第１問
aを正の実数とし、2つの放物線
C1: y＝x2
C2: y＝x2－4ax＋4a
を考える。
(１) C1とC2の両方に接する直線Lの方程式を求めよ。
(２) 2つの放物線C1、C2と直線Lで囲まれた図形の面積を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
C1の導関数はy’＝2xなので、C1上の点P(s，s2)における
接線の方程式は、
y－s2＝2s(x－s)
⇔ y＝2sx－s2 ･･････①
一方、C2の導関数はy’＝2x－4aなので、C2上の
点Q(t，t2－4at＋4a)における接線の方程式は、
y－(t2－4at＋4a)＝(2t－4a)(x－t)
⇔ y＝(2t－4a)x－t2＋4a ･･････②
①、②が一致するとき
2s＝2t－4a かつ －s2＝－t2＋4a
であり、これらを連立させて解くと、
s＝1－a、 t＝1＋a．
よって、共通接線Lの方程式は、
y＝2(1－a)x－(1－a)2
となる。
(２)
C1とC2の2式を連立させると、
x2＝x2－4ax＋4a
⇔ x＝1 （∵a≠0）
となるので、C1とC2の交点は(1，1)である。
また、a＞0より 1－a＜1＜1＋aなので
C1、C2、Lの位置関係は右図のようになる。
よって、これらで囲まれる部分の面積Sは、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf S=\int_{1-a}^1\left\{x^2-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf +\int_1^{1+a}\left\{x^2-4ax+4a-2(1-a)x+(1-a)^2\right\}dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\int_{1-a}^1\left\{x-(1-a)\right\}^2dx+\int_1^{1+a}\left\{x-(1+a)\right\}^2dx\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1-a)\right\}^3\bigg]_{1-a}^1+\bigg[\frac{1}{3}\left\{x-(1+a)\right\}^3\bigg]_1^{1+a}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{3}a^2+\frac{1}{3}a^2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{2}{3}a^2\ }\end{align*}}$
典型題なので、確実にゲットしましょう！
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第２問
実数を成分とする行列
$\small\sf{\begin{align*} \sf A=\begin{pmatrix} \sf a&\sf b \\ \sf c & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$
がA2－A＋E＝Oを満たすとき、以下の問いに答えよ。
ただし、Eは単位行列、Oは零行列である。
(１) Aは逆行列をもつことを示せ。
(２) a＋dとad－bcを求めよ。
(３) b＞0、A-1＝$\small\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ のとき、Aを求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
A2－A＋E＝O ･･････①
(１)
① ⇔ －A2＋A＝E
なので、これは
A(－A＋E)＝E および (－A＋E)A＝E
と変形できる。
よって、－A＋EがAの逆行列となるので、題意は示された。
(２)
ハミルトン・ケーリーの定理より
A2－(a＋d)A＋(ad－bc)E＝O
であり、これと①の辺々を引くと、
｛1－(a＋d)}A＋(ad－bc－1)E＝O ･･････②
となる。
(ⅰ) a＋d≠1のとき
②は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\frac{ad-bc-1}{a+d-1}E\end{align*}}$
と変形でき、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf k=\frac{ad-bc-1}{a+d-1}\end{align*}}$
とおくと、A＝kEと表せる。
これを①に代入すると、
(kE)2－kE＋E＝O
⇔ (k2－k＋1)E＝O
⇔ k2－k＋1＝0 （∵E≠O）･･････③
ここで、a、b、c、dは実数なのでkも実数であるが、
③の判別式は、D＝1－4＜0であり、③は実数解を
もたないので不適である。
(ⅱ) a＋d＝1のとき
②は
(ad－bc－1)E＝O
となり、E≠Oなので、ad－bc＝1．
以上より、
a＋d＝1、 ad－bc＝1．
(３)
(２)より、ad－bc＝1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A^{-1}=\begin{pmatrix} \sf d&\sf -b \\ \sf -c & \sf a \end{pmatrix}\end{align*}}$
であり、これが $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \begin{pmatrix} \sf a&\sf c \\ \sf b & \sf d \end{pmatrix}\end{align*}}$ に等しいので、成分を比較すると、
