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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2013浜松医科大 数学1



第1問

  関数
        $\small\sf{\begin{align*}\sf f\ (x)=\log x+\frac{1}{x}\end{align*}}$
  と、曲線C:y=f(x)(x>0)について、以下の問いに答えよ。
  なお、必要ならば $\small\sf{\begin{align*}\sf \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\log x}{x} =0\end{align*}}$ を用いてもよい。

 (1) f(x)の導関数f’(x)と不定積分∫f(x)dxをそれぞれ求めよ。

 (2) 曲線Cの変曲点を求めよ。

  以下、aは1より大きい実数とし、点(a,f(a))におけるCの接線を
  L(a)とする。

 (3) 接線L(a)の方程式を求めよ。また、a≠2のとき、曲線Cと接線
    L(a)は2個の共有点(接点と交点)をもつことを示せ。

 (4) a=2とする。曲線C、接線L(2)と2直線x=1、x=4で囲まれた
    図形の面積を求めよ。





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2013浜松医科大 数学2



第2問

  |k|<1またはk>1を満たす実数kに対し、次の2次曲線C(k)を
  考える。
        $\small\sf{\begin{align*}\sf C(k):\ \frac{x^2}{k+1}+\frac{y^2}{k-1}=1\end{align*}}$
  以下の問いに答えよ。

 (1) 点(1,1)を通る曲線C(k)をすべて求めて、その概形をかけ。

 (2) 曲線C(3)が点(a,b)(a>0、b>0)を通るとき、aとbの間に
    成り立つ関係式を求めよ。またこのとき、点(a,b)を通る曲線
    C(k)(k≠3)の方程式を、bを用いて表し、その焦点を求めよ。

 (3) (2)の2つの曲線C(3)、C(k)について、点(a,b)における
    C(3)、C(k)の接線をそれぞれL1、L2とする。L1とL2のなす
    角度を求めよ。




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2013浜松医科大 数学3



第3問

  さいころを4回投げて、k回目(k=1,2,3,4)に出る目の数を
  Xkとする。1から6までの目は等確率で出る物ものするとき、
  以下の問いに答えよ。

 (1) j、k(j<k)は数の集合{1,2,3,4}を動くものとする。X1、X2
    X3、X4の中で、Xj=Xkとなる組{j,k}が少なくとも1つ存在する
    事象をA、Xj=Xkとなる組{j,k}がただ1つ存在する事象をB、
    同じ目がちょうど3つ出る事象をCとする。確率P(A)、P(B)、P(C)
    をそれぞれ求めよ。

 (2) Aが起こったときの和事象B∪Cの条件付き確率PA(B∪C)を求めよ。

 (3) X1、X2、X3、X4の値を小さい方から順にX(1)、X(2)、X(3)、X(4)
    を定める。例えば、X1=3、X2=2、X3=6、X4=2の場合、
    X(1)=2、X(2)=2、X(3)=3、X(4)=6である。確率P(X(1)=4)と
    P(X(1)=X(2)=4)を求めよ。






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