青木ゼミ青木大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

2013センター試験　数学ⅠA　１[１]

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2014/01/01(水) 23:54:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

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2013センター試験　数学ⅠA　１[２]

第１問

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　「または」の否定は「かつ」なので、[r⇒(pまたはq)」の対偶は、　
　　　　　　　　①「（ $橿原学習塾青木ゼミ$ かつ $橿原学習塾青木ゼミ$ ）⇒ $橿原学習塾青木ゼミ$ 」　･･････ク

　(２)
　　　　(pまたはq)というのが考えにくいので、とりあえず無視しておいて、　　　　

　　　　rを満たさない、すなわち、45°の内角を含むものは、
　　　　◎、①、④の3つ。（◎と書いたのは、丸印の0のつもりですｗｗｗ）
　　　　このうち◎は条件p、qともに満たさないので不適。
　　　　よって、「(pまたはq)⇒r」の反例となるのは①、④である。･･････ケコ

　　　　厳密には①、④が(pまたはq)を満たすことを調べる必要がありますが、
　　　　まぁ、残った2つなのでOKでしょう！
　　　　

　(３)
　　　まず、(２)で「(pまたはq)⇒r」は偽なので（反例があるから）、
　　　rは(pまたはq)であるための必要条件でない。

　　　一方、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ：二等辺三角形（正三角形も含む）
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ：直角三角形
　　　より
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ かつ $橿原学習塾青木ゼミ$ ：直角二等辺三角形
　　　であり、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ ：45°の内角を含む
　　　なので、「（ $橿原学習塾青木ゼミ$ かつ $橿原学習塾青木ゼミ$ ）⇒ $橿原学習塾青木ゼミ$ 」は真となり、
　　　対偶をとると、「r⇒(pまたはq)」も真であるから、
　　　rは(pまたはq)であるための十分条件である。②　　･･････サ

　　センターでは、対偶を考えると楽な場合が多いです。　　

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2014/01/01(水) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

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2013センター試験　数学ⅠA　２

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　題意より、t秒後のP、Qのx座標はそれぞれ2t－8、tなので、
　　　Pが原点に到達するのは、
　　　　　　　　2t－8＝0　⇔　t＝4　･･････ア
　　　のときである。

　(１)
　　　P、Qの座標はそれぞれ
　　　　　　　　P(2t－8，8－2t)、 Q(t，10t)　
　　　となるので、
　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････イ～カ
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　･･････(A)
　　　よって、Sの最小値は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････キ～シ

　　大丈夫だと思いますが、OP’の長さは2t－8ではなく8－2tです！　　

　　　(ⅰ)
　　　　　(A)の軸が区間a≦t≦a＋1･･････(※) 内にあればよいので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ス～タ

　　　(ⅱ)
　　　　　t＝aで最大となるには、(A)の軸が区間(※)の中央よりも
　　　　　右側にあればよい。
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ニ～ネ

　　図は省略していますが（笑）、区間と軸の位置関係を調べましょう！　　

　(２)
　　　y＝2x²のグラフを平行移動し、原点を通るので
　　　　　　　　y＝2x²＋bx　　･･････(B)
　　　と表せる。
　　　(B)が点P(2t－8，8－2t)を通るので、
　　　　　　　　8－2t＝2(2t－8)²＋b(2t－8)
　　　　　　⇔　－1＝2(2t－8)＋b　　　　(∵2t－8≠0)
　　　　　　⇔　b＝15－4t　　　　･･････①
　　　また、(B)が点Q(t，10t)を通るので、
　　　　　　　　10t＝2t²＋bt
　　　　　　⇔　10＝2t＋b　　　　(∵t≠0)
　　　　　　⇔　b＝10－2t　　　　･･････②
　　　①、②を連立させて解くと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････トナ

　　　このとき(B)は
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、これはy＝2x²のグラフを、
　　　x軸方向、y軸方向にそれぞれ
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ニ～フ
　　　だけ平行移動したものである。

