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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010東京大 理系数学1



第1問

  3辺の長さがaとbとcの直方体を、長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき、
  直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。

 (1) Vの体積をa、b、cを用いて表せ。

 (2) a+b+c-1のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。





2010東京大 理系数学2



第2問

 (1) すべての自然数kに対して、次の不等式を示せ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)}\ <\ \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx\ <\ \frac{1}{2k}\end{align*}}$

 (2) m>nであるようなすべての自然数mとnに対して、次の不等式を示せ。
     $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}\ <\ log\frac{m}{n}-\sum_{k=n+1}^m\ \frac{1}{k}\ <\ \frac{m-n}{2mn}\end{align*}}$




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  1. 2018/11/19(月) 01:12:00|
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2010東京大 理系数学3



第3問

  2つの箱LとR、ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出るコイン
  1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Lにx個、Rに30-x個の
  ボールを入れ、次の操作(#)を繰り返す。

 (#) 箱Lに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば
    箱Rから箱Lに、裏が出れば箱Lから箱Rに、K(z)個のボールを移す。
    ただし、0≦z≦15のときK(z)=z、16≦z≦30のときK(z)=30-z
    とする。

  m回の操作の後、箱Lのボールの個数が30である確率をPm(x)とする。
  たとえば、P1(15)=P2(15)= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となる。以下の問(1)、(2)、(3)に
  答えよ。

 (1) m≧2のとき、xに対してうまくyを選び、Pm(x)をPm-1(y)で表せ。

 (2) nを自然数とするとき、P2n(10)を求めよ。

 (3) nを自然数とするとき、P4n(6)を求めよ。





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2010東京大 理系数学4



第4問

  Oを原点とする座標平面上の曲線
      $\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2}\end{align*}}$
  と、その上の相異なる2点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)を考える。

 (1) Pi(i=1,2)を通るx軸に平行な直線と、直線y=xとの交点を、
    それぞれHi(i=1,2)とする。このとき、△OP1H1と△OP2H2
    の面積は等しいことを示せ。

 (2) x1<x2とする。このときCのx1≦x≦x2の範囲にある部分と、
    線分P1O、P2Oとで囲まれる図形の面積を、y1、y2を用いて表せ。



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2010東京大 理系数学5



第5問

  Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを時刻t=0
  に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回りに、Rは時計回りに、
  時刻t=2$\small\sf{\pi}$ まで動く。P、Q、Rの速さは、それぞれm、1、2であるとする。
  (したがって、QはCをちょうど一周する。)ただし、mは1≦m≦10を満たす
  整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ
  mと時刻tの組をすべて求めよ。



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2010東京大 理系数学6(1)



第6問

  四面体OABCにおいて、4つの面はすべて合同であり、OA=3、OB=$\small\sf{\begin{align*} \sf \sqrt7\end{align*}}$ 、
  AB=2であるとする。また、3点O、A、Bを含む平面をLとする。

 (1) 点Cから平面Lに下ろした垂線の足をHとおく。$\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OH}\end{align*}}$ を $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OA}\end{align*}}$ と $\small\sf{\begin{align*} \sf \overrightarrow{\sf OB}\end{align*}}$ を用いて表せ。

 (2) 0<t<1を満たす実数tに対して、線分OA、OB各々をt:1-tに内分する
    点をそれぞれPt、Qtとおく。2点Pt、Qtを通り、平面Lに垂直な平面をMと
    するとき、平面Mによる四面体OABCの切り口の面積S(t)を求めよ。

 (3) tが0<t<1の範囲を動くとき、S(t)の最大値を求めよ。





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