第1問
3辺の長さがaとbとcの直方体を、長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき、
直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする。
(1) Vの体積をa、b、cを用いて表せ。
(2) a+b+c－1のとき、Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
2辺の長さがa、cである長方形ＯABCを、
頂点Ｏを中心に90°回転させたときに
この長方形が通過する部分は右図の通り。
この面積をSとすると、
S=扇形ＯBB’+△ＯAB+△ＯB’C’
で求めることができる。
ＯB2=a2+c2 なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\pi\ (a^2+c^2)\times\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\ ac \times 2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{\pi}{4}\ (a^2+c^2)+ac\end{align*}}$
VはSを底面積とする高さbの柱になるので、
その体積は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf Sb=\underline{\ \frac{\pi}{4}\ (a^2+c^2)b+abc\ \ }\end{align*}}$
(2)
(1)で求めたVの体積をaの関数と見なして、V(a)とおく。
ここで、条件よりc=1－a－bを代入すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (a)=\frac{\pi}{4}\ a^{2\ }b+\frac{\pi}{4}\ (1-a-b)^{2\ }b+ab(1-a-b)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{\pi}{2}-1\right)\ a^{2\ }b+\left(1-b-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\ b\right)ab+\frac{\pi}{4}\ (1-b)^2\ b\end{align*}}$
これはaのついての二次関数なので、平方完成すると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ (a)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right)b\ \left(\ a-\frac{1-b}{2}\right)^{2}+\frac{1}{8}\ (\pi+2)(1-b)^2\ b\end{align*}}$
一方、a+b+c=1より、0＜a＜1－bなので、
この範囲でV(a)のグラフを描くと右図のようになる。
グラフよりV(a)の取りうる値の範囲は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf V\ \left(\frac{1-b}{2}\right)\leqq V\ (a)< V\ (0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{8}(\pi+2)(1-b)^2b\ \leqq V\ (a)\ <\frac{\pi}{4}(1-b)^2b\end{align*}}$ ････①
ここで、ｆ(b)=(1－b)2b とおくと、
ｆ(b)=b3－2b2+b なので、
ｆ’(b)=3b2－4b+1
=(3b－1)(b－1)
0＜b＜1の範囲でｆ(b)の増減表を書くと下の通り。
| b | (0) | ･･･ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{3}\end{align*}}$ | ･･･ | (1) |
| ｆ’(b) | | + | 0 | － | (0) |
| ｆ(b) | (0) | ↗ | $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{4}{27}\end{align*}}$ | ↘ | (0) |
増減表より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 0\lt f\ (b)\leqq \frac{4}{27}\end{align*}}$
一方、①は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{8}(\pi+2)\ f\ (b)\ \leqq V\ (a)\ <\frac{\pi}{4}\ f\ (b)\end{align*}}$
なので、これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ 0\lt V\ (a)< \frac{\pi}{27}\ \ }\end{align*}}$
変数がa、b、cの3つもありますが････
まず条件を使ってcを消去。
残ったa、bのうちbを固定して、aのみの関数と見なすのがいいでしょう。
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第2問
(1) すべての自然数ｋに対して、次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)}\ <\ \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx\ <\ \frac{1}{2k}\end{align*}}$
(2) ｍ＞ｎであるようなすべての自然数ｍとｎに対して、次の不等式を示せ。
$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}\ <\ log\frac{m}{n}-\sum_{k=n+1}^m\ \frac{1}{k}\ <\ \frac{m-n}{2mn}\end{align*}}$
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
0≦x≦1を満たすxに対して、
ｋ≦ｋ+x≦ｋ+1
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{k+1}\leqq \frac{1}{k+x}\leqq \frac{1}{k}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1-x}{k+1}\leqq \frac{1-x}{k+x}\leqq \frac{1-x}{k}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ \frac{1-x}{k+1}\ dx\leqq \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx\leqq \int_0^1\ \frac{1-x}{k}\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{k+1}\int_0^1(1-x)\ dx\leqq \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx\leqq \frac{1}{k}\int_0^1(1-x)\ dx\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1(1-x)\ dx=\left[ x-\frac{1}{2}x^2\right]_0^1=\frac{1}{2}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)}\ <\ \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx\ <\ \frac{1}{2k}\end{align*}}$