　　①、②を導く際に、それぞれ両辺を2t－8とtで割るところがミソです。
　　二次式のまま処理しようとすると間違えなく沈没します。。。。　　

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2014/01/02(木) 23:57:44|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

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2013センター試験　数学ⅠA　３

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　　　OP⊥AOなので、△AOPで三平方
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････アイ
　　　また、AP⊥ODなので、四角形AOPDの面積を
　　　Sとおくと、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ウ～カ

　　　ここのODが最初の難関ですね。対角線の長さから四角形の面積を求める
　　　というのは、センターではよくあるパターンですが、気づかなかった場合は、
　　　次のような考え方もできます。
　　　　
　　　　　　ODとAPの交点をMとすると、AP⊥OD、OM＝DMより、
　　　　　　△AOP∽△OMPとなるので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　　　

　　　△OADで余弦定理
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････キク

　　　数ⅠAの範囲ではありませんが、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　より、倍角公式を使う手もあります。
　　　　

　　　これより、△ABCは3：4：5の直角三角形であり、
　　　AB＝2OA＝6なので
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ケコサ
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　より、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････シ～タ
　　　△ABCの内接円の半径をrとすると、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････チツ

　　3:4:5に気づかなかった場合は、　
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　を使いましょう！　

　(１)
　　　△CEAは△ABCと合同な直角三角形なので、
　　　内接円Rの半径は内接円Qの半径rに等しい。　
　　　また、内接円Q、RそれぞれがBC、AEと接する
　　　点を右図のようにT₁、T₂とすると、四角形AEBCは
　　　長方形なので、4点T₁、Q、R、T₂は一直線上に
　　　並ぶ。よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････テトナ
　　　よって、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　となるので、2つの内接円は外接する。②　･･････ニ

　(２)
　　　内接円QとACとの接点をT₃とすると、
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$
　　　なので、△AQT₃で三平方の定理を用いると
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ヌ～ハ
　　　これとアイより
　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ヒフヘ
　　　よって、
　　　　　　PQ＜円Pの半径　かつ　PQ＜内接円Q
　　　なので、
　　　点Pは内接円Qの内部にあり、点Qは円Pの内部にある。②　･･････ホ

　　とにかく図をキレイに描きましょう。　　

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2014/01/03(金) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

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2013センター試験　数学ⅠA　４

解答はこちら↓

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】

　(１)
　　　4つの数字を重複を許して4つ並べるので、
　　　　　　　　4⁴＝256個　　･･････アイウ

　(２)
　　　4つの数字を重複を許さずに4つ並べるので、
　　　　　　　　4！＝24個　　･･････エオ

　(３)
　　　(ⅰ) 4数から2数を選ぶので
　　　　　　　　₄C₂＝6通り･･････カ
　　　(ⅱ) 4ヶ所から2ヶ所を選ぶので
　　　　　　　　₄C₂＝6通り･･････キ
　　　(ⅲ) (ⅰ)、(ⅱ)より
　　　　　　　　6×6＝36個･･････クケ

　(４)
　　　(ⅰ)
　　　　　9点になるのは、1111、2222、3333、4444の4個なので
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････コサシ
　　　　　3点になるのは、(３)より36個なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････スセソ

　　　(ⅱ)
　　　　　2点になるのは、数字の組み合わせがが○○○△のようになればよい。
　　　　　　　○の数字の選び方は4通り
　　　　　　　△の数字の選び方は3通り
　　　　　　　○○○△の並び方は ₄C₃＝4通り
　　　　　　よって、4×3×4＝48個なので、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････タチツ

　　　　　0点になるのは、(２)より24個

　　　　　1点になるのは、256－4－36－48－24＝144個なので
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････テトナ

　　　(ⅲ)
　　　　　以上より得点の期待値は、
　　　　　　　　 $橿原学習塾青木ゼミ$ 　　･･････ニヌ

　　これはしっかり誘導がついているので楽だと思います。
　　1点の場合が考えにくいので、余事象で！　　

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2014/01/04(土) 23:57:00|

大学入試(数学)　.センター試験　ⅠA　2013

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