)をすべて求めて、その概形をかけ。
(２) 曲線C(3)が点(a，b)（a＞0、b＞0）を通るとき、aとbの間に
成り立つ関係式を求めよ。またこのとき、点(a，b)を通る曲線
C(k)（k≠3）の方程式を、bを用いて表し、その焦点を求めよ。
(３) (２)の2つの曲線C(3)、C(k)について、点(a，b)における
C(3)、C(k)の接線をそれぞれL1、L2とする。L1とL2のなす
角度を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C(k)が点(1，1)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k-1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-2k-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=1\pm\sqrt2\end{align*}}$ ．
よって、C(k)の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C(1+\sqrt2):\ \underline{\ \frac{x^2}{2+\sqrt2}+\frac{y^2}{\sqrt2}=1\ }\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C(1-\sqrt2):\ \underline{\ \frac{x^2}{2-\sqrt2}-\frac{y^2}{\sqrt2}=1\ }\end{align*}}$ ･･････②
となる。
①は、原点を中心とし、4点
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\pm\sqrt{2+\sqrt2}\ ,\ 0\right)\ \ ,\ \ \left(0\ ,\ \pm\sqrt[4]2\right)\end{align*}}$
を頂点とする楕円を表す。
②は、原点を中心とし、2点
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \left(\pm\sqrt{2-\sqrt2}\ ,\ 0\right)\end{align*}}$
を頂点とする双曲線を表す。
この双曲線の漸近線は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{x}{\sqrt{2-\sqrt2}}\pm\frac{y}{\sqrt[4]2}=0\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\pm\sqrt{1+\sqrt2}\ x\end{align*}}$
である。
(２)
題意より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf C(3):\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{align*}}$
が点(a，b)を通るので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ a^2=4-2b^2\end{align*}}$ ･･････③
また、C(k)が点(a，b)を通るとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \frac{a^2}{k+1}+\frac{b^2}{k-1}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-(a^2+b^2)k+a^2-b^2-1=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-(4-b^2)k-3-3b^2=0\end{align*}}$ ←③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \left(k-3\right)\left\{k-(1-b^2)\right\}=0\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k=1-b^2\ \ \ (\because b\ne 3)\end{align*}}$
となるので、C(k)の方程式は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \frac{x^2}{2-b^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\ }\end{align*}}$
である。
この式は、a＞0と③より2－b2＞0なので、原点を中心とする
双曲線を表す。よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \sqrt{(2-b^2)-b^2}=\sqrt2\end{align*}}$
より、この双曲線の焦点の座標は、$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf \underline{\ \left(\pm\sqrt2\ ,\ 0\right)\ }\end{align*}}$ である。
(３)
点(a，b)における接線の方程式はそれぞれ
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_1:\ \frac{ax}{4}+\frac{by}{2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=-\frac{a}{2b}x+\frac{2}{b}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf L_2:\ \frac{ax}{2-b^2}-\frac{by}{b^2}=1\ \ \Leftrightarrow\ \ y=\frac{ab}{2-b^2}x-b\end{align*}}$
傾きの積を考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf -\frac{a}{2b}\cdot\frac{ab}{2-b^2}=-\frac{a^2}{2(2-b)^2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-\frac{a^2}{a^2}\end{align*}}$ ←･･････③より
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =-1\end{align*}}$
となるので、これら2直線のなす角度は90°である。
(３)は、どうせ垂直であろうと決めてかかっていますがｗｗ
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- 2018/10/08(月) 01:02:00|
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第３問
さいころを4回投げて、k回目（k＝1，2，3，4）に出る目の数を
Xkとする。1から6までの目は等確率で出る物ものするとき、
以下の問いに答えよ。
(１) j、k（j＜k）は数の集合{1，2，3，4}を動くものとする。X1、X2、
X3、X4の中で、Xj＝Xkとなる組{j，k}が少なくとも1つ存在する
事象をA、Xj＝Xkとなる組{j，k}がただ1つ存在する事象をB、
同じ目がちょうど3つ出る事象をCとする。確率P(A)、P(B)、P(C)
をそれぞれ求めよ。
(２) Aが起こったときの和事象B∪Cの条件付き確率PA(B∪C)を求めよ。
(３) X1、X2、X3、X4の値を小さい方から順にX(1)、X(2)、X(3)、X(4)
を定める。例えば、X1＝3、X2＝2、X3＝6、X4＝2の場合、
X(1)＝2、X(2)＝2、X(3)＝3、X(4)＝6である。確率P(X(1)＝4)と
P(X(1)＝X(2)＝4)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
【P(A)について】
Aの余事象は「X1、X2、X3、X4の値がすべて異なる」なので、
その確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(\overline{A})=\frac{_6P_4}{6^4}=\frac{5}{18}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(A)=1-\frac{5}{18}=\underline{\ \frac{13}{18}\ }\end{align*}}$
【P(B)について】
4数が○○△□のようになればよい。
○の数の選び方は6通り
△と□の数の選び方は5C2＝10通り
4数の並び方は4C2・2C1＝12通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(B)=\frac{6\cdot 10\cdot 12}{6^4}=\underline{\ \frac{5}{9}\ }\end{align*}}$
【P(C)について】
4数のが○○○△のようになればよい。
○の数の選び方は6通り
△の数の選び方は5通り
4数の並び方は4C3＝4通り
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P(C)=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{6^4}=\underline{\ \frac{5}{54}\ }\end{align*}}$
(２)
B⊂A、C⊂AかつB∩C＝φより、
P(A∩(B∪C))＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(A\cap(B\cup C)\right)=\frac{5}{9}+\frac{5}{54}=\frac{35}{54}\end{align*}}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P_A(B\cup C)=\frac{P\left(A\cap (B\cup C)\right)}{P(A)}=\frac{\frac{35}{54}}{\frac{13}{18}}=\underline{\ \frac{35}{39}\ }\end{align*}}$
(３)
【P(X(1)＝4)について】
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(x_{(1)}=4\right)=P\left(x_{(1)}\geqq 4\right)-P\left(x_{(1)}\geqq 5\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\left(\frac{3}{6}\right)^4-\left(\frac{2}{6}\right)^4\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{65}{1296}\ }\end{align*}}$ ．
【P(X(1)＝X(2)＝4)について】
X(1)＝4かつX(2)≠4となるような4数の組み合わせは
ア、(4，5，5，5)
イ、(4，6，6，6)
ウ、(4，5，5，6)
エ、(4，5，6，6)
の4つの場合が考えられ、4数の並び方は、
ア、イはそれぞれ、4C3＝4通り
ウ、エはそれぞれ、4C2・2C1＝12通り
である。
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf P\left(x_{1}=x_{2}=4\right)=P\left(x_{1}=4\right)-P\left(x_{1}=4\ ,\ x_{2}\ne 4\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\frac{65}{1296}-\frac{4+4+12+12}{6^4}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*}\sf =\underline{\ \frac{11}{432}\ }\end{align*}}$
そんなに難しくないですね。
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- 2018/10/08(月) 01:03:00|
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