は示された。
(2)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^1\ \frac{1-x}{k+x}\ dx=\int_0^1\left(-1+\frac{k+1}{k+x} \right)\ dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left[-x+(k+1)\log{|k+x|} \right]_0^1\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-1+(k+1)\log{\frac{k+1}{k}}\end{align*}}$
これと(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)}\ <\ -1+(k+1)\log{\frac{k+1}{k}}\ <\ \frac{1}{2k}.\end{align*}}$
両辺を(ｋ+1)で割ると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)^2}\ <\ \log{\frac{k+1}{k}}-\frac{1}{k+1}\ <\ \frac{1}{2k(k+1)}\end{align*}}$ ････①
一方、ｋ+1≦ｋ+2より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{k+2}\leqq \frac{1}{k+1}\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{2(k+1)(k+2)}\leqq \frac{1}{2(k+1)^2}\end{align*}}$
これと①より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2(k+1)(k+2)}\ <\ \log{\frac{k+1}{k}}-\frac{1}{k+1}\ <\ \frac{1}{2k(k+1)}\end{align*}}$ ････①’
①’は任意の自然数ｋに対して成り立つので、
ｋ=ｎからｋ=ｍ－1までの和をとる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{2(k+1)(k+2)}\ <\ \sum_{k=n}^{m-1}\log{\frac{k+1}{k}}-\sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{k+1}\ <\ \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{2k(k+1)}\end{align*}}$ ････②
まず、左辺は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{2(k+1)(k+2)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\sum_{k=n}^m\left( \frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}\right)+\ldots+\frac{1}{2}\left( \frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{2}\left( \frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}\end{align*}}$
同様に右辺は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{2k(k+1)}=\frac{m-n}{2mn}\end{align*}}$
一方、中辺に関しては、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=n}^{m-1}\log{\frac{k+1}{k}}=\log{\frac{n+1}{n}}+\log{\frac{n+2}{n+1}}+\ldots+\log{\frac{m}{m-1}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\ \frac{n+1}{n}\cdot\frac{n+2}{n+1}\ \cdot\ \ldots\ \cdot\frac{m}{m-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\log\ \frac{m}{n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sum_{k=n}^{m-1}\frac{1}{k+1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{m}=\sum_{k=n+1}^{m}\frac{1}{k}\end{align*}}$
これらと②より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{m-n}{2(m+1)(n+1)}\ <\ log\frac{m}{n}-\sum_{k=n+1}^m\ \frac{1}{k}\ <\ \frac{m-n}{2mn}\end{align*}}$
は示された。
少し長くなってしまいましたが、やっていることはそんなに難しくありません。
まず(1)の定積分を計算したのが①
ここですぐに和をとってもよかったのですが、①’で少し微調整。
で、①’の和をとったのが②
それ以降は、普通にΣを計算しているだけです。
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第3問
2つの箱ＬとR、ボール30個、コイン投げで表と裏が等確率 $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ で出るコイン
1枚を用意する。xを0以上30以下の整数とする。Ｌにx個、Rに30－x個の
ボールを入れ、次の操作(＃)を繰り返す。
(＃) 箱Ｌに入っているボールの個数をzとする。コインを投げ、表が出れば
箱Rから箱Ｌに、裏が出れば箱Ｌから箱Rに、Ｋ(z)個のボールを移す。
ただし、0≦z≦15のときＫ(z)=z、16≦z≦30のときＫ(z)=30－z
とする。
ｍ回の操作の後、箱Ｌのボールの個数が30である確率をPm(x)とする。
たとえば、P1(15)=P2(15)= $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{2}\end{align*}}$ となる。以下の問(1)、(2)、(3)に
答えよ。
(1) ｍ≧2のとき、xに対してうまくyを選び、Pm(x)をPm-1(y)で表せ。
(2) ｎを自然数とするとき、P2n(10)を求めよ。
(3) ｎを自然数とするとき、P4n(6)を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下、ｋ回の操作の後の状態を、
Bk(箱Ｌのボールの個数，箱Rのボールの個数)
のように表すことにすると、初期の状態は、B0(x，30－x) であり、
確率Pm(x)は、Bm(30，0)となる確率を表す。
(1)
(ⅰ) 0≦x≦15のとき
B0(x，30－x)の状態で、Ｋ(z)=x．
(ア)1回目のコインが表のときは、B1(2x，30－2x)となる。
この状態からBm(30，0)となるためには、残りのｍ－1回の操作で、
Bm(30，0)となればよいので、その確率はPm-1(2x)と表される。
(イ)1回目のコインが裏のときは、B1(0，30)となる。
この状態では、Ｋ(z)=0となるため、以降はずっとBk(0，30)のまま。
（ｋ=2，3，4，････）
よって、(ア)、(イ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_m(x)=\frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x)\end{align*}}$