a＝d かつ c＝－b
となる。
a＝dとa＋d＝1より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a=d=\frac{1}{2}\end{align*}}$
であり、さらにad－bc＝1なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \left(\frac{1}{2}\right)^2+b^2=1\ \ \Leftrightarrow\ \ b=\frac{\sqrt3}{2}\ (>0)\ \ ,\ \ c=-b=-\frac{\sqrt3}{2}\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf A=\underline{\ \frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sf 1&\sf \sqrt3 \\ \sf -\sqrt3 & \sf 1\end{pmatrix}\ }\end{align*}}$
である。
(１)は、逆行列の定義に持ちこみましょう！
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第３問
正の実数rと $\small\sf{\begin{align*}\sf -\frac{\pi}{2}\lt\theta\lt\frac{\pi}{2}\end{align*}}$ の範囲の実数$\small\sf{\theta}$ に対して、
$\small\sf{a_0=r\cos\ ,\ \ b_0=r\theta}$
とおく。an、bn（n＝1、2、3、･･･）を漸化式
$\small\sf{\begin{align*} \sf a_n=\frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2}\ \ ,\ \ b_n=\sqrt{a_n\ a_{n-1}}\end{align*}}$
により定める。以下の問いに答えよ。
(１) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_1}{b_1}\ ,\ \frac{a_2}{b_2}\end{align*}}$ を$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(２) $\small\sf{\begin{align*} \sf \frac{a_n}{b_n}\end{align*}}$ をnと$\small\sf{\theta}$ で表せ。
(３) $\small\sf{\theta\ne 0}$ のとき、
$\small\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=\frac{r\sin \theta}{\theta}\end{align*}}$
を示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
以下では、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf -\frac{\pi}{2}<\theta <\frac{\pi}{2}\ \ \Leftrightarrow\ \ -\frac{\pi}{2^{n+1}}<\frac{\theta}{2^n}<\frac{\pi}{2^{n+1}}\end{align*}}$
より、すべての自然数nに対して $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \cos\frac{\theta}{2^n}>0\end{align*}}$ が成り立つ。
(１)
与えられた初期条件と漸化式より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_1=\frac{r\left(1+\cos\theta\right)}{2}=r\cos^2\frac{\theta}{2}\end{align*}}$ ←cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_1=\sqrt{r^2\cos^2\frac{\theta}{2}}=r\cos\frac{\theta}{2}\ (>0)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_2=\frac{r\cos^2\frac{\theta}{2}+r\cos\frac{\theta}{2}}{2}=r\cos\frac{\theta}{2}\cdot\frac{\cos\frac{\theta}{2}+1}{2}=r\cos\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4}\end{align*}}$
↑cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_2=\sqrt{r^2\cos^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{4}}=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}\ (>0)\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{a_1}{b_1}=\cos\frac{\theta}{2}\ \ ,\ \ \frac{a_2}{b_2}=\cos\frac{\theta}{4}\ }\end{align*}}$ .
