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青木ゼミ青木

橿原市の個別指導塾 青木ゼミの塾長ブログ

2010北海道大 理系数学1



第1問

  aを正の実数とし、2つの放物線
     C1: y=x2
     C2: y=x2-4ax+4a
  を考える。

 (1) C1とC2の両方に接する直線Lの方程式を求めよ。

 (2) 2つの放物線C1、C2と直線Lで囲まれた図形の面積を求めよ。



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  1. 2018/11/01(木) 01:09:00|
  2. 大学入試(数学) .全国の大学 .北海道大 理系 2010
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2010北海道大 理系数学2



第2問

  実数を成分とする行列
       $\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
  がA2-A+E=Oを満たすとき、以下の問いに答えよ。
  ただし、Eは単位行列、Oは零行列である。

 (1) Aは逆行列をもつことを示せ。

 (2) a+dとad-bcを求めよ。

 (3) b>0、A-1=$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、Aを求めよ。




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2010北海道大 理系数学3



第3問

  正の実数rと $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲の実数$\small\sf{\theta}$ に対して、
        $\small\sf{a_0=r\cos\ ,\ \ b_0=r\theta}$
  とおく。an、bn(n=1、2、3、・・・)を漸化式
        $\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\ \ ,\ \ b_n=\sqrt{a_n\ a_{n-1}}\end{align*}}$
  により定める。以下の問いに答えよ。

 (1) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_1}{b_1}\ ,\ \frac{a_2}{b_2}\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (2) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{b_n}\end{align*}}$ をnと$\small\sf{\theta}$ で表せ。

 (3) $\small\sf{\theta\ne 0}$ のとき、
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=\frac{r\sin \theta}{\theta}\end{align*}}$
    を示せ。




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2010北海道大 理系数学4



第4問

  0≦x≦1に対して
        $\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\int_0^1e^{-|t-x|}t\left(1-t\right)dx\end{align*}}$
  と定める。ただし、e=2.718・・・は自然対数の底である。

 (1) 不定積分
        $\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf=\int te^tdt\ \ ,\ \ I_2=\int t^2e^tdt\end{align*}}$
    を求めよ。

 (2) f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ。

 (3) f(x)は$\small\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大となることを示せ。





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2010北海道大 理系数学5



第5問

  2本の当たりくじを含む102本のくじを、1回に1本ずつ、くじが
  なくなるまで引き続けることにする。

 (1) n回目に1本目の当たりくじが出る確率を求めよ。

 (2) A、B、Cの3人が、A、B、C、A、B、C、A、・・・の順に、
    このくじ引きを行うとする。1本目の当たりくじをAが引く
    確率を求めよ。BとCについても、1本目の当たりくじを引く
    確率を求めよ。




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