(ⅱ) 16≦x≦30のとき
B0(x，30－x)の状態で、Ｋ(z)=30－x．
(ウ)1回目のコインが表のときは、B1(30，0)となる。
この状態では、Ｋ(z)=0となるため、以降はずっとBk(30，0)のまま。
（ｋ=2，3，4，････）
(イ)1回目のコインが裏のときは、B1(2x－30，60+2x)となる。
この状態からBm(30，0)となるためには、残りのｍ－1回の操作で、
Bm(30，0)となればよいので、その確率はPm-1(2x－30)と表される。
よって、(ウ)、(エ)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_m(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x-30)\end{align*}}$
以上より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ P_m(x)=\left\{ \begin{array}{ll}\sf \frac{1}{2}\ P_{m-1}(2x) & (\sf 0\leqq x\leqq 15) \\ \\ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ \sf P_{m-1}(2x-30) & (\sf 16\leqq x\leqq 30) \\\end{array} \right.\ \ }\end{align*}}$
ルールが少し複雑なので、うまく整理する必要があります。
(2)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{2n}(10)=\frac{1}{2}\ P_{2n-1}(20)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{2n-2}(10)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ P_{2n}(10)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ P_{2n-2}(10)\end{align*}}$
ここで、qn=P2n(10) とおくと、
q0=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ q_{n-1}\end{align*}}$ ････①
①は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\left(q_{n-1}-\frac{1}{3}\right) \end{align*}}$ と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf q_{n}-\frac{1}{3} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{4}\end{align*}}$ の等比数列となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf q_{n}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\ \left(\frac{1}{4}\right)^n \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_{2n}(10)=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4^n}\right)\ \ }\end{align*}}$
(3)
(1)より、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf P_{4n}(6)\\=\frac{1}{2}\ P_{4n-1}(12)\\=\frac{1}{4}\ P_{4n-2}(24)\\=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{4n-3}(18)\right)\\=\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ P_{4n-4}(6)\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ P_{4n}(6)=\frac{3}{16}+\frac{1}{16}\ P_{4n-4}(6)\end{align*}}$
ここで、rn=P4n(6) とおくと、
r0=0
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}=\frac{3}{16}+\frac{1}{16}\ r_{n-1}\end{align*}}$ ････②
②は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}-\frac{1}{5}=\frac{1}{16}\left(r_{n-1}-\frac{1}{5}\right) \end{align*}}$ と変形できるので、
数列 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{Bmatrix} \sf r_{n}-\frac{1}{5} \end{Bmatrix}\end{align*}}$ は、公比 $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{1}{16}\end{align*}}$ の等比数列となる。
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf r_{n}-\frac{1}{5}=-\frac{1}{5}\ \left(\frac{1}{16}\right)^n \ \ \Leftrightarrow\ \ \underline{\ P_{4n}(6)=\frac{1}{5}\left(1-\frac{1}{16^n}\right)\ \ }\end{align*}}$
(1)の結果を使うと隣接二項間の漸化式ができるので、あとは解くだけです！
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第4問
Ｏを原点とする座標平面上の曲線
$\small\sf{\begin{align*} \sf C:\ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2}\end{align*}}$
と、その上の相異なる2点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)を考える。
(1) Pi（ｉ=1，2）を通るx軸に平行な直線と、直線y=xとの交点を、
それぞれHi（ｉ=1，2）とする。このとき、△ＯP1H1と△ＯP2H2
の面積は等しいことを示せ。
(2) x1＜x2とする。このときCのx1≦x≦x2の範囲にある部分と、
線分P1Ｏ、P2Ｏとで囲まれる図形の面積を、y1、y2を用いて表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(1)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2}\end{align*}}$ 
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \ \left(y-\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2+2\ \ \ \left(y-\frac{1}{2}x>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \Leftrightarrow\ \ \ x=y-2y^{-1}\ \ \ \left(x<2y\right)\end{align*}}$
このグラフは、直線x=yと双曲線x=－y－1
との和の形になっているので、グラフの概形は
右図1の赤線のようになる。
x軸とy軸を入れ換えて書いたものが右図2。
点Pｉ(xｉ，yｉ)、Hｉ(yｉ，yｉ) （ｉ=1，2）に対して
点Pｉは曲線C上にあるので、
xｉ=yｉ－2yｉ－1
これより、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle OP_iH_i=(y_i-x_i)\times y_i \times\frac{1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2y_i^{-1}\times y_i \times\frac{1}{2}=1\end{align*}}$
よって、△ＯP1H1=△ＯP2H2=1となる。
グラフの概形さえ分かればよいので、わざわざ微分する必要はないと思います。
(2)
求める部分の面積
=右図3の赤色の部分+△ＯP1H1－△ＯP2H2
=右図3の赤色の部分 （∵ (1)より）
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_{y_1}^{y_2}\ \{y-(y-2y^{-1})\}\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\int_{y_1}^{y_2}\ y^{-1}\ dy\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =2\left[\ \log\ |y|\ \right]_{y_1}^{y_2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \ 2\log\ \frac{y_2}{y_1}\ \ }\end{align*}}$
xではなくyで積分すると簡単ですね。
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第5問
Cを半径1の円周とし、AをC上の1点とする。3点P、Q、RがAを時刻ｔ=0
に出発し、C上を各々一定の速さで、P、Qは反時計回りに、Rは時計回りに、
時刻ｔ=2$\small\sf{\pi}$ まで動く。P、Q、Rの速さは、それぞれｍ、1、2であるとする。
（したがって、QはCをちょうど一周する。）ただし、ｍは1≦ｍ≦10を満たす
整数である。△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ
ｍと時刻ｔの組をすべて求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
3点P、Q、Rが、時刻ｔまでに点Aから動いた角度は、
左回りを正として測ると、それぞれ
ｍｔ、ｔ、－2ｔ
と表せる。
△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるためには、
∠QＯR=90°･･･(A)
かつ
∠PＯR=180°･･･(B)
になればよい。
まず、(A)について
∠QＯR=ｔ－(－2ｔ)=3ｔなので、
ｎを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 3t=\frac{\pi}{2}+2n\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ t=\frac{\pi}{6}+\frac{2n\pi}{3}\end{align*}}$ ･･･①
ここで、0≦ｔ≦2$\scriptsize\sf{\pi}$ なので、この範囲で①を満たすのは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{\pi}{6}\ ,\ \frac{\pi}{2}\ \ ,\ \frac{5\pi}{6}\ ,\ \frac{7\pi}{6}\ ,\ \frac{3\pi}{2}\ ,\ \frac{11\pi}{6}\end{align*}}$
(B)について
∠PＯR=ｍｔ－(－2ｔ)=(ｍ+2)ｔなので、
ｋを整数として一般角で考えると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m+2)t=\pi+2k\pi\ \ \Leftrightarrow\ \ m=\frac{(2k+1)\ \pi}{t}-2\end{align*}}$ ･･･②
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (a)\ \ t=\frac{\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より ｍ=6(2ｋ+1)－2=12ｋ+4
1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (b)\ \ t=\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より ｍ=2(2ｋ+1)－2=4ｋ
1≦ｍ≦10より、ｍ=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (c)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{5}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が5の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (d)\ \ t=\frac{7\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{7}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が7の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (e)\ \ t=\frac{3\pi}{2}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{2(2k+1)}{3}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が3の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4、8
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (f)\ \ t=\frac{11\pi}{6}\end{align*}}$ のとき、②より $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf m=\frac{6(2k+1)}{11}-2\end{align*}}$
2ｋ+1が11の倍数になることと、1≦ｍ≦10より、ｍ=4
以上より、条件を満たすｍ、ｔの組は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf (m\ , t)=\ \left(4\ ,\frac{\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{5\pi}{6}\right)\ ,\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \left(4\ ,\frac{7\pi}{6}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(8\ ,\frac{3\pi}{2}\right)\ ,\ \left(4\ ,\frac{11\pi}{6}\right)\ \ }\end{align*}}$
考え方は難しくないでしょうが、計算が面倒ですね。
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