(２)
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_n=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos^2\frac{\theta}{2^n}\end{align*}}$ ･･････(A)
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^n}\end{align*}}$ ･･････(B)
であると類推できるので、これを数学的帰納法で示す。
(ⅰ)n＝1のときは、(１)よりOK
(ⅱ)n＝kで成り立つと仮定すると
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_k=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos^2\frac{\theta}{2^k}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_k=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^k}\end{align*}}$ ．
これらより
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf a_{k+1}=\frac{r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos^2\frac{\theta}{2^k}+r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^k}}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^k}\cdot\frac{\cos\frac{\theta}{2^k}+1}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^k}\cos^2\frac{\theta}{2^{k+1}}\end{align*}}$ ←cosの半角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_{k+1}=\sqrt{r^2\cos^2\frac{\theta}{2}\cos^2\frac{\theta}{2^2}\cos^2\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos^2\frac{\theta}{2^k}\cos^2\frac{\theta}{2^{k+1}}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^k}\cos\frac{\theta}{2^{k+1}}\ \ (>0)\end{align*}}$
となるので、n＝k＋1のときも(A)、(B)が成り立つ。
よって、任意の自然数nに対して(A)、(B)が成り立つので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \underline{\ \frac{a_n}{b_n}=\cos\frac{\theta}{2^{n}}\ }\end{align*}}$
となる。
(３)
(B)の両辺に $\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \sin\frac{\theta}{2^n}\end{align*}}$ をかけると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf b_n\sin\frac{\theta}{2^n}=r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^{n-1}}\cdot\left(\cos\frac{\theta}{2^n}\sin\frac{\theta}{2^n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^{n-1}}\cdot\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\frac{\theta}{2^{n-2}}\cdot\left(\cos\frac{\theta}{2^{n-1}}\sin\frac{\theta}{2^{n-1}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\cos\frac{\theta}{2^{n-2}}\cdot\frac{1}{2}\sin\frac{\theta}{2^{n-2}}\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{2^2}\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2^2}\cos\frac{\theta}{2^3}\ldots\left(\cos\frac{\theta}{2^{n-2}}\sin\frac{\theta}{2^{n-2}}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \vdots\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{2^{n-1}}\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{r}{2^{n}}\sin\theta\end{align*}}$ ←sinの倍角公式
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \ \ \Leftrightarrow\ \ b_n=\frac{r\sin\theta}{2^{n}\sin\frac{\theta}{2^n}}\ \ \ (\because \theta\ne 0)\end{align*}}$
ここで、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf t=\frac{1}{2^n}\end{align*}}$
とおくと、n→＋∞のときt→0なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n=r\sin\theta\cdot\lim_{n\rightarrow\infty}\ \frac{1}{2^{n}\sin\frac{\theta}{2^n}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\sin\theta\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{t}{\sin(\theta t)}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =r\sin\theta\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\ \frac{\theta t}{\sin(\theta t)}\cdot\frac{1}{\theta}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{r\sin\theta}{\theta}\ }\end{align*}}$
また、(２)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \lim_{n\rightarrow\infty}\ a_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_n\cdot\cos\frac{\theta}{2^n}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\lim_{n\rightarrow\infty}\ b_n\cdot\lim_{t\rightarrow 0}\ \cos (\theta t)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{r\sin\theta}{\theta}\ }\end{align*}}$
半角公式・倍角公式に気づかないと厳しいでしょうね。
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第４問
0≦x≦1に対して
$\small\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\int_0^1e^{-|t-x|}t\left(1-t\right)dx\end{align*}}$
と定める。ただし、e＝2.718･･･は自然対数の底である。
(１) 不定積分
$\small\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf=\int te^tdt\ \ ,\ \ I_2=\int t^2e^tdt\end{align*}}$
を求めよ。
(２) f(x)をxの指数関数と多項式を用いて表せ。
(３) f(x)は$\small\sf{\begin{align*} \sf x=-\frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大となることを示せ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
部分積分法を用いると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 1}\sf=te^t-\int e^tdt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(t-1\right)e^t+C_1\ }\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \rm I_{\sf 2}\sf=t^2e^t-2\int te^tdt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =t^2e^t-2\left(t-1\right)e^t+C_2\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \left(t^2-2t+2\right)e^t+C_2\ }\end{align*}}$
(２)
0≦t≦xの範囲において、|t－x|＝－t＋x
x≦t≦1の範囲において、|t－x|＝t－x
なので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f(x)=\int_0^xe^{t-x}(t-t^2)dt+\int_x^1e^{-t+x}(t-t^2)dt\end{align*}}$
となる。
(１)より
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_0^xe^{t-x}(t-t^2)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-x}\bigg[\left\{(t-1)-(t^2-2t+2)\right\}e^t\bigg]_0^x\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^{-x}\cdot\left(-x^2+3x-3\right)e^x-e^{-x}\cdot\left(-3e^0\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =-x^2+3x-3+3e^{-x}\end{align*}}$
一方、s＝－tとおくと、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \frac{ds}{dt}=-1\end{align*}}$
であり、t：x→1のとき、s：－x→－1と対応するので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf \int_x^1e^{-t+x}(t-t^2)dt\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^x\int_{-x}^{-1}e^{s}(-s-s^2)\cdot(-ds)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^x\bigg[\left\{(s-1)+(s^2-2s+2)\right\}e^s\bigg]_{-x}^{-1}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =e^x\cdot 3e^{-1}-e^x\cdot\left(x^2+x+1\right)e^{-x}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =3e^{x-1}-x^2-x-1\end{align*}}$
よって、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f (x)=\left(-x^2+3x-3+3e^{-x}\right)+\left(3e^{x-1}-x^2-x+1\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ -2x^2+2x-4+3e^{x-1}+3e^{-x}\ }\end{align*}}$
(３)
(２)より、f(x)の第一次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '(x)=-4x+2+3e^{x-1}-3e^{-x}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f '\left(\frac{1}{2}\right)=-2+2+3e^{-\frac{1}{2}}-3e^{-\frac{1}{2}}=0\end{align*}}$ ．
さらに、f(x)の第二次導関数は
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f ''(x)=-4+3e^{x-1}+2e^{-x}\end{align*}}$
となるので、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf f ''\left(\frac{1}{2}\right)=-4+3e^{-\frac{1}{2}}+3e^{-\frac{1}{2}}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2}{\sqrt{e}}\left(3-2\sqrt{e}\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf <\frac{2}{\sqrt{e}}\left(3-2\sqrt{\frac{9}{4}}\right)\ \ \ \left(\because \frac{9}{4}\lt e=2.718\ldots\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =0\end{align*}}$
よって、f(x)は、$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf x=\frac{1}{2}\end{align*}}$ で極大値をとる。
(２)は、(１)の結論が使えるように上手く置換しましょう。
(３)は、f’(x)だけでは符号の判定が難しいので、
f”(x)で凹凸を調べましょう。
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第５問
2本の当たりくじを含む102本のくじを、1回に1本ずつ、くじが
なくなるまで引き続けることにする。
(１) n回目に1本目の当たりくじが出る確率を求めよ。
(２) A、B、Cの3人が、A、B、C、A、B、C、A、･･･の順に、
このくじ引きを行うとする。1本目の当たりくじをAが引く
確率を求めよ。BとCについても、1本目の当たりくじを引く
確率を求めよ。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
【解答】
(１)
1本目～n－1本目がすべてハズレくじで、n回目に当たりくじが
出ればよいので、求める確率をp(n)とすると、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(n)=\frac{100}{102}\cdot\frac{99}{101}\cdot\frac{98}{100}\cdot\ldots\cdot\frac{104-n}{106-n}\cdot\frac{103-n}{105-n}\cdot\frac{102-n}{104-n}\cdot\frac{2}{103-n}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{2(102-n)}{102\cdot 101}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{102-n}{5151}\ }\end{align*}}$
(２)
1本目の当たりくじが出る可能性があるのは、1回目～101回目
なので、Aがそれを引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(1)+p(4)+p(7)+\ldots p(100)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}p(3k-2)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}\frac{102-(3k-2)}{5151}\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\sum_{k=1}^{34}(104-3k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\times\left(104\cdot 34-\frac{3}{2}\cdot 34\cdot 35\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{103}{303}\ }\end{align*}}$
1本目の当たりくじをBが引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf p(2)+p(5)+p(8)+\ldots p(101)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\sum_{k=1}^{34}p(3k-1)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\sum_{k=1}^{34}(103-3k)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\frac{1}{5151}\times\left(103\cdot 34-\frac{3}{2}\cdot 34\cdot 35\right)\end{align*}}$
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf =\underline{\ \frac{1}{3}\ }\end{align*}}$
1本目の当たりくじをCが引く確率は、
$\scriptsize\sf{\begin{align*} \sf 1-\frac{103}{303}-\frac{1}{3}=\underline{\ \frac{33}{101}\ }\end{align*}}$
細かい部分に気をつけましょう。
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