第２問
A、Bそれぞれがさいころを1回ずつ投げる。
(ⅰ)同じ目が出たときはAの勝ちとし、異なる目が出たときには
大きい目を出した方の勝ちとする．
(ⅱ)p、qを自然数とする。Aが勝ったときは、Aが出した目の数の
p倍をAの得点とする。Bが勝ったときには、Bが出した目の数に
Aが出した目の数のq倍を加えた合計をBの得点とする。負けた
者の得点は 0 とする．
Aの得点の期待値をEA、Bの得点の期待値をEBとする。
以下の問いに答えよ．
(１) EA、EBをそれぞれp、qで表せ。
(２) EA＝EBとなる最小の自然数pと、そのときのEAの値を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
A、Bの得点は下表のようになる。(青がAの得点、赤がBの得点)
これより、AおよびBの得点の期待値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_A=p\cdot\frac{1}{36}+2p\cdot\frac{2}{36}+3p\cdot\frac{3}{36}+4p\cdot\frac{4}{36}+5p\cdot\frac{5}{36}+6p\cdot\frac{6}{36}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{91p}{36}\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_B=\frac{1}{36}\bigg\{(2+q)+(3+q)+(4+q)+(5+q)+(6+q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +(3+2q)+(4+2q)+(5+2q)+(6+2q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +(4+3q)+(5+3q)+(6+3q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +(5+4q)+(6+4q)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +(6+5q)\bigg\}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{70+35q}{36}\ }\end{align*}}$
(２)
(１)より、EA＝EBのとき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{91p}{36}=\frac{70+35q}{36}\ \ \Leftrightarrow\ \ 13p=5\left(2+q\right)\end{align*}}$
となり、この式の右辺は5の倍数となるので、
これを満たす最小の自然数pの値は
p＝5
である。このとき、EAの値は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf E_A=\underline{\ \frac{455}{36}\ }\end{align*}}$
となる。
表を書きましょう！
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第１問
aを正の実数とし、2つの放物線
C1: y＝x2
C2: y＝x2－4ax＋4a
を考える。
(１) C1とC2の両方に接する直線Lの方程式を求めよ。
(２) 2つの放物線C1、C2と直線Lで囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1の導関数はy’＝2xなので、C1上の点P(s，s2)における
接線の方程式は、
y－s2＝2s(x－s)
⇔ y＝2sx－s2 ･･････①
一方、C2の導関数はy’＝2x－4aなので、C2上の
点Q(t，t2－4at＋4a)における接線の方程式は、
y－(t2－4at＋4a)＝(2t－4a)(x－t)
⇔ y＝(2t－4a)x－t2＋4a ･･････②
①、②が一致するとき
2s＝2t－4a かつ －s2＝－t2＋4a
であり、これらを連立させて解くと、
s＝1－a、 t＝1＋a．
よって、共通接線Lの方程式は、
y＝2(1－a)x－(1－a)2
となる。
(２)
C1とC2の2式を連立させると、
x2＝x2－4ax＋4a
⇔ x＝1 （∵a≠0）
となるので、C1とC2の交点は(1，1)である。
また、a＞0より 1－a＜1＜1＋aなので
C1、C2、Lの位置関係は右図のようになる。
よって、これらで囲まれる部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{1-a}^1\left\{x^2-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_1^{1+a}\left\{x^2-4ax+4a-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{1-a}^1\left\{x-(1-a)\right\}^2dx+\int_1^{1+a}\left\{x-(1+a)\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1-a)\right\}^3\bigg]_{1-a}^1+\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1+a)\right\}^3\bigg]_1^{1+a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}a^2\ }\end{align*}}$
うまく積分を計算してください。
文系でも
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf {\color{blue}\int \left(x+a\right)^n dx=\frac{1}{n+1}\left(x+a\right)^{n+1}+C}\end{align*}}$
の積分公式は覚えておいた方がいいでしょう。
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第３問
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{1}{n(n+1)}\end{align*}}$ を第n項とする数列を、次のように奇数個ずつの群に
分ける。
{a1}，{a2，a3，a4}，{a5，a6，a7，a8，a9}，･･･
第1群 第2群 第3群
kを自然数として、以下の問いに答えよ。
(１) 第k群の最初の項を求めよ。
(２) 第k群に含まれるすべての項の和Skを求めよ。
(３) $\small\sf{\begin{align*} \sf (k^2+1)S_k\leqq\frac{1}{100}\end{align*}}$ を満たす最小の自然数kを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
第n群には2n－1個の項が含まれるので、第k群の末項は
初項から数えて
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1+3+5+\ldots +(2k-1)=\frac{1}{2}k\left\{1+(2k-1)\right\}=k^2\end{align*}}$
番目の項である。
よって、第k－1群の末項は最初から(k－1)2番目の項であり、
第k群の初項は最初から数えて
(k－1)2＋1＝k2－2k＋2
番目の項になる。
よって、第k群の初項は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ a_{k^2-2k+2}=\frac{1}{\left(k^2-2k+2\right)\left(k^2-2k+3\right)}\ }\end{align*}}$
(２)
第k群の末項は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k^2}=\frac{1}{k^2\left(k^2+1\right)}\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S_k=\frac{1}{\left(k^2-2k+2\right)\left(k^2-2k+3\right)}+\frac{1}{\left(k^2-2k+3\right)\left(k^2-2k+4\right)}+\ldots \end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots+\frac{1}{(k^2-1)k^2}+\frac{1}{k^2\left(k^2+1\right)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\left(\frac{1}{k^2-2k+2}-\frac{1}{k^2-2k+3}\right)+\left(\frac{1}{k^2-2k+3}-\frac{1}{k^2-2k+4}\right)+\ldots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ldots +\left(\frac{1}{k^2-1}-\frac{1}{k^2}\right)+\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{k^2+1}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{k^2-2k+2}-\frac{1}{k^2+1}\ }\end{align*}}$
(３)
(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(k^2+1\right)S_k\leqq \frac{1}{100}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{k^2+1}{k^2-2k+2}-1\leqq \frac{1}{100}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2+1\leqq \frac{101}{100}\left(k^2-2k+2\right)\ \ \ \left(\because k^2-2k+2=(k-1)^2+1>0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k^2-202k+102\geqq 0\end{align*}}$ ･･････①
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ k\leqq 101-\sqrt{10099}<101-\sqrt{10000}=1\end{align*}}$ または
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k\geqq 101+\sqrt{10099}>101+\sqrt{10000}=201\end{align*}}$
k＝202のとき
2022－202･202＋102＝102＞0
となり確かに①を満たすので、求めるkの値は
k＝202
である。
上から上手く誘導に乗っかっていってください。
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第４問
直角三角形ABCにおいて、∠A＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{\pi}{2}\end{align*}}$ 、AB＝1であるとする。
∠B＝$\small\sf{\theta}$ とおく。点Cから辺ABに垂線CDを下ろし、点Dから
辺BCに垂線DEを下ろす。AEとCDの交点をFとする。
(1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{DE}{AC}\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(２) △FECの面積を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
△ABCにおいて
AC＝ABsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$
BC＝ABcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝cos$\scriptsize\sf{\theta}$ 
であり、△ABC∽△CBDより
CD＝BCsin$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
また、△ABC∽△CDEより
DE＝CDcos$\scriptsize\sf{\theta}$ ＝sin$\scriptsize\sf{\theta}$ cos2$\scriptsize\sf{\theta}$ ．
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DE}{AC}=\frac{\sin\theta\cos^2\theta}{\sin\theta}=\underline{\ \cos^2\theta\ }\end{align*}}$
(２)
(１)と△DEF∽△CAFより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{DF}{CF}=\frac{DE}{AC}=\cos^2\theta\end{align*}}$
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \triangle FEC=\frac{CF}{CD}\ \triangle CDE\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\cos^2\theta}\times\frac{1}{2}DC\cdot DE\cdot\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{1+\cos^2\theta}\times\frac{1}{2}\cdot\sin\theta\cos\theta\cdot \sin\theta\cos^2\theta\cdot\sin\theta\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{\sin^3\theta\cos^3\theta}{2\left(1+\cos^2\theta\right)}\ }\end{align*}}$
相似を上手く利用しましょう